臧茉白
平面解析幾何一直是高考真題卷中拉開差距的提分題,得分率普遍偏低。透露出來(lái)的信息,一方面是高考平面解析幾何試題本身需要具備較強(qiáng)的邏輯分析能力,以及問(wèn)題轉(zhuǎn)化能力和創(chuàng)新能力,另一方面平面解析幾何試題對(duì)知識(shí)的理解運(yùn)用要求高,需要考生在平時(shí)將平面幾何題熟練掌握,方能舉一反三。而2017年高考數(shù)學(xué)真題全國(guó)卷1理科20題再次做了一個(gè)很好的示范作用,通過(guò)對(duì)這道題進(jìn)行一定的分析,以期對(duì)平面幾何的類型題有更好的理解和掌握。
題目分析
2017年高考數(shù)學(xué)真題全國(guó)卷1理科20題作為壓軸出場(chǎng),具有至關(guān)重要的地位,在題目和題型的設(shè)計(jì)上保持著一貫的作風(fēng),能夠?qū)W(xué)生的成績(jī)?cè)谡w上拉開差距。對(duì)于基礎(chǔ)掌握牢靠的學(xué)生來(lái)講,是必須要掌握的一道題型。首先從題目上進(jìn)行簡(jiǎn)要的分析,已知橢圓C:[x2a2+y2b2=1](a>b>0),四點(diǎn)P1(1,1),P2(0,1),P3(-1,[32]),P4(1,[32])中恰有三點(diǎn)在橢圓C上。
(1)求C的方程。
考察方向:橢圓的基本方程。主要利用的就是橢圓對(duì)稱的特性,可知P3(-1,[32]),P4(1,[32])此兩點(diǎn)一定是沿y對(duì)稱軸對(duì)稱分布,并且這橢圓C一定同時(shí)經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)。而且,又因P4(1,[32])一定在橢圓C上,那么P1(1,1)由于與P4(1,[32])X軸一致,y軸上不一致,根據(jù)常理橢圓只可經(jīng)過(guò)其中一點(diǎn)。因此,P1(1,1)一定不在橢圓C上,該橢圓C具體如下圖所示。具體的方程求解過(guò)程較為簡(jiǎn)單和常規(guī),可根據(jù)P3(-1,[32]),P4(1,[32])套用常規(guī)掌握的橢圓基本方程。可知:b=1,a=2。 [x][y][P3(-1,[32])][P4(1,[32])][(0,1)] [o]
(2)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn)。若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1,證明:l過(guò)定點(diǎn)。
考察方向:直線與圓錐曲線的位置關(guān)系。幾何證明類題目,需要將抽象的平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常規(guī)型代數(shù)問(wèn)題,要么是通過(guò)方程轉(zhuǎn)化、要么是通過(guò)定位坐標(biāo)、要么是通過(guò)補(bǔ)等關(guān)系,而這道題很明顯是通過(guò)坐標(biāo)的方式,轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題的,這是核心的解題思路。利用題目中若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1,以及設(shè)出直線l的斜率公式來(lái)解題。通過(guò)幾何本身的問(wèn)題來(lái)優(yōu)化題目。
解題思路分析與解題步驟
(1)求C的方程。
解題思路:
由于P3,P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱,故由題設(shè)知C經(jīng)過(guò)P3,P4兩點(diǎn),又由[1a2+1b2>1a2+34b2]知,C不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1,所以點(diǎn)P2在C上。直接代入方程,進(jìn)而求出橢圓的方程
解析 由于P3,P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱,故由題設(shè)知C經(jīng)過(guò)P3,P4兩點(diǎn)。
又由[1a2+1b2>1a2+34b2]知,C不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1,所以點(diǎn)P2在C上。
因此[1b2=11a2+34b2=1]解得[a2=4b2=1]。
故C的方程為[x24+y2=1]。
(2)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn)。若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1,證明:l過(guò)定點(diǎn)。
解題思路:由題意可知直線P2A與直線P2B的斜率一定存在,不妨先設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1,k2,l與x軸垂直,通過(guò)計(jì)算不符合題設(shè);再設(shè)l:y=kx+m(m≠1)。將y=kx+m代入[x24+y2=1],寫出判別式,韋達(dá)定理,表示出,由k1+k2=-1列等式表示出k和m的關(guān)系,判斷出直線恒過(guò)定點(diǎn)
解析 設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1,k2,
如果l與x軸垂直,設(shè)l:x=t,由題設(shè)知t≠0,且[t<2],可得A,B的坐標(biāo)分別為(t,[4-t22]),(t,-[4-t22])。
則k1+k2=[4-t2-22t-4-t2+22t=-1],得t=2,不符合題設(shè)。
從而可設(shè)l:y=kx+m(m≠1)。將y=kx+m代入[x24+y2=1]得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0。
由題設(shè)可知△=16(4k2-m2+1)>0。
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=[-8km4k2+1],x1x2=[4m2-44k2+1]。
而k1+k2=[y1-1x1+y2-1x2]
=[kx1+m-1x1+kx2+m-1x2]
=[2kx1x2+(m-1)(x1+x2)x1x2]。
由題設(shè)k1+k2=-1,
故[2k+1x1x2+m-1x1+x2=0]。
即:[2k+1·4m2-44k2+1+m-1·-8km4k2+1=0]。
解得:[k=-m+12]。
當(dāng)且僅當(dāng)m>-1時(shí),△>0,于是l:[y=-m+12x+m],即[y+1=-m+12(x-2)],所以l過(guò)定點(diǎn)(2,-1)。
平面解析幾何問(wèn)題的復(fù)習(xí)方法
根據(jù)對(duì)2017年高考數(shù)學(xué)真題全國(guó)卷1理科20題評(píng)析,新課標(biāo)體系下對(duì)平面幾何的考察,是一個(gè)綜合性的問(wèn)題,而不只單單是幾何問(wèn)題,這就加大了平面解析幾何的難度。通常一條幾何性質(zhì)條件蘊(yùn)含一個(gè)系數(shù)之間的關(guān)系式,利用題目已知和推理可知的代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行列方程,多種條件熟練掌握綜合運(yùn)用是解決圓錐曲線高考題的基礎(chǔ)。作為數(shù)形結(jié)合的典型題目,需要掌握基本圖形模型,學(xué)會(huì)利用題目已給圖形來(lái)尋求和換算出數(shù)量關(guān)系,幫助求解問(wèn)題。其中利用函數(shù)、方程和不等式等代數(shù)工具來(lái)研究曲線軌跡,并從代數(shù)角度解釋曲線問(wèn)題這是解答平面解析幾何問(wèn)題的重中之重和核心要素。該真題的經(jīng)典解題思路齊次化法如下:
設(shè)α*x+β(y-1)=1,A([x1],[y1])B([x2],[y2])
由[x24+y2=1]得:[x24+y-1+12=1]
∴[14x2+y-12-2y-1·αx+βy-1]=0
∴[1+2βy·1x2+2αy-1x+14=0]
∴[y1-1x1+y2-1x2=-2α1+2β=-1]
∴[2α-2β=1]
x=2,y-1=-2,[x=2y=-1]
可知L恒定過(guò)(2,-1)
所以若要熟練掌握平面解析幾何這類問(wèn)題,從學(xué)生自身的角度需要做如下工作:首先以新課標(biāo)課本作為基礎(chǔ)內(nèi)容的掌握模板,并對(duì)《考試說(shuō)明》中列舉的平面解析幾何類和代數(shù)方程類問(wèn)題熟記于心,同時(shí)需要輔以近五年高考真題的解析與練習(xí),強(qiáng)化和更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)知識(shí)點(diǎn)。高考題源于教材又高于教材,試題的立意往往立足與課本知識(shí)但在此基礎(chǔ)上又有一些變動(dòng),因此吃透教材所體現(xiàn)的重點(diǎn)、難點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn)是復(fù)習(xí)的前提,不斷建立、調(diào)整和優(yōu)化自己的認(rèn)知方式、解題思維以及相對(duì)固化的知識(shí)結(jié)構(gòu)、方法結(jié)構(gòu)。其次,注重對(duì)平面解析幾何的邏輯轉(zhuǎn)化能力的解題能力培養(yǎng),以提高解題效率。這需要掌握一定的運(yùn)算技巧,特別是將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程式來(lái)求解。常用的運(yùn)算策略有:設(shè)而不求、運(yùn)用定義、巧用幾何性質(zhì)、會(huì)設(shè)善求,而這些運(yùn)算技巧需要一定的解題經(jīng)驗(yàn)積累,更新運(yùn)算的固有觀念,嘗試從艱澀的數(shù)學(xué)問(wèn)題中獲得樂(lè)趣。endprint