基于MATLAB的線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定性仿真研究

費(fèi)旻++林懷蔚++邢瑋++李云海

DOI：10.16661/j.cnki.1672-3791.2017.30.034

摘 要：穩(wěn)定性是保證控制系統(tǒng)正常工作的先決條件。為了判斷線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，在MATLAB/Simulink仿真環(huán)境下，利用MATLAB軟件中的Simulink模塊組合方式建模，可以準(zhǔn)確地創(chuàng)建動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的仿真模型。本文通過(guò)實(shí)例對(duì)線性控制系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性仿真研究，分析過(guò)程簡(jiǎn)單、快捷，結(jié)果準(zhǔn)確可靠，充分體現(xiàn)了MATLAB/Simulink仿真方便和直觀的特點(diǎn)，其創(chuàng)新點(diǎn)在于利用MATLAB/Simulink對(duì)線性控制系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性仿真研究，驗(yàn)證了其穩(wěn)定理論的有效性和真實(shí)性。

關(guān)鍵詞：線性控制系統(tǒng) 穩(wěn)定性 MATLAB/Simulink 仿真

中圖分類號(hào)：TP391.9 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2017）10（c）-0034-03

自動(dòng)控制系統(tǒng)是由控制器和被控對(duì)象按照一定的方式連接起來(lái)、完成一定自動(dòng)控制任務(wù)的有機(jī)整體，盡管其實(shí)現(xiàn)的功能不盡相同，但任何控制系統(tǒng)要使其按照預(yù)期目標(biāo)實(shí)現(xiàn)其功能，都必須以系統(tǒng)穩(wěn)定為首要條件。穩(wěn)定性是指系統(tǒng)重新恢復(fù)平衡狀態(tài)的能力，它是保證控制系統(tǒng)正常工作的先決條件。理論上判斷一個(gè)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法有很多，按照傳統(tǒng)方法判斷控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，不但計(jì)算工作量大、效率低，而且不夠直觀，缺乏有力的輸出圖形支撐。隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，各種功能強(qiáng)大的系統(tǒng)仿真軟件在自動(dòng)控制領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，其中，最為典型的代表就是MATLAB仿真軟件，它是目前國(guó)際最流行、應(yīng)用最廣泛的科學(xué)與工程計(jì)算軟件。

Simulink是基于MATLAB框圖設(shè)計(jì)環(huán)境實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和分析的軟件包，是MATLAB中一種可視化仿真工具，被廣泛應(yīng)用于各種控制系統(tǒng)的建模、仿真和分析中。本文介紹了基于MATLAB/Simulink仿真環(huán)境下，通過(guò)單位階躍信號(hào)作用，利用仿真實(shí)例對(duì)線性控制系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性仿真研究，直接觀察和分析系統(tǒng)個(gè)別參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，充分體現(xiàn)了利用MATLAB/Simulink實(shí)現(xiàn)仿真方便和直觀的特點(diǎn)。其創(chuàng)新點(diǎn)在于利用MATLAB/Simulink對(duì)線性控制系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性仿真研究，驗(yàn)證了其穩(wěn)定理論的有效性和真實(shí)性。

1 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性

1.1 穩(wěn)定性的概念

控制系統(tǒng)能在實(shí)際中應(yīng)用，其首要條件是保證系統(tǒng)穩(wěn)定。原來(lái)處于平衡狀態(tài)的系統(tǒng)，在受到擾動(dòng)作用后都會(huì)偏離原來(lái)的平衡工作狀態(tài)，產(chǎn)生初始偏差。所謂穩(wěn)定性，就是在擾動(dòng)作用消失后，系統(tǒng)能否由初始偏差狀態(tài)回到原來(lái)的平衡狀態(tài)的性能。若系統(tǒng)能恢復(fù)到原來(lái)的平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的；反之，偏差越來(lái)越大，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

穩(wěn)定性是系統(tǒng)的固有特性，是擾動(dòng)消失后系統(tǒng)自身的恢復(fù)能力。穩(wěn)定性只由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)、參數(shù)決定，而與系統(tǒng)的初始條件以及外作用無(wú)關(guān)。

1.2 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件

線性定常系統(tǒng)的特性可由線性微分方程來(lái)描述，而微分方程的解通常就是系統(tǒng)輸出量的時(shí)域表達(dá)式，它包括穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量?jī)蓚€(gè)部分。穩(wěn)態(tài)分量對(duì)應(yīng)微分方程的特解，與外作用形式有關(guān)；暫態(tài)分量對(duì)應(yīng)微分方程的通解，是系統(tǒng)齊次方程的解，它與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)以及初始條件有關(guān)，而與外作用形式無(wú)關(guān)。由上述穩(wěn)定性概念可知，研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性，就是研究系統(tǒng)輸出量中暫態(tài)分量的運(yùn)動(dòng)形式，這種運(yùn)動(dòng)形式完全取決于系統(tǒng)的特征方程式。根據(jù)理論推導(dǎo)，線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)特征方程的所有根均為負(fù)實(shí)數(shù)或具有負(fù)的實(shí)部。

1.3 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)

根據(jù)線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，要判斷一個(gè)系統(tǒng)是否穩(wěn)定，需要求出系統(tǒng)特征方程的全部特征根，這對(duì)于低階系統(tǒng)容易取得，但對(duì)于三階以上高階系統(tǒng)，求系統(tǒng)的特征根比較困難。于是，對(duì)于高階系統(tǒng)，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定與否可采用代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)，它只要根據(jù)特征方程的系數(shù)便可判別出特征根是否具有負(fù)實(shí)部，從而判斷出系統(tǒng)是否閉環(huán)穩(wěn)定，常用的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)主要有赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)、林納德-齊帕特判據(jù)和勞斯判據(jù)等。利用代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)還可確定系統(tǒng)個(gè)別參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，從而給出使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)取值范圍。

2 線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定性仿真研究

2.1 仿真實(shí)例及其穩(wěn)定性判別

2.1.1 仿真實(shí)例

在CDIO模式下的“自動(dòng)控制原理”課程實(shí)踐教學(xué)實(shí)例中，一串級(jí)直流電動(dòng)機(jī)速度控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：

其中，K為開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)；T為時(shí)間常數(shù)；給定時(shí)間常數(shù)T=0.1s，分析討論輸入單位階躍信號(hào)時(shí)，不同開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)K對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

2.1.2 仿真實(shí)例的穩(wěn)定性理論判別

從系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)可知，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：

其特征方程為S3+20s2+100s=1000K=0，由勞斯判據(jù)易得：1000K>0，且20×100>1000K，聯(lián)立求得系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K值的取值范圍為0

可見(jiàn)，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性與系統(tǒng)開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)K值直接有關(guān)。當(dāng)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)K值增大時(shí)，系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性變差；當(dāng)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)K值大于其臨界值時(shí)，系統(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定。

2.2 仿真實(shí)例模型構(gòu)建

啟動(dòng)MATLAB 7.0.4，進(jìn)入Simulink仿真界面，在create a new model中繪制控制系統(tǒng)仿真結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。根據(jù)要求，雙擊各傳遞函數(shù)模塊，在出現(xiàn)對(duì)話框內(nèi)設(shè)置相應(yīng)參數(shù)，加入單位階躍信號(hào)，設(shè)置起始時(shí)間為0s，對(duì)開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)K取不同參數(shù)值，點(diǎn)擊Simulation菜單下start命令進(jìn)行仿真，雙擊示波器模塊得到系統(tǒng)輸出響應(yīng)曲線，觀察、記錄和分析仿真結(jié)果。

2.3 仿真結(jié)果及分析

（1）根據(jù)圖2所示仿真結(jié)構(gòu)，當(dāng)K=1時(shí)，在單位階躍信號(hào)作用下，仿真輸出響應(yīng)曲線如圖3所示，系統(tǒng)開(kāi)始呈現(xiàn)超調(diào)輸出，伴隨時(shí)間增加超調(diào)輸出逐漸減小直至為0，調(diào)節(jié)時(shí)間為3s，在0

（2）根據(jù)圖2所示仿真結(jié)構(gòu)，當(dāng)K=2時(shí)，仿真輸出響應(yīng)曲線如圖4所示，系統(tǒng)輸出呈現(xiàn)等幅振蕩，系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定狀態(tài)，工程上為不穩(wěn)定，仿真結(jié)果與理論分析一致。

（3）根據(jù)圖2所示仿真結(jié)構(gòu)，當(dāng)K=3時(shí)，在單位階躍信號(hào)作用下，仿真輸出響應(yīng)曲線如圖5所示，系統(tǒng)開(kāi)始呈現(xiàn)穩(wěn)定狀態(tài)，伴隨著時(shí)間增加，系統(tǒng)一旦受到外界擾動(dòng)，輸出變?yōu)榘l(fā)散狀態(tài)，在超出0

3 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)對(duì)控制系統(tǒng)實(shí)例的理論分析和仿真可知，系統(tǒng)開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)K值越大，且越接近臨界值，系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性越差；當(dāng)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)K值大于臨界值，系統(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定。因此，增大系統(tǒng)開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)K值不利于閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定。

基于MATLAB/Simulink仿真環(huán)境下，通過(guò)Simulink軟件包所提供的基本模塊，不需任何硬件，在單位階躍信號(hào)作用下，利用仿真實(shí)例完好地實(shí)現(xiàn)了對(duì)線性控制系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性仿真研究，可直接觀察和分析系統(tǒng)輸出性能變化，驗(yàn)證了其穩(wěn)定理論的有效性和真實(shí)性，在控制系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷中具有很高的實(shí)用價(jià)值。

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