先定點,再連線—由三視圖還原幾何體的又一個簡便方法

先定點,再連線—由三視圖還原幾何體的又一個簡便方法

安徽省合肥六中 合肥市特級教師工作站(230000) 黃海波

文[1]介紹了由三視圖還原幾何體的一個簡便方法,該方法簡便有效,為我們解決該類問題指明了一個方向,讀來深受啟發(fā).美中不足的是,若將該方法介紹給學(xué)生,在分析長方體各頂點是否是所給幾何體的頂點時,需要做三個長方體逐個分析.這樣做于學(xué)生而言,一是解題效率不高,二是對學(xué)生的比較分析能力提出了較高要求.

本文擬從三視圖的各頂點的形成過程出發(fā),逆向思考,給出解決該類問題的簡便易行的操作方法：先定點,再連線.只需一個圖,幾條線便可快速解決問題.

1.三視圖及其簡介

我們知道,幾何體的三視圖是用三組平行光線照射幾何體,在投影面(平行光線均與投影面垂直)上留下的幾何圖形的總稱,具體有正視圖,側(cè)視圖和俯視圖,如圖1所示.

圖1

如圖2是三視圖的三投影面體系,在我們的現(xiàn)實空間中,長方體的共頂點的三個面可以看作是三投影面的一個自然來源.從另一個角度看,多面體完全可以由長方體切割得到.

圖2

2.還原幾何體的簡易方法

我們先以一道課本習(xí)題為例,以長方體為基本載體,詳細(xì)介紹該方法的具體操作過程.

引例 如圖3,是一個幾何體的三視圖,請還原出對應(yīng)的幾何體.

如圖4,我們以長方體為基本載體：

①對照圖3中的正視圖中四條線段的交點,在正視圖的形成過程中,對應(yīng)的投影線,我們以加粗的“______________”線型來表示;

②對照圖3中的側(cè)視圖中三條線段的交點,在側(cè)視圖的形成過程中,對應(yīng)的投影線,我們以雙線型“_______________”來表示;

圖3

圖4

③對照圖3中的俯視圖中五條線段的交點,在俯視圖的形成過程中,對應(yīng)的投影線,我們以點劃線型“·-·-·-”來表示.上述三種線型交于一點時,我們以?來表示,順次連接這些點,便得到對應(yīng)的幾何體的頂點,順次連接這些點,如圖4所示,直三棱柱ABC-A1B1C1即為還原的幾何體.

由上述作圖過程可以看出,這種”先定點,再連線”的方法操作簡便,過程簡單,省時高效.實際作圖時,只需用三種顏色的筆便可輕松還原幾何體,對于空間想象能力相對較弱的同學(xué)來說,這無疑是一種揭示問題本質(zhì)且易于上手的方法.

3.簡易方法應(yīng)用

我們借用這種方法來解答幾道高考試題.

例1(2017年全國課標(biāo)I卷理7)某多面體的三視圖如圖5所示,其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成,正方形的邊長為2,俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個面中有若干個是梯形,這些梯形的面積之和為( )

A.10 B.12 C.14 D.16

圖5

圖6

分析與解答解答該題首先還是要還原出對應(yīng)的幾何體,然后根據(jù)所給數(shù)據(jù)計算梯形的面積和.

這是一個組合體,按照上述方法,我們作出長方體(可以看做兩個全等的正方體疊加而成),如圖6,該幾何體為三棱錐P-ABC與直三棱柱ABC-A1B1C1的組合體.其各個面中只有兩個全等的直角梯形,其面積和為(選B.

例2(2017年北京卷理7)某四棱錐的三視圖如圖7所示,則該四棱錐的最長棱的長度為( )

分析與解答如圖8,用“先定點,再連線”的方法易得四棱錐A-BCDE中的最長棱為AB,其長度為選B.

圖7

圖8

例3(2016年全國III卷理7)如圖9,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的表面積為( )

分析與解答如圖9,用“先定點,再連線”的方法易得斜四棱柱ABCD-A1B1C1D1的表面積S=2×32+2×3×選B.

本文介紹的這種“先定點,再連線”的還原幾何體的方法適用于多面體.若是多面體和旋轉(zhuǎn)體的組合體,對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)體無外乎圓柱、圓錐和球體(或是它們的局部),對這樣的組合體“分而治之”即可.例如2017年浙江省理科數(shù)學(xué)高考題：某幾何體的三視圖如圖11所示(單位：cm),則該幾何體的體積(單位：cm3)是()

該題答案是A,限于篇幅,不再贅述.

圖11

[1]李紅春,黃淑琴.先定線,再取點——一類由三視圖還原直觀圖問題的簡便解法[J],數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2017,3.