淺析圖形的變換問題

黃錦鴻

摘 要：圖形的變換是初中數(shù)學(xué)教材的一個(gè)重要內(nèi)容，變換問題是各地中考命題的一大熱點(diǎn)。通過運(yùn)動(dòng)變換改變圖形位置后重新組合，然后作為全等或相似變換，需要在新舊圖形之間找到其中的變量和不變量，從而在新圖形中分析出有關(guān)圖形間的關(guān)系，進(jìn)而揭示條件與結(jié)論間的內(nèi)在聯(lián)系，找到解題途徑。

關(guān)鍵詞：圖形；變換；應(yīng)用

隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施，圖形的運(yùn)動(dòng)變換的基本理念對(duì)近幾年中考數(shù)學(xué)命題的導(dǎo)向也產(chǎn)生了重大的影響，并已成為近年中考命題的一大熱點(diǎn)。新課程標(biāo)準(zhǔn)下的初中數(shù)學(xué)教材在圖形的全等的基礎(chǔ)上，增加了圖形變換的內(nèi)容，使知識(shí)更符合它的形成規(guī)律，使數(shù)學(xué)更貼近學(xué)生的生活實(shí)際。

除點(diǎn)的移動(dòng)以外，圖形的基本變換形式主要有四種：平移、翻折（即為軸對(duì)稱問題）、旋轉(zhuǎn)（當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為180度時(shí)，即為中心對(duì)稱問題）和位似。圖形的變換前后對(duì)應(yīng)線段和對(duì)應(yīng)角的位置和數(shù)量關(guān)系對(duì)問題的解決起關(guān)鍵性的作用。運(yùn)動(dòng)變化問題正是利用它們變化圖形的位置，引起條件或結(jié)論的改變，或者把分散的條件集中，以利于解題。這類問題注重培養(yǎng)學(xué)生用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)去看待問題，有利于學(xué)生空間想象能力和動(dòng)手操作能力的鍛煉，解題的關(guān)鍵在于如何“靜中取動(dòng)”或“動(dòng)中求靜”。

圖形的變換問題在中考命題中，已與函數(shù)、三角形、四邊形、相似圖形及平面坐標(biāo)等內(nèi)容結(jié)合，以新穎的形式出現(xiàn)。通過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)位似圖形的識(shí)別和構(gòu)造考查學(xué)生對(duì)概念的理解，通過圖形的操作、思考等活動(dòng)考查學(xué)生對(duì)本質(zhì)的理解，通過具體問題的解決考查學(xué)生圖形變換觀念和知識(shí)的綜合運(yùn)用能力以及思維的靈活性。這類問題的特點(diǎn)是：結(jié)論開放，注重考查學(xué)生的猜想、探究能力；便于與其他知識(shí)相聯(lián)系，解題靈活多變，能夠考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力；其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法豐富，有數(shù)形結(jié)合、方程思想、數(shù)學(xué)建模、函數(shù)思想、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法。

下面結(jié)合實(shí)例針對(duì)這四種圖形的變換問題的解法談?wù)勛约捍譁\的認(rèn)識(shí)：

一、 平移問題

一個(gè)圖形沿著一定的方向由一個(gè)位置平行移動(dòng)到另一個(gè)位置的運(yùn)動(dòng)叫做圖形的平移。圖形的平移由平移的方向和距離決定。

例1 如圖，將周長(zhǎng)為10個(gè)單位的△ABC沿邊BC向右平移2個(gè)單位得到△DEF，則四邊形ABFD的周長(zhǎng)為（ ）

A. 12 B. 14

C. 16D. 18

分析：根據(jù)平移的性質(zhì)，易知AD=CF=2，DF=AC，從而有BF=BC+CF=BC+2；由題意得AB+BC+AC=10，所以有四邊形ABFD的周長(zhǎng)=AD+AB+BF+DF=2+AB+BC+2+AC=14。

點(diǎn)評(píng)：抓住平移的前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的長(zhǎng)度就是平移的距離，對(duì)應(yīng)線段相等這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)就是解答本題的關(guān)鍵。

例2 在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，二次函數(shù)y=x2+（k-5）x-（k+4）的圖象交x軸于點(diǎn)A（x1，0），點(diǎn)B（x2，0），且（x1+1）（x2+1）=-8。（1）求二次函數(shù)的關(guān)系式；（2）將上述二次函數(shù)圖象沿x軸向右平移兩個(gè)單位，設(shè)平移后的圖象與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P，求△POC的面積。

分析：由根與系數(shù)的關(guān)系易求得k的值，通過配方使之成為頂點(diǎn)式。根據(jù)平移的變化規(guī)律：頂點(diǎn)改變（“左加右減，上加下減”），開口不變，易得平移后的頂點(diǎn)及函數(shù)關(guān)系式。

點(diǎn)評(píng)：拋物線的運(yùn)動(dòng)變換問題只需抓住頂點(diǎn)和開口方向兩個(gè)要素的變化規(guī)律即可。

二、 翻折問題

把一個(gè)圖形沿著某一條直線翻折后所形成的新的圖形的變化叫做圖形的翻折。翻折前后兩個(gè)圖形是全等的。

例3 如上圖，把矩形ABCD沿對(duì)角線AC折疊，如果AB=4，BC=8，求重疊部分的面積。

分析：如圖，設(shè)CE=x，由AD∥BC可得∠DAC=∠ACE，而∠CAE=∠DAC，從而∠CAE=∠ACE，則AE=CE=x，由AB2+BE2=AE2，得42+（8-x）2=x2，即求得x的值，代入S△ACE=12DC·CE中即可獲得重疊部分的面積。

點(diǎn)評(píng)：利用方程的思想解決有關(guān)的幾何問題是一種常用方法。

例4 在矩形ABCD中，AD>AB，將矩形ABCD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為MN，連接CN。若△CDN的面積與△CMN的面積比為1∶4，則MNBM的值為（ ）

A. 2B. 4

C. 25

D. 26

分析：本題的考點(diǎn)有翻折變換（折疊問題），折疊的性質(zhì)，矩形、菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理。如下圖，過點(diǎn)N作NG⊥BC于G，由四邊形ABCD是矩形，易得四邊形CDNG是矩形，又由折疊的性質(zhì)，可得四邊形AMCN是菱形，由△CDN的面積與△CMN的面積比為1∶4，根據(jù)等高三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)底的比，可得DN∶CM=1∶4，然后設(shè)DN=x，由勾股定理可求得MN的長(zhǎng)，從而求得答案。

例5 在△ABC中，已知AB=2a，∠A=30°，CD是AB邊的中線，若將△ABC沿CD對(duì)折起來，折疊后兩個(gè)小△ACD與△BCD重疊部分的面積恰好等于折疊前△ABC的面積的14，有如下結(jié)論：

（1） AC邊的長(zhǎng)可以等于a；

（2） 折疊前的△ABC的面積可以等于32a2；

（3） 折疊后，以A、B為端點(diǎn)的線段AB與中線CD平行且相等。

其中，正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）

A. 0個(gè)

B. 1個(gè)

C. 2個(gè)

D. 3個(gè)

分析：將△ABC沿CD對(duì)折，對(duì)折后的A點(diǎn)可能有兩種情況：

（1） A與A′在直線BC的同側(cè)。

設(shè)想，A′C與BD交于O點(diǎn)，S△COD=S△BOC=S△A′OD，則OD=OB=12a，OA′=OC，則四邊形A′BCD為平行四邊形，A′B∥CD且A′B=CD，△ACD與△A′CD可以重合，則可知∠A=∠DA′C=30°，A′D=AD=a，在△A′OD中，∠DA′C=30°，A′D=a，則可知D到A′C的距離應(yīng)為12a，而OD=12a，則可知DO⊥A′C，endprint

而四邊形A′BCD為平行四邊形，則可證得A′BCD為菱形，則AC=3a，

S△ABC=12AB·OC=12·2a·32a=32a2。

（2） A與A′在直線BC的兩側(cè)。

如右圖，△ACD沿CD對(duì)折后與△A′CD重合，則AD=A′D=a，據(jù)第一種情況，同理可證四邊形A′BDC為平行四邊形，則A′B∥CD且A′B=CD，DB∥A′C且DB=A′C，則AC=A′C=a。

點(diǎn)評(píng)：翻折問題實(shí)際上是軸對(duì)稱問題的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是抓住對(duì)稱的性質(zhì)：（1） 關(guān)于一條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等；（2） 對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線。

三、 旋轉(zhuǎn)問題

一個(gè)圖形圍繞某一點(diǎn)由一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置的運(yùn)動(dòng)叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，圖形旋轉(zhuǎn)時(shí)，圖形中的每一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的角都相等，都等于旋轉(zhuǎn)角。

例6 設(shè)想，邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到正方形EFCG，EF交AD于點(diǎn)H，那么DH的長(zhǎng)為多少？

分析：連接CH，由旋轉(zhuǎn)角∠BCF=30°，可得∠FCD=60°，根據(jù)HL公理易證Rt△DCH≌Rt△FCH，則∠DCH=12∠FCD=30°，于是有DH=CD·tan30°=3。

例7 如下圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（3，1）、B（2，0）、O（0，0），反比例函數(shù)y=kx圖象經(jīng)過點(diǎn)A。

（1） 求k的值；

（2） 將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△COD，其中點(diǎn)A與點(diǎn)C對(duì)應(yīng)，試判斷點(diǎn)D是否在該反比例函數(shù)的圖像上。

分析：易得k=xy=3×1=3。過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，構(gòu)造直角三角形。由旋轉(zhuǎn)角∠BOD=60°，OD=OB=2，根據(jù)三角函數(shù)知識(shí)易得DE=OE·sin60°=2×32=3，OE=OD·cos60°=2×12=1，從而有點(diǎn)D（1，3），于是問題也就迎刃而解。

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)圖形作旋轉(zhuǎn)時(shí)，抓住旋轉(zhuǎn)角對(duì)問題的解決起決定性的作用。

例8 在等腰直角三角形△ABC中，∠ACB=90°，MN為斜邊AB上兩點(diǎn)，如果∠MCN=45°，求證AM、MN、NB可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形。

分析：將△CNB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△CN1A的位置，于是有N1A=NB，CN1=CN，∠N1CA=∠NCB，∠N1AC=∠B，則△N1CM≌△NCM，從而MN1=MN，而∠N1AM=∠CAM+∠B=90°，故而AM、MN、NB可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形。

點(diǎn)評(píng)：在解決平面幾何問題的過程中，經(jīng)常設(shè)法將一個(gè)圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，通過這種圖形的旋轉(zhuǎn)達(dá)到使問題條件相對(duì)集中的目的，從而使問題獲解。

總結(jié)：兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，像這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心。位似是一種重要的圖形變換方式，利用位似變換可以將一個(gè)圖形進(jìn)行放大或縮小。位似圖形是一種特殊的相似圖形，與它們的位置有關(guān)，而相似圖形與它們的位置無關(guān)。兩個(gè)位似圖形的相似比就是它們的位似比。通過以上例題的分析，從運(yùn)動(dòng)變化的圖形得特殊位置，探索出一般的結(jié)論或從中獲得解題啟示，這種由特殊到一般的思想對(duì)我們解決運(yùn)動(dòng)變換問題是極為重要的，因此，抓住這四種變換的特征和基本解題思路來指導(dǎo)我們的教學(xué)，將是一種事半功倍的好方法。

參考文獻(xiàn)：

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[3]=3＼*GB2義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）；北京師范大學(xué)出版社.endprint