概率解題技巧談

李家洪

在數(shù)學(xué)必修三中重點(diǎn)介紹了古典概型、幾何概型、互斥事件（對立事件）的概率. 高考中與概率相關(guān)的交匯問題很多，但始終離不開各種概率的求法. 因此必須正確理解概率發(fā)生的條件，并掌握一些基本的概率模型及其解題方法.

古典概型

對于古典概型，要把握其兩個特點(diǎn)：（1）有限性，試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；（2）等可能性，每個基本事件發(fā)生的可能性相等. 利用概率公式（即[P（A）=A包含的基本事件的個數(shù)基本事件的總數(shù)]）計(jì)算概率的關(guān)鍵在于基本事件的計(jì)數(shù). 古典概型中基本事件數(shù)的探求方法有：（1）枚舉法：適合于給定的基本事件個數(shù)較少且易一一列舉出，但列舉時必須按一定順序，做到不重不漏. （2）樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求，注意在確定基本事件時，[（x，y）]可看成是有序的，如（1，2）與（2，1）不同；有時也可看成是無序的，如（1，2），（2，1）相同. （3）列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的問題簡單化、抽象的問題具體化.

例1 袋中有五張卡片，其中紅色卡片三張，標(biāo)號分別為1，2，3；藍(lán)色卡片兩張，標(biāo)號分別為1，2.

（1）從以上五張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號之和小于4的概率；

（2）向袋中再放入一張標(biāo)號為0的綠色卡片，從這六張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號之和小于4的概率.

解析 （1）從五張卡片中任取兩張的所有可能情況有如下10種：（紅1紅2），（紅1紅3），（紅1藍(lán)1），（紅1藍(lán)2），（紅2紅3），（紅2藍(lán)1），（紅2藍(lán)2），（紅3藍(lán)1），（紅3藍(lán)2），（藍(lán)1藍(lán)2）.

其中兩張卡片顏色不同且標(biāo)號之和小于4的情況有 （紅1藍(lán)1），（紅1藍(lán)2），（紅2藍(lán)1），共3種.

故所求概率[P=310].

（2）加入一張標(biāo)號為0的綠色卡片后，從六張卡片中任取兩張，除（1）中的10種情況外，多出5種情況，即（紅1綠0），（紅2綠0），（紅3綠0），（藍(lán)1綠0），（藍(lán)2綠0），共有15種情況.

其中顏色不同且標(biāo)號之和小于4的情況有8種.

故所求概率[P=815].

點(diǎn)評 用列舉法求解古典概型中隨機(jī)事件所包含的基本事件的個數(shù)，（1）（2）處涉及球的顏色與球的編號，所以在列舉基本事件時容易出現(xiàn)顏色與編號混亂，從而導(dǎo)致基本事件遺漏、重復(fù)等錯誤. 解決此類問題，一定要按照某個既定的順序逐個寫基本事件，以防遺漏與重復(fù).

例2 從分別寫有1，2，3，4，5的五張卡片中隨機(jī)抽取一張，放回后再隨機(jī)抽取一張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為（ ）

A. [110] B. [15]

C. [310] D. [25]

解析 如下表所示，表中的點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示第一次取到的數(shù)，縱坐標(biāo)表示第二次取到的數(shù).

總共有25種情況，滿足條件的有10種，所以所求的概率為[1025=25].

點(diǎn)評 本題的關(guān)鍵是要得到符合題意的數(shù)據(jù)表，首先要正確理解基本事件，注意到本題中要求是“有放回地抽取兩次卡片”；其次要把握好事件發(fā)生的要求是“抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)”.

變式 從分別寫有1，2，3，4的四張卡片中無放回地抽取三次，則抽得的前兩張卡片上的數(shù)的和大于第三張卡片上的數(shù)的概率為多少？

解析 如下圖所示，總共有24種情況，滿足條件的有18種，所以所求的概率為[P=1824=23].

點(diǎn)評 本題因?yàn)槭恰盁o放回地抽取三次”，枚舉法煩瑣，列表法不易構(gòu)造，適合用樹狀圖法來探究基本事件的個數(shù).

幾何概型

對于幾何概型的計(jì)算，首先確定事件類型為幾何概型并確定其幾何區(qū)域（長度、面積、體積或時間），其次計(jì)算基本事件區(qū)域的幾何度量和事件[A]區(qū)域的幾何度量，最后根據(jù)幾何概型的概率公式（即[P（A）=][構(gòu)成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積）），]計(jì)算[P（A）].

1. 與長度、角度有關(guān)的幾何概型

與長度（角度）有關(guān)的幾何概型的概率的方法是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為長度（角度），然后求解，要特別注意“長度型”與“角度型”的不同. 解題的關(guān)鍵是構(gòu)建事件的區(qū)域（長度、角度）.

例3 已知等腰[△ABC，C=90°]，在直角邊[BC]上取一點(diǎn)[M]，求[∠CAM<30°]的概率.

解析 如圖，在[BC]上取點(diǎn)[M]，使[∠CAM=30°].

設(shè)[BC=a]，則[CM=33AC=33a.]

故[P（∠CAM<30°）=CMCB=33.]

點(diǎn)評 本題中，點(diǎn)[M]在邊[BC]上的分布是等可能的，即分布的概率與長度是成正比的. 不能用角度比，原因是當(dāng)點(diǎn)[M]在邊[BC]上均勻變化時，[∠CAM]的變化不是均勻的，即點(diǎn)[M]分布的概率與角度不成正比.

2. 與體積有關(guān)的幾何概型

對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計(jì)算總體積（總空間）以及事件的體積（空間），對于某些較復(fù)雜的問題也可利用其對立事件去求解.

例4 在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為________.

解析 正方體的體積為[23=8]，以O(shè)為球心，1為半徑且在正方體內(nèi)部的半球的體積為[12×4π3×13=2π3]，故點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為[1-2π38=1-π12].

3. 與面積有關(guān)的幾何概型

求與面積有關(guān)的幾何概型的概率的方法：（1）確定所求事件構(gòu)成的區(qū)域圖形，判斷是否為幾何概型；（2）分別求出[Ω]和所求事件對應(yīng)的區(qū)域面積，用幾何概型的概率公式求解.endprint

例5 如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖. 正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱. 在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是（ ）

A. [14] B. [π8]

C. [12] D. [π4]

解析 設(shè)正方形的邊長為[a]，則圓的半徑為[a2]，由圖形的對稱性知，太極圖中黑白部分的面積相等，即各占圓面積的一半.

由幾何概型概率的計(jì)算公式得，此點(diǎn)取自黑色部分的概率為[P=12?πa24a2=π8.]

答案 B

點(diǎn)評 對于不規(guī)則圖形面積的計(jì)算，往往先考慮其是否具有很好的對稱性，如軸對稱、中心對稱等等；再通過割補(bǔ)、構(gòu)造等方法將面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，變?yōu)槭熘膱D形面積進(jìn)行計(jì)算.

互斥事件、對立事件的概率

求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法. （1）直接法：將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率，再運(yùn)用互斥事件概率的加法公式計(jì)算. 若事件[A]與事件[B]互斥，則[P（A?B）=P（A）][+P（B）]. （2）間接法：先求此事件的對立事件的概率，再用公式[P（A）=1-P（A）]求概率，即運(yùn)用逆向思維（正難則反），特別是對“至多”“至少”型題目，用間接法更簡便.

例6 甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是[12]，甲獲勝的概率是[13]，則甲不輸?shù)母怕蕿椋?）

A. [56] B. [25]

C. [16] D. [13]

解析 甲不輸?shù)母怕蔥P=13+12=56].

答案 A

例7 一個盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1，2，3，這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同. 隨機(jī)有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c，求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率.

解析 （a，b，c）所有的可能的情況有27種，設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”為事件[A]，

則事件[A]的對立事件[A]為“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c完全相同”，包括（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3），共3種情況.

故[P（A）=1-P（A）=1-327=89].

點(diǎn)評 要準(zhǔn)確理解互斥事件和對立事件的含義，注重它們之間的區(qū)別和聯(lián)系. 互斥事件是指事件[A]與事件[B]在一次試驗(yàn)中不會同時發(fā)生，具體包含三種不同的情形：（1）事件[A]發(fā)生且事件[B]不發(fā)生；（2）事件[A]不發(fā)生且事件[B]發(fā)生；（3）事件[A]與事件[B]都不發(fā)生. 對立事件是指事件[A]與事件[B]有且僅有一個發(fā)生，包含兩種情形：（1）事件[A]發(fā)生，事件[B]不發(fā)生；（2）事件[B]發(fā)生，事件[A]不發(fā)生. 對立事件是互斥事件的特殊情形.endprint