例析系統(tǒng)抽樣的考查

李琳

系統(tǒng)抽樣的概念

例1 （1）某商場欲通過檢查部分發(fā)票及銷售記錄來快速估計每月的銷售金額，采用如下方法：從某本發(fā)票的存根中隨機抽一張，如15號，然后按順序?qū)?5號，115號，165號，…，發(fā)票上的銷售金額組成一個調(diào)查樣本. 這種抽取樣本的方法是（ ）

A. 抽簽法

B. 隨機數(shù)法

C. 系統(tǒng)抽樣法

D. 以上都不對

（2）為了解1200名學生對學校某項教改試驗的意見，打算從中抽取一個容量為30的樣本，考慮采用系統(tǒng)抽樣，則分段的間隔[k]=________.

解析 （1）上述抽樣方法是將發(fā)票平均分成若干組，每組50張，從第一組抽出了15號，以后各組抽[15+50n][（n∈N*）]號，符合系統(tǒng)抽樣的特點.

（2）根據(jù)樣本容量為30，將1200名學生分為30段，每段人數(shù)即間隔[k=120030]=40.

答案 （1）C （2）40

點評 判斷一個抽樣是否為系統(tǒng)抽樣：（1）首先看在抽樣前是否知道總體是由什么組成，多少個個體；（2）再看是否將總體分成幾個均衡的部分，并在每一個部分中進行簡單隨機抽樣；（3）最后看是否等距抽樣.

系統(tǒng)抽樣的設計

例2 （1）某初級中學采用系統(tǒng)抽樣方法，從該校預備年級800名學生中抽50名學生做牙齒健康檢查. 現(xiàn)將800名學生從1到800進行編號，求得間隔數(shù)[k=80050]=16，即每16人抽取一個人. 在1～16中隨機抽取一個數(shù)，如果抽到的是7，則從33～48這16個數(shù)中應取的數(shù)是________.

（2）某企業(yè)對新招的504名員工進行崗前培訓，為了了解員工的培訓情況，試用系統(tǒng)抽樣的方法按照下列要求抽取員工，請你寫出具體步驟.

①從中抽取8名員工，了解基本理論的掌握情況；

②從中抽取50名員工，了解實際操作的掌握情況.

解析 （1）∵采用系統(tǒng)抽樣方法，每16人抽取一個人，1～16中隨機抽取一個數(shù)抽到的是7，

∴在第k組抽到的是[7+16（k-1）]，

∴從33～48這16個數(shù)中應取的數(shù)是7+16×2=39.

（2）①第一步，將504名員工隨機編號，依次為001，002，003，…，503，504，將其等距分成8段，每一段有63個個體.

第二步，在第一段（001～063）中用簡單隨機抽樣方法隨機抽取一個號碼作為起始號碼，比如26號.

第三步，起始號+間隔的整數(shù)倍，確定各個個體：將編號為26，26+63，26+63×2，…，26+63×7的個體抽出組成樣本.

②第一步，用隨機方式給每個個體編號：001，002，003，…，503，504.

第二步，利用隨機數(shù)表法剔除4個個體，比如剔除編號為004，135，069，308的4個個體；然后再對余下的500名員工重新編號，分別為001，002，003，…，499，500，并等距分成50段，每段10個個體.

第三步，在第一段001，002，003，…，010中用簡單隨機抽樣方法抽出一個號碼（如006）作為起始號碼.

第四步，起始號+間隔的整數(shù)倍，確定各個個體，將編號為006，016，026，…，486，496的個體抽出組成樣本.

答案 （1）39 （2）見解析

點評 設計系統(tǒng)抽樣應關注的幾個問題：（1）系統(tǒng)抽樣一般是等距離抽取，適合總體中個體數(shù)較多、個體無明顯差異的情況；（2）總體均勻分段，通常在第一段（也可以選在其他段）中采用簡單隨機抽樣的方法抽取一個編號，再通過將此編號加段距的整數(shù)倍的方法得到其他的編號，注意要保證每一段中都能取到一個個體；（3）若總體不能均勻分段，要將多余的個體剔除（通常用隨機數(shù)表的方法），不影響總體中每個個體被抽到的可能性.

簡單隨機抽樣與系統(tǒng)抽樣的綜合問題

例3 某集團有員工1019人，其中獲得過國家級表彰的有29人，其他人員990人. 該集團擬組織一次出國學習，參加人員確定為：獲得過國家級表彰的人員5人，其他人員30人. 如何確定人選？

解析 獲得過國家級表彰的人員選5人，適宜使用抽簽法；其他人員選30人，適宜使用系統(tǒng)抽樣法.

（1）確定獲得過國家級表彰的人員人選：

①用隨機方式給29人編號，號碼為1，2，…，29；

②將這29個號碼分別寫在一張小紙條上，揉成小球，制成號簽；

③將制得的號簽放入一個不透明的袋子中，攪拌均勻；

④從袋子中逐個抽取5個號簽（不放回），并記錄上面的號碼；

⑤從總體中將與抽到的號簽的號碼相一致的個體選出，人選就確定了.

（2）確定其他人員人選：

第一步：將990名其他人員重新編號（分別為1，2，…，990），并分成30段，每段33人.

第二步，在第一段1，2，…，33這33個編號中用簡單隨機抽樣法抽出一個（如3）作為起始號碼.

第三步，將編號為3，36，69，…，960的個體選出，人選就確定了.

由（1）（2）確定的人選組合在一起就是最終確定的人選.

點評 系統(tǒng)抽樣與簡單隨機抽樣的區(qū)別：（1）系統(tǒng)抽樣比簡單隨機抽樣更容易實施，可節(jié)約抽樣成本. （2）系統(tǒng)抽樣所得樣本的代表性與具體的編號有關；而簡單隨機抽樣所得樣本的代表性與個體的編號無關. 如果編號的個體特征隨編號的變化呈一定的周期性，可能會使抽樣的代表性很差. （3）系統(tǒng)抽樣的應用比簡單隨機抽樣的應用更廣泛，尤其是工業(yè)生產(chǎn)線上產(chǎn)品質(zhì)量的檢驗，由于不知道產(chǎn)品的數(shù)量，因此不能用簡單隨機抽樣.

系統(tǒng)抽樣與簡單隨機抽樣的聯(lián)系：（1）將總體均分后的起始部分進行抽樣時，采用的是簡單隨機抽樣. （2）與簡單隨機抽樣一樣，系統(tǒng)抽樣是等概率抽樣，它是客觀的、公平的. （3）與簡單隨機抽樣一樣是不放回的抽樣. （4）總體中的個體數(shù)恰好能被樣本容量整除時，可用它們的比值作為系統(tǒng)抽樣的間隔；當總體中的個體數(shù)不能被樣本容量整除時，可用簡單隨機抽樣先從總體中剔除少量個體，使剩下的個體數(shù)能被樣本容量整除再進行系統(tǒng)抽樣.

[練習]

1. 某工廠平均每天生產(chǎn)某種機器零件大約10000件，要求產(chǎn)品檢驗員每天抽取50件零件，檢查其質(zhì)量狀況，采用系統(tǒng)抽樣方法抽取，若抽取的第一組中的號碼為0010，則第三組抽取的號碼為________.

2.用系統(tǒng)抽樣法（按等距離的規(guī)則）要從160名學生中抽取容量為20的樣本，將160名學生從1～160編號.按編號順序平均分成20組（1～8號，9～16號，…，153～160號），若第16組應抽出的號碼為125，則第一組中按此抽簽方法確定的號碼是________.

3. 為了解1000名學生的學習情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本，則分段的間隔為（ ）

A.50 B.40

C.25 D.20

[參考答案]

1. 0410 2. 5 3. Cendprint