兩個(gè)圖形相似,一定要注意相似形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角,不少同學(xué)因概念不清或考慮不周經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)解或漏解,下面對(duì)一些典型的犯錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行剖析,希望對(duì)大家的學(xué)習(xí)有所幫助.
例1 如圖1,在△ABC中,D、E分別在邊AB、AC上,若DE∥BC,[ADDB]=[12],DE=4cm,求BC的長(zhǎng).
【典型錯(cuò)解】∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴[DEBC]=[ADDB],即:[4BC]=[12],
∴BC=8.
【錯(cuò)因分析】本題錯(cuò)解中用錯(cuò)了兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊,由△ADE∽△ABC應(yīng)得[DEBC]=[ADAB]=[13],從而得BC=3DE=12(cm).
所以學(xué)習(xí)相似三角形一定要注意對(duì)應(yīng).
【糾錯(cuò)訓(xùn)練1】如圖2,在△ABC中,D、E分別在邊AB、AC上,若DE∥BC,[ADBD]=[23],則[DEBC]= .
例2 如圖3,在已建立平面直角坐標(biāo)系的4×4的正方形方格紙中,△ABC是格點(diǎn)三角形,若以格點(diǎn)P、A、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似(C點(diǎn)除外),則格點(diǎn)P的坐標(biāo)是 .
【典型錯(cuò)解】P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),(3,4).
【錯(cuò)因分析】本題錯(cuò)解中遺漏了三角形全等的情況,事實(shí)上,全等是特殊的相似.當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)時(shí),形成相似比為2∶1的相似三角形;當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C對(duì)應(yīng)時(shí),兩個(gè)三角形全等,即相似比為1∶1.如圖4,格點(diǎn)P的坐標(biāo)應(yīng)為(1,4)或(3,1)或(3,4).
【糾錯(cuò)訓(xùn)練2】如圖5,在2×4的正方形方格中,與格點(diǎn)△ABC相似但不全等的格點(diǎn)三角形共有 個(gè).
例3 如果一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是6和8,另一個(gè)與它相似的直角三角形邊長(zhǎng)分別是3、4及x,那么x的值是 .
【典型錯(cuò)解】第一步,求得其中一個(gè)直角三角形第三邊長(zhǎng)為10;第二步,將6、8、10分別與3、4、5對(duì)應(yīng)求得x=5.
【錯(cuò)因分析】主觀上將6和8當(dāng)作直角邊,并將6、8和3、4對(duì)應(yīng),缺乏分類意識(shí),事實(shí)上,邊長(zhǎng)分別是6和8的直角三角形有兩種可能,即已知邊均為直角邊或者8為斜邊.當(dāng)6和8為直角邊時(shí),根據(jù)勾股定理可知斜邊為10,[63]=[84]=[10x],解得x=5;當(dāng)6是直角邊,8是斜邊時(shí),根據(jù)勾股定理可求得另一條直角邊為[27].由[63]=[27x]=[84],解得x=[7],所以x=5或[7].
【糾錯(cuò)訓(xùn)練3】將三角形紙片△ABC按如圖6所示的方式折疊,使點(diǎn)B落在邊AC上,記為點(diǎn)B′,折痕為EF.已知AB=AC=8,BC=10,若以點(diǎn)B′,F(xiàn),C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,那么BF的長(zhǎng)度是 .
例4 如圖7,在梯形ABCD中,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,如果直線AB上的點(diǎn)P使得以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形與以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似,PA= .
【典型錯(cuò)解】如圖8,當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上,①當(dāng)[ADBC]=[PAPB]時(shí),△PAD∽△PBC,此時(shí)[23]=[x7-x],解得PA=x=[145];
②當(dāng)[ADBP]=[PACB]時(shí),△PAD∽△CBP,此時(shí)[27-x]=[x3],解得:PA=x=1或6.
∴PA=1或6或[145].
【錯(cuò)因分析】只考慮點(diǎn)P在線段AB上的情形,未考慮點(diǎn)P在線段AB延長(zhǎng)線上或在線段BA的延長(zhǎng)線上的情況,設(shè)PA=x,
①若點(diǎn)P在線段AB上,PA=1或6或[145];
②如圖9,若點(diǎn)P在線段BA的延長(zhǎng)線上且△PAD∽△PBC,[PAPB]=[ADBC],此時(shí)[x7+x]=[23],解得:PA=x=14;
如圖10,當(dāng)△PAD∽△CBP時(shí),[PACB]=[ADBP],此時(shí)[x3]=[27+x],解得:x=[±73-72](負(fù)值舍去),PA=x=[73-72];
③如圖11,若點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上,當(dāng)△PAD∽△CBP時(shí),[ADPB]=[PACB],此時(shí)[2x-7]=[x3],解得:x=[±73+72](負(fù)值舍去),PA=x=[73+72],綜上,PA=1或6或[145]或14或[73-72]或[73+72].
【糾錯(cuò)訓(xùn)練4】如圖12,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā),沿C→A→B的方向在AC、AB邊上以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)B移動(dòng),運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B即停止.連接PD,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=
時(shí),線段PD截得的三角形與Rt△ABC相似.
通過以上幾種易錯(cuò)點(diǎn)的分析,我們可以發(fā)現(xiàn),學(xué)習(xí)相似一定要抓住相似形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角,同時(shí),要注意題目語(yǔ)言的敘述是否存在多種可能,特別是“相似符號(hào)沒有寫的情況下,一定要注意對(duì)應(yīng)防漏解”,提高分類的意識(shí),增強(qiáng)思考問題的全面性和完整性.