“釘子板上的多邊形”教學(xué)嘗試與思考

唐曉琴

[摘 要]“釘子板上的多邊形”是五年級上冊“綜合實踐”這一領(lǐng)域的內(nèi)容，實質(zhì)是格點多邊形面積計算教學(xué)。通過課前思考、實踐探索、課后反思，呈現(xiàn)“釘子板上的多邊形”這一課的設(shè)計思路和教學(xué)過程，打造使學(xué)生經(jīng)歷探索過程、體會歸納思想、感悟發(fā)現(xiàn)和提出問題過程的魅力課堂。

[關(guān)鍵詞]釘子板；多邊形；發(fā)現(xiàn)和提出問題 探索實踐

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）29-0018-02

【課前思考】為什么學(xué)習(xí)“釘子板上的多邊形”？

“釘子板上的多邊形”是五年級上冊“綜合實踐”這一領(lǐng)域的內(nèi)容，這節(jié)課的實質(zhì)是格點多邊形面積計算教學(xué)。教材依次呈現(xiàn)多邊形中有一個釘子、兩個釘子的圖形，引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)一數(shù)、算一算、小組合作討論等方式發(fā)現(xiàn)多邊形的面積與邊上釘子數(shù)之間的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生進(jìn)一步探索多邊形內(nèi)有3個、4個……釘子的情況，最后得出一般結(jié)論。

從學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗來看，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過運用公式計算常見平面圖形的面積，知道可以用割補法或數(shù)方格的方法算出不規(guī)則圖形的面積。學(xué)生經(jīng)歷過數(shù)的認(rèn)識、數(shù)的運算等領(lǐng)域的規(guī)律探索的一般過程，知道可以從簡單問題入手進(jìn)行研究，只需經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)規(guī)律——驗證規(guī)律——得出結(jié)論”這一過程。

在小學(xué)階段學(xué)習(xí)的“釘子板上的多邊形”會不會是中學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的下放？經(jīng)過了解發(fā)現(xiàn)，在八年級數(shù)學(xué)教材中安排的綜合實踐課“格點多邊形的面積計算公式”的教學(xué)內(nèi)容中，教學(xué)目標(biāo)與小學(xué)階段并不完全相同。除了要求學(xué)生掌握求格點多邊形面積的一般方法外，還滲透了函數(shù)思想，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)y（多邊形面積）與x （多邊形邊上格點數(shù)）具有線性關(guān)系y=ax+b，其中a=1/2是不變的，而b的值等于多邊形內(nèi)點的個數(shù)減去1。 由此可以引導(dǎo)學(xué)生歸納出多邊形的面積y等于各邊上格點的個數(shù)和的一半加上多邊形內(nèi)點的個數(shù)再減去1，即y=1/2x+（n-1）。可見，小學(xué)生學(xué)習(xí)釘子板上的多邊形正是為了這樣的后續(xù)學(xué)習(xí)積累活動經(jīng)驗。

【課堂實踐】怎樣教學(xué)“釘子板上的多邊形”？

結(jié)合學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗及心理特征，我為本課教學(xué)制訂了教學(xué)目標(biāo)：

（1）使學(xué)生探索并初步發(fā)現(xiàn)格點圖上多邊形的面積與多邊形邊上、內(nèi)部格點數(shù)之間的關(guān)系，體會用含有字母的式子表示上述關(guān)系的價值。

（2）使學(xué)生經(jīng)歷探索過程，體會歸納思想，感悟發(fā)現(xiàn)問題、提出問題過程的魅力。

【教學(xué)過程】

一、問題與猜想

1.明確課題

2.提出問題

師：今天我們不用釘子板，用點子圖來代替。（出示點子圖）像這樣的點叫格點，關(guān)于格點圖上的多邊形，我們可以研究什么？

生（齊）：周長或者面積。

師：如果要知道這個多邊形的面積，你有哪些策略？（出示不規(guī)則多邊形）

生1：數(shù)方格的方法。

生2：分割成學(xué)過的圖形。

3.嘗試猜想

師（出示喬治·皮克圖片）：有一位叫喬治·皮克的數(shù)學(xué)家，他發(fā)現(xiàn)了格點多邊形的奧秘，從而很快算出面積。大家想不想找到這個神奇的方法？讓我們一起來探索其中的奧妙吧！

師（出示前面給出的不規(guī)則圖形）：猜想一下，在格點圖上的多邊形的面積可能和什么有關(guān)系？

二、探索與發(fā)現(xiàn)

1.探索內(nèi)部格點數(shù)為1的多邊形

師（出示四個圖形）：我們先來看一組簡單的圖形。認(rèn)真觀察這些圖形，想一想它們的面積和哪里的格點數(shù)有關(guān)系？你會算它們的面積嗎？請大家算一算。

（學(xué)生計算填表）

師：認(rèn)真觀察表格里的數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？你是怎么比較的？這個規(guī)律可以表達(dá)得更簡潔嗎？如果用n表示多邊形邊上的格點數(shù)，用S表示多邊形的面積，那么這個規(guī)律如何表示？

生1：S=n÷2。（師板書：S=n÷2）

師：真厲害，這么快就發(fā)現(xiàn)了規(guī)律。讓我們試一試這個規(guī)律，看這一組圖形。（出示的圖形分別是內(nèi)部一個格點、兩個格點、三個格點、四個格點的多邊形）我們先數(shù)出邊上的格點數(shù)，你能直接算出面積嗎？

【課堂花絮：學(xué)生由快速口答漸漸變?yōu)楠q豫不決，因為發(fā)現(xiàn)S=n÷2并不適用于內(nèi)部兩個格點、三個格點、四個格點的多邊形，所以開始懷疑S=n÷2的正確性。由此形成的沖突為找出規(guī)律埋下伏筆?！?/p>

師：為什么這個規(guī)律有時靈有時不靈呢？認(rèn)真觀察這些圖形，同桌之間討論你的發(fā)現(xiàn)。

生2：多邊形里面只有一個格點時就可以用S=n÷2。

師：你能從不同的圖形中發(fā)現(xiàn)共同點，真不錯?！癝=n÷2”這個規(guī)律在什么情況才成立呢？

生3：內(nèi)部格點數(shù)是1時。

師：如果用a表示多邊形內(nèi)部的格點數(shù)，即a=1時，S=n÷2。

師：看來我們不僅要善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，更要主動地去驗證規(guī)律，這樣才能得出正確的結(jié)論。

師：多邊形的面積不僅與多邊形邊上的格點數(shù)有關(guān)系，與內(nèi)部的格點數(shù)也有關(guān)系。（出示：內(nèi)部的格點數(shù)）

2.探索多邊形內(nèi)部有兩個格點時面積與邊上格點數(shù)的關(guān)系

師： 接下來我們就好好研究內(nèi)部格點數(shù)是2的多邊形。屏幕上已經(jīng)出現(xiàn)了一個圖形，為了研究的有效性，建議再畫出一個或者兩個不一樣的多邊形（里面有2個格點的多邊形），分別算出它們的面積，再觀察它們的面積和邊上的格點數(shù)之間究竟有什么關(guān)系。

師（出示研究單）：①每人再畫出一個或兩個內(nèi)部格點數(shù)是2的多邊形。②算出每個圖形的面積，比較面積與邊上的格點數(shù)之間的關(guān)系。③同桌互相說一說發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。endprint

生4：當(dāng)a=2時，S=n÷2+1。

師：回憶剛才探索規(guī)律的過程，你有什么想法？

生5：首先要認(rèn)真觀察圖形，有了猜想，就要大膽表達(dá)出來，光有猜想還不行，還要進(jìn)一步驗證，最后把得出的結(jié)論表達(dá)出來。

【說明：引導(dǎo)學(xué)生在研究問題的過程中不斷感悟和總結(jié)研究問題的一般方法，能讓學(xué)生對問題的本質(zhì)有進(jìn)一步的認(rèn)識?！?/p>

3.進(jìn)一步探索多邊形內(nèi)有3個格點的情形

師：大家還想研究什么樣的圖形？

生6：內(nèi)部有3個格點的多邊形。

師：如果多邊形內(nèi)有3個格點，它的面積與邊上格點數(shù)又有什么關(guān)系？

生7：當(dāng)a=3時，S=n÷2+2。

師：光有猜想還不行，我們?nèi)绾蝸眚炞C這個規(guī)律呢？我們在驗證時首先做什么？

生8：畫圖，認(rèn)真觀察圖形。

師：其次呢？

生9：要算出相關(guān)的數(shù)據(jù)。

師：最后想一想你發(fā)現(xiàn)了什么，把結(jié)論表達(dá)出來。

師（出示小組合作小貼士）：①畫出一個內(nèi)部格點數(shù)是3的多邊形。②填寫表格。③小組交流討論發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

【課堂花絮：每組成員畫好圖形后通過合作完成表格，他們在討論的過程中發(fā)現(xiàn)問題，并及時改正和調(diào)整。各小組發(fā)現(xiàn)的規(guī)律以及表達(dá)形式各不相同?！?/p>

生10：我們小組發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)部格點數(shù)是3時，其面積是邊上格點數(shù)除以2再加2。

師：這位同學(xué)觀察得很仔細(xì)，我們研究問題時就要像這位同學(xué)那樣按照一定順序有條理地進(jìn)行。

師：內(nèi)部格點數(shù)是4時可能有什么規(guī)律？

生11：a=4時，S=n÷2+3。

師：可以寫成“a=1，S=n÷2”嗎？

生12：a=1時，S=n÷2+0。

師：這么多規(guī)律我們能不能用一個字母式子來表示？

生13：S=n÷2+（a-1）。

師：a=0時是什么情況？

生14：S=n÷2-1。

師（出示不規(guī)則多邊形）：還記得這個圖形嗎？你能用我們今天探索的方法求出它的面積嗎？

三、回顧與鏈接

師：釘子板上的多邊形的面積其實就是一個有名的數(shù)學(xué)問題——面積與格點（出示面積與格點），發(fā)現(xiàn)格點與面積規(guī)律的就是剛才老師介紹的奧地利數(shù)學(xué)家喬治·皮克。下面請一位同學(xué)來讀讀數(shù)學(xué)史。

生15：1889年，他發(fā)現(xiàn)了關(guān)于多邊形的面積、邊上的格點數(shù)以及內(nèi)部格點數(shù)之間關(guān)系的皮克公式，并進(jìn)行了證明，得到了皮克定理?！捌た硕ɡ怼北蛔u為“有史以來最重要100個數(shù)學(xué)定理”之一。

師：我們今天探究得出的S=n÷2+（a-1）就類似于皮克公式?？磥頂?shù)學(xué)家能發(fā)現(xiàn)的規(guī)律我們也能發(fā)現(xiàn)，大家是不是覺得自己很厲害。如果大家對我們今天研究的話題感興趣，還可以去看看《格點和面積》這本書，作者是我國數(shù)學(xué)家閔嗣鶴。

【課后反思】課堂教學(xué)是否能再開放一些？

首先，研究的過程可以放手一些。課堂中按照多邊形內(nèi)部格點數(shù)的依次增加，循序漸進(jìn)地研究了格點多邊形的面積與外部、內(nèi)部格點數(shù)之間的關(guān)系，看起來課堂教學(xué)流程很順暢，但是這種順暢也束縛了學(xué)生的思維。在研究完內(nèi)部格點數(shù)是1的多邊形之后，學(xué)生似乎已經(jīng)猜到了答案，在之后的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)中，部分學(xué)生研究的興趣和好奇心逐漸減弱，因此，在以后的教學(xué)中可以嘗試充分放手讓學(xué)生自己先討論研究本課問題的方法和步驟，再放手讓學(xué)生獨立進(jìn)行研究。

其次，課堂教學(xué)的環(huán)節(jié)可以開放一些。例如在探究內(nèi)部格點數(shù)是1的多邊形時，本課是直接讓學(xué)生通過計算面積和觀察比較來發(fā)現(xiàn)多邊形的面積和邊上格點數(shù)之間的關(guān)系，這樣的課堂教學(xué)人為地向?qū)W生暗示了研究的方向和方法，雖然這樣能讓學(xué)生更快地接近成功，但也過多地代替了學(xué)生的學(xué)習(xí)活動。這個環(huán)節(jié)其實可以讓學(xué)生先在格點圖上畫出不同形狀的格點多邊形，再討論如何給這些多邊形進(jìn)行分類，在分類的基礎(chǔ)上再進(jìn)一步討論內(nèi)部格點數(shù)是1的多邊形的面積和什么有關(guān)系，由此展開學(xué)習(xí)研究或許更有效。

數(shù)學(xué)世界是奇妙的，數(shù)學(xué)課堂更是充滿了無限生機，只要教師能從學(xué)生的角度出發(fā)，充分發(fā)揚課堂教學(xué)民主，學(xué)生就會有奇妙的發(fā)現(xiàn)。

（責(zé)編 金 鈴）endprint