一類具有時滯的經濟模型Hopf分岔*

王嘉薇

(安徽財經大學金融學院，安徽 蚌埠 233030)

一類具有時滯的經濟模型Hopf分岔*

王嘉薇

(安徽財經大學金融學院，安徽 蚌埠 233030)

利用特征值方法，討論了一類具有時滯的宏觀經濟模型局部漸近穩(wěn)定和局部Hopf分岔的存在性，得到模型產生局部Hopf分岔的時滯臨界點.研究表明，有效控制或者延遲Hopf分岔的產生，有利于市場的健康發(fā)展.最后利用仿真示例，驗證了所得結果的正確性.

時滯；經濟模型；Hopf分岔

引言

在微分方程的定性理論中，穩(wěn)定性和分岔理論作為其中的一個重要分支，受到國內外眾多研究學者的關注，尤其是在捕食系統(tǒng)模型、傳染病模型方面取得了諸多成果[1～3].近年來，有不少研究學者，利用微分方程穩(wěn)定性理論和分岔理論中的成果，對能源價格模型[4,5]、經濟學模型[6]進行了深入研究.文獻[7]根據具有疾病的捕食系統(tǒng)模型提出下列關于投資企業(yè)之間的一類經濟模型：

(1)

其中，x(t)表示投資項目在時刻t的數量，y1(t)表示正常運營的投資公司在時刻t的數量，y2(t)表示面臨倒閉的投資公司在時刻t的數量.r1,r2,b1,b2,d1,d2,a,和c均為模型(1)的系數，并且均為正常數.其中，r1(r2)表示投資項目(正常運營的投資公司)的自然增長率；b1(b2)表示投資項目與正常運營的投資公司(面臨倒閉的投資公司)之間的作用系數；d1(d2)表示正常運營的投資公司(面臨倒閉的投資公司)的自然衰退率；a表示投資項目受已有項目數的抑制系數；c表示正常運營的投資公司因獲得投資項目而具有的發(fā)展率.文獻[8]在模型(1)的基礎上增加了宏觀調控，得到具有宏觀調控的時滯經濟模型：

(2)

其中，τ為投資項目的成熟期時滯，K為國家對投資項目宏觀調控的作用系數.文獻[7]研究了模型(2)的穩(wěn)定性.但是文獻[7]忽略了一點，即正常運營的投資公司走向倒閉，需要經過一個過渡期.基于此，本文在模型(2)的基礎進一步引入正常運營的投資公司向面臨倒閉的公司過渡期時滯，得到下列具有兩個時滯的宏觀經濟模型：

(3)

其中，τ1為投資項目的成熟期時滯，τ2為正常運營的投資公司向面臨倒閉的公司過渡期時滯.本文只討論當τ1=τ2的情形.當τ1=τ2時，模型(3)變?yōu)?/p>

(4)

本文主要以時滯τ為分岔參數，利用文獻[9]中的Hopf分岔定理討論模型(4)Hopf分岔的存在性.

1 Hopf分岔的存在性

(5)

其中，

λ3+A2λ2+A1λ+A0+(B2λ2+B1λ+B0)e-λτ+(C1λ+C0)e-2λτ=0.

(6)

其中，

A0=a1a6a7+a2a4a8-a1a5a8,

A1=a1a5+a1a8+a5a8-a2a4-a6a7,

A2=-(a1+a5+a8),

B0=a1a6b2+a2a4b3-a3a4b2-b1(a6a7+a5a8+a1a5),

B1=b1(a5+a8)+b3(a1+a5)-a6b2,

B2=-(b1+b3),C0=a6b1b2-a5b1b3,C1=b1b3,

在方程(6)左右兩邊同時乘以eλτ，方程(6)變?yōu)橄铝行问?/p>

B2λ2+B1λ+B0+(λ3+A2λ2+A1λ+A0)eλτ+(C1λ+C0)e-λτ=0.

(7)

當τ=0時，得到

λ3+(A2+B2)λ2+(A1+B1+C1)λ+A0+B0+C0=0.

(8)

顯然，根據赫爾維茨穩(wěn)定性判據可知，當A0+B0+C0>0,A2+B2>0，且(A2+B2)(A0+B0+C0)>A1+B1+C1時，方程(7)的根均具有負實部.此時模型(4)局部漸近穩(wěn)定.

當τ>0時，令λ=iω(ω>0)為方程(7)的根，則有

(9)

其中，

P1(ω)=C1ω-A1ω+ω3,P2(ω)=C0+A0-A2ω2,

P3(ω)=B2ω2-B0,P4(ω)=C1ω+A1ω-ω3,

P5(ω)=C0-A0+A2ω2,P6(ω)=-B1ω.

因此，根據方程(9)，有

根據sin2(τω)+cos2(τω)=1，并且sin(τω)和cos(τω)的表達式已知，可以得到下列關于ω的代數方程

[P3(ω)×P4(ω)-P2(ω)×P6(ω)]2+[P1(ω)×P6(ω)+P3(ω)×P5(ω)]2
=[P1(ω)×P4(ω)+P2(ω)×P5(ω)]2

(10)

對方程(7)左右兩邊同時求λ關于τ的導數，可以得到

(11)

2 仿真示例

為了驗證以上本文所得結果的正確性，我們給出一個仿真示例.選取文獻[7]中相同的參數值：r1=r2=0.1,a=0.1,b1=b2=0.5,c=0.5,d1=0.36,d2=0.1,β=0.3,K=0.5.考慮如下示例：

(12)

根據文獻[7]的計算結果可知，示例模型(12)存在唯一正平衡點E*(0.019 6,0.065 4,0.130 7).借助于Matlab軟件容易驗證當τ=0時，示例模型(12)的正平衡點E*(0.019 6,0.065 4,0.130 7)是局部漸近穩(wěn)定的.當τ>0時，計算得到ω0=0.296 2，τ0=1.596 0.因此，當τ∈[0,τ0=1.596 0)時，E*(0.019 6,0.065 4,0.130 7)是局部漸近穩(wěn)定的，仿真效果如圖1所示.當τ>τ0=1.596 0時，E*(0.350 3,0.346 7)失去穩(wěn)定性，并在τ0=1.596 0時產生Hopf分岔，以及分岔周期解.仿真效果如圖2所示.另外，如果K=0，對于模型(4)來說，如果國家不對投資項目進行宏觀調控的情況下，可以計算得到τ00=12.728 9.相應的仿真效果如圖3～4所示.因此，可以看出，宏觀調控政策對于維持市場穩(wěn)定持續(xù)發(fā)展，的確起到了一定的積極作用.

圖1 當K=0.5,τ=1.05<τ0時，E*(0.019 6,0.065 4,0.130 7)局部漸近穩(wěn)定

圖2 當K=0.5,τ=1.73>τ0時,E*(0.019 6,0.065 4,0.130 7)失去穩(wěn)定并產生Hopf分岔

圖3 當K=0,τ=8.65<τ00時，E*(0.019 6,0.065 4,0.130 7)局部漸近穩(wěn)定

圖4 當K=0,τ=21.85>τ00時，E*(0.019 6,0.065 4,0.130 7)失去穩(wěn)定并產生Hopf分岔

3 小結

本文在文獻[7]的基礎上，進一步引入了正常運營的投資公司向面臨倒閉的公司過渡期時滯，研究了另外一種情形的具有時滯的宏觀經濟模型.首先，以時滯為分岔參數，通過分析模型相應特征方程根的分布情況，討論了Hopf分岔的存在性，給出模型局部漸近穩(wěn)定和產生Hopf分岔的充分條件.研究表明，國家出臺宏觀調控政策，的確有利于保持市場的持續(xù)穩(wěn)定發(fā)展，所得結果和文獻[7]一致.同時，本文又在文獻[7]的基礎上，研究了另外一種時滯對模型穩(wěn)定性的影響,所得結果又是對文獻[7]的適當補充.

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[3]魏鳳英，蔡裕華，趙延輝. 具非線性發(fā)病率隨機SIQS傳染病模型的漸近行為[J].生物數學學報，2016,31(1):109-117.

[4]薛婷婷，樊小琳，李堅,等.一類時滯能源價格模型解的振動性[J].四川師范大學學報:自然科學版，2016,39(1):65-70.

[5]薛婷婷，樊小琳，李堅,等.一類時滯能源價格模型解的穩(wěn)定性[J].數學的實踐與認識，2015,45(4):248-255.

[6]梁玉麟，趙建東.基于Logistic方程的供應商-采購商合作關系的經濟模型研究[J].魯東大學學報(自然科學版),2015,31(3):200-204.

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[9]Hassard B. D, Kazarinoff N. D, Wan Y. H, Theory and Applications of Hopf Bifurcation [M]. Cambridge University Press, Cambridge, 1981.

HopfBifurcationofaTime-delayEconomicModel

WANG Jia-wei

(School of Finance, Anhui University of Finance and Economics, Bengbu Anhui 233030, China)

Using eigenvalue method, the paper discusses the existence of partial asymptotic stability and partial Hopf-bifurcation in a class of macroeconomic models with time delay and obtains the delay critical point of bifurcation. Studies have shown that effective control or delay of Hopf-bifurcation is beneficial to the healthy development of the market. Finally, a simulation example is given to verify the correctness of the obtained results.

time delay; economic model; Hopf-bifurcation

1673-2103(2017)05-0060-05

2017-06-10

2016年度安徽省自然科學基金青年項目(1608085QF145)

王嘉薇(1996-)，女，安徽馬鞍山人，研究方向：貨幣金融學.

O175.12

A