例說(shuō)轉(zhuǎn)化與化歸思想

劉族剛　許諾

復(fù)數(shù)中的轉(zhuǎn)化與化歸

例1 求復(fù)數(shù)[7+24i]的平方根.

解析 設(shè)[z=a+bi（a，b∈R）]是復(fù)數(shù)[7+24i]的平方根，

由平方根的定義得，[z2=（a+bi）2=7+24i].

即[（a2-b2）+2abi=7+24i].

因?yàn)閇a，b∈R]，利用復(fù)數(shù)相等得，[a2-b2=7，2ab=24，]

則[a=4，b=3，]或[a=-4，b=-3.]

故復(fù)數(shù)[7+24i]的平方根為[±（4+3i）].

點(diǎn)評(píng) 將復(fù)數(shù)的開(kāi)平方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為平方運(yùn)算、將復(fù)數(shù)（虛數(shù)）問(wèn)題通過(guò)復(fù)數(shù)代數(shù)形式化歸為實(shí)數(shù)問(wèn)題，是處理復(fù)數(shù)問(wèn)題的基本策略.

立體幾何中的轉(zhuǎn)化與化歸

例2 如圖，在四棱錐[P-ABCD]中，[AB∥CD，]且[∠BAP=][∠CDP][=90°].

（1）證明：平面[PAB]⊥平面[PAD]；

（2）若[PA=PD=AB=DC]，[∠APD=90°]，求二面角[A-PB-C]的余弦值.

解析 （1）證明：因?yàn)閇∠BAP=∠CDP=90°]，

所以[AB⊥AP，CD⊥DP].

又因?yàn)閇AB//CD]，所以[AB⊥DP].

又[PA?PD=P]，[AB?平面PAB]，

所以平面[PAB]⊥平面[PAD].

（2）由于平面[PAB]⊥平面[PAD]，取[AD]的中點(diǎn)[O]，[PA=PD，∠APD=90°]，

所以[OP⊥平面ABCD].

以[O]為坐標(biāo)原點(diǎn)，[OA，OP]為[x]軸、[z]軸（建系如上圖）. 不妨設(shè)[PA=PD=AB=DC=2].

[則O（0，0，0），P（0，0，2），A（2，0，0），B（2，2，0），C（-2，2，0）.]

設(shè)平面[PBA]的一個(gè)法向量為[m=（x，y，z），]

則[m?AP=0，m?AB=0，]即[2x-2z=0，y=0.]

取[x=1]，則[m=（1，0，1）.]

設(shè)平面[PBC]的一個(gè)法向量為[n=（x，y，z）.]

則[n?PB=0，n?BC=0，]即[2x+2y-2z=0，x=0.]

取[y=1]，則[n=（0，1，2）.]

記二面角[A-PB-C]的平面角為[θ]，

則[cosθ=m?nm?n=（1，0，1）?（0，1，2）2?3=33].

點(diǎn)評(píng) 將立體幾何中的一種位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為另一種位置關(guān)系，或轉(zhuǎn)化為空間兩向量的數(shù)量關(guān)系（共線與數(shù)量積坐標(biāo)表示）. 將立體幾何中的線面角化歸為空間兩向量夾角坐標(biāo)表示，是立體幾何最基本的解題策略.

解析幾何中的轉(zhuǎn)化與化歸

例3 動(dòng)圓[M]經(jīng)過(guò)點(diǎn)[F（1，0）]，且與直線[x=-1]相切.

（1）求圓心[M]的軌跡[C]的方程；

（2）直線[l]過(guò)定點(diǎn)[F]與曲線[C]交于[A，B]兩點(diǎn)：

①若[AF=2FB]，求直線[l]的方程；

②若點(diǎn)[K（k，0）]始終在以[AB]為直徑的圓內(nèi)，求[k]的取值范圍.

解析 （1）由題意得，點(diǎn)[M]到點(diǎn)[F（1，0）]的距離與點(diǎn)[M]到直線[x=-1]的距離相等，所以點(diǎn)[M]的軌跡是以[F]為焦點(diǎn)，直線[x=-1]為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為[y2=4x.]

（2）設(shè)直線[l]：[x=my+1]，代入拋物線方程得，[y2-4my-4=0.]

再設(shè)[A（x1，y1），B（x2，y2）]，則[y1+y2=4m，y1y2=-4.]

①[AF=（1-x1，-y1），F(xiàn)B=（x2-1，y2）].

因?yàn)閇AF=2FB]，

所以[-y1=2y2]，

聯(lián)立[y1+y2=4m，y1y2=-4]解得，[m=±24].

即所求直線方程為[x=±24y+1].

②[KA=（x1-k，y1），KB=（x2-k，y2）].

因?yàn)辄c(diǎn)[K（k，0）]始終在以[AB]為直徑的圓內(nèi)，

所以[?m∈R]，[KA?KB<0].

即[?m∈R]，[（x1-k）（x2-k）+y1y2<0]恒成立.

亦即[?m∈R]，[（my1+1-k）（my2+1-k）+y1y2<0]恒成立.

也就是[?m∈R]，[4km2+4-（1-k）2>0]恒成立.

當(dāng)[k=0]時(shí)，顯然滿足.

當(dāng)[k≠0]時(shí)，則[k>0]，且[4-（1-k）2>0]，解得，[0

綜上所述，[k]的取值范圍為[[0，3）].

點(diǎn)評(píng) 解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題，“將形化數(shù)、以數(shù)解形”是解析幾何特點(diǎn). 一般地，點(diǎn)[P]在以[AB]為直徑的圓上（內(nèi)、外）[?][PA?PB=0]（[<0，或>0]）.

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的轉(zhuǎn)化與化歸

例4 已知函數(shù)[f（x）=x22e，g（x）=lnx]，

（1）求證：[?x>0]，[f（x）≥g（x）]恒成立；

（2）是否存在常數(shù)[a，b]，使得[?x>0]，都有[f（x）≥2ax+b≥g（x）]恒成立？若存在，求出[a，b]的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析 （1）設(shè)[h（x）=f（x）-g（x）=x22e-lnx]，

則[h（x）=x2-eex].

令[h（x）=0]得，[x=e].

所以函數(shù)[h（x）]的最小值為[h（e）=0，]

所以[h（x）=f（x）-g（x）=x22e-lnx≥0]，即[f（x）≥g（x）].

（2）假設(shè)存在常數(shù)[a，b]，使得對(duì)任意[x>0]都有[f（x）≥2ax+b≥g（x）]恒成立.

即[x22e≥2ax+b≥lnx]對(duì)任意的[x>0]恒成立.

而當(dāng)[x=e]時(shí)，[12≥2ae+b≥12]，

所以[2ae+b=12]，則[b=12-2ae].

所以[h（x）=x22e-（2ax+b）=x22e-2ax-12+2ae≥0]恒成立.

①當(dāng)[a<0]時(shí)，[h0=-12+2ae<0]，所以不成立.

②當(dāng)[a>0]時(shí)，[Δ=（2a-1e）2≥0]，

所以[a=12e]，則[b=-12].

同理，令[φ（x）=lnx-1ex+12]，則[φ（x）=e-xex].

令[φ（x）=0]得，[x=e].

當(dāng)[x∈（0，e）]時(shí)，[φ（x）>0]，[φ（x）]在[（0，e）]上單調(diào)遞增.

當(dāng)[x∈（e，+∞）]時(shí)，[φ（x）<0]，[φx]在[（e，+∞）]上單調(diào)遞減.

所以[φ（x）]的最大值[φ（e）=0].

所以[lnx-1ex+12≤0]恒成立.

所以存在[a=12e]，[b=-12]符合題意.

點(diǎn)評(píng) 一般地，不等式恒成立、能成立問(wèn)題，都可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題. 如：[?x∈D]有[f（x）>A]恒成立[?][x∈D]時(shí)[f（x）min>A]；[?x∈D]有[f（x）A]成立[?][x∈D]時(shí)[f（x）max>A；][?x0∈D]有[f（x0）