一道課本習(xí)題的研究性學(xué)習(xí)

湖南省會(huì)同縣第一中學(xué)(418300) 于先金 黃為公

一道課本習(xí)題的研究性學(xué)習(xí)

湖南省會(huì)同縣第一中學(xué)(418300) 于先金 黃為公

一、問題呈現(xiàn)

題目 已知a＞0,b＞0,a+b=1,求證：

這是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)教科書(人教B版)《數(shù)學(xué)》選修4-5《不等式選講》(2004年5月第1版)第31頁第16題,是一個(gè)關(guān)于a,b結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔,對(duì)稱優(yōu)美的常見不等式.2016年廣東省肇慶市高三第三次模擬考試第24題選用了這個(gè)不等式,本文討論這個(gè)不等式的證明、推廣和變式.

二、常見錯(cuò)誤歸因

以下三種錯(cuò)證,在學(xué)生中經(jīng)常出現(xiàn),具有一定的代表性.錯(cuò)證1 因?yàn)閍＞0,b＞0,所以由均值不等式得

錯(cuò)證2 因?yàn)閍＞0,b＞0,所以由均值不等式得

錯(cuò)證3 因?yàn)?a＞ 0,b＞ 0,所以由均值不等式得

在錯(cuò)證1中,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)等號(hào)成立,這與已知a+b=1相矛盾.在錯(cuò)證2中,當(dāng)且僅當(dāng)ab=1且a=b,即a=b=1時(shí)等號(hào)成立,這與已知a+b=1相矛盾.在錯(cuò)證3中,當(dāng)且僅當(dāng)且a+b=1,即時(shí)等號(hào)成立,但這個(gè)方程無實(shí)根.

以上三種錯(cuò)證中,利用均值不等式失效的原因都是“一正二定三相等”中的“相等”這一條件得不到滿足.

三、求解策略

1.恰當(dāng)放縮,確保等號(hào)能成立

證法1(恒等變形,適當(dāng)放縮)因?yàn)閍＞0,b＞0,a+b= 1,所以由此得所以所以

從而1-4ab≥0,8-ab＞0,所以

2.構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性

證法5(雙勾函數(shù),單調(diào)遞減)

證法6(柯西搭臺(tái),函數(shù)唱戲)由柯西不等式得

證法8 (確定主元,利用導(dǎo)數(shù))令x=a,所以b= 1-x(0＜x＜1),將b=1-x代入得

3.改變策略,另辟蹊徑

證法11(均值換元,一目了然)因?yàn)閍＞0,b＞0,a+b= 1,所以可令則

所以f(x)在區(qū)間(0,1)上是上凸函數(shù),所以由Jensen不等式可得

當(dāng)運(yùn)用均值不等式失效時(shí),主要有以下三種處理策略：

1.適當(dāng)配湊、拆項(xiàng)、放縮等,使各項(xiàng)能相等,從而能運(yùn)用均值不等式,使問題得以解決;

2.構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性使問題得以解決;

3.改變策略,用分析法、換元法、反證法等方法使問題得以解決.

四、推廣探究

推廣1若正數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1,求證：

這是2008年南京大學(xué)自主招生中的一道數(shù)學(xué)試題,文[1]給出了多種證法.

推廣2 若n∈N且n≥2,正數(shù)a1,a2,...,an滿足a1+a2+···+an=1,則

推廣3 若n∈N且n≥2,正數(shù)a1,a2,...,an滿足則

顯然推廣1,2都是推廣3的特例,對(duì)推廣3令

證明與下面推廣4的證明相仿,此處從略.

推廣4 若n∈N且n≥ 2,正數(shù)a1,a2,...,an滿足

所以f(x)在區(qū)間(0,1)上是一個(gè)下凸函數(shù),由Jensen不等式得

五、變式探究

變式1(條件變?nèi)?設(shè)a,b為正數(shù),求證：

變式2(改變結(jié)論)設(shè)a,b為正數(shù),且a+b=1,求證：

變式1中的(1),(2),變式2中的(1)～(3)都易證,在此從略.變式2中的(4)～(15),下面只給出(8)的一種證明,其它類似可證.

(8)的證明 因?yàn)?/p>

六、一點(diǎn)體會(huì)

課本中的例題、習(xí)題都是經(jīng)過專家們精心挑選的,蕰含著豐富的數(shù)學(xué)思想和方法,對(duì)這些具有代表性的問題,要抓住具有示范作用的結(jié)論和解法,充分挖掘它們的潛在功能,通過一題多解、多題一解、一題多變、推廣探究等,把知識(shí)目標(biāo)、能力目標(biāo)落到實(shí)處,引領(lǐng)學(xué)生探究,真正達(dá)到高效教學(xué).

[1]時(shí)寶軍,李淑蓮,于瑞廣.一道自主招生數(shù)學(xué)試題的解法探究與評(píng)析[J].數(shù)學(xué)通訊(下半月),2010(2).

[2]周興偉,姚麗,趙震宇.基于兩道“姊妹”結(jié)論與證明的思考[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2016(5).