MATLAB程序在土力學(xué)教學(xué)改革中的應(yīng)用

李金柱+王忠瑾+謝新宇+王文軍

摘要：當(dāng)前的土力學(xué)課程教學(xué)中，求解手段落后導(dǎo)致學(xué)生解決實(shí)際工程問(wèn)題能力不足。以液塑限試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理、前期固結(jié)壓力求取、地基附加應(yīng)力計(jì)算和滑坡穩(wěn)定性計(jì)算等為例，將MATLAB程序引入土力學(xué)教學(xué)。實(shí)踐表明，MATLAB程序的應(yīng)用可解決傳統(tǒng)教學(xué)方式存在的諸多問(wèn)題，大幅提高教學(xué)效率，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和創(chuàng)新能力。

關(guān)鍵詞：MATLAB；土力學(xué)；教學(xué)改革

中圖分類號(hào)：G6420；TU43文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：

10052909（2017）05012905

土力學(xué)是土建類專業(yè)的一門本科主干專業(yè)課程，通過(guò)土力學(xué)的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)牢固掌握土力學(xué)的基本原理、計(jì)算分析方法和基本實(shí)驗(yàn)技能，初步具備分析和解決相關(guān)工程問(wèn)題的能力。然而，不同于其他力學(xué)類課程，土力學(xué)缺乏系統(tǒng)性，知識(shí)點(diǎn)多且分散，導(dǎo)致學(xué)生難以把握其內(nèi)在知識(shí)脈絡(luò)，學(xué)習(xí)效果大打折扣，解決實(shí)際問(wèn)題的能力嚴(yán)重不足。

一、土力學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀及存在問(wèn)題

當(dāng)前的土力學(xué)教學(xué)，主要存在以下幾個(gè)問(wèn)題亟待解決。

（1）教學(xué)重點(diǎn)把握不合理，實(shí)用性欠缺，學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力得不到鍛煉。培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際工程問(wèn)題的能力是土力學(xué)教學(xué)重要目標(biāo)之一，實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，由于公式繁瑣、計(jì)算量大，一些重要的工程問(wèn)題在課堂教學(xué)中不得不被簡(jiǎn)化乃至放棄。比如，粘性土邊坡穩(wěn)定是工程實(shí)踐中的常見(jiàn)問(wèn)題，一般采用條分法計(jì)算，但是其計(jì)算過(guò)程極為繁瑣，學(xué)生很難通過(guò)實(shí)例求解來(lái)掌握。由于缺少真正意義上的工程訓(xùn)練，學(xué)生通常在學(xué)習(xí)土力學(xué)過(guò)程中感到枯燥、空洞，在工作中遇到巖土工程問(wèn)題時(shí)無(wú)從下手。

（2）教學(xué)方法陳舊，教學(xué)效果欠佳，學(xué)生學(xué)習(xí)積極性不高。土力學(xué)是一門古老的學(xué)科，教材知識(shí)點(diǎn)相對(duì)陳舊，傳統(tǒng)的教學(xué)模式完全忠于教材，學(xué)生只會(huì)機(jī)械地套用公式，缺乏創(chuàng)新性，不能靈活運(yùn)用各種手段解決實(shí)際問(wèn)題。比如，沉降計(jì)算是土力學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，工程中經(jīng)常使用分層總和法進(jìn)行沉降計(jì)算，

其計(jì)算原理是先將地基土分為若干層，計(jì)算每層土的壓縮量，然后累積起來(lái)即為總的地基沉降量。該方法在計(jì)算過(guò)程中需反復(fù)查表，計(jì)算多點(diǎn)應(yīng)力和多層土壓縮量，手工計(jì)算效率非常低，而在當(dāng)前課堂教學(xué)中，學(xué)生仍然采取手工計(jì)算方式求解。限于課時(shí)，又不得不將實(shí)際工程問(wèn)題一再簡(jiǎn)化。長(zhǎng)此以往，學(xué)生容易養(yǎng)成機(jī)械的學(xué)習(xí)習(xí)慣，對(duì)土力學(xué)的基本概念和原理一知半解。

（3）工程求解手段落后，不利于學(xué)生創(chuàng)新能力培養(yǎng)。土力學(xué)教學(xué)內(nèi)容中有大量對(duì)經(jīng)驗(yàn)的成果總結(jié)，這些知識(shí)對(duì)于缺乏理論分析能力和工程實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的本科生來(lái)說(shuō)，難以真正理解。比如一些參數(shù)無(wú)法由理論推導(dǎo)得出，需要根據(jù)作圖法確定，先期固結(jié)壓力就是其一。教材中一般采用Cassagrande作圖法求取，該方法雖然簡(jiǎn)單、易行，但其是一種經(jīng)驗(yàn)作圖法，有很大局限性。該方法求得的結(jié)果很大程度上取決于作圖精度，準(zhǔn)確性難以得到保證。類似現(xiàn)象還有許多，使學(xué)生在土力學(xué)的學(xué)習(xí)中產(chǎn)生困惑，難以理解土力學(xué)作為一門專業(yè)基礎(chǔ)課的科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)性，更不利于學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。

近年來(lái)，計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)技術(shù)的普及和數(shù)學(xué)計(jì)算軟件的快速發(fā)展，為土力學(xué)教學(xué)中改善以上問(wèn)題提供了新思路。MATLAB即是眾多數(shù)學(xué)計(jì)算軟件中的杰出代表，是美國(guó)Mathworks公司開發(fā)的主要面對(duì)科學(xué)計(jì)算、可視化以及交互式程序設(shè)計(jì)的高科技計(jì)算軟件，其將數(shù)值分析、矩陣計(jì)算、科學(xué)數(shù)據(jù)可視化以及非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強(qiáng)大功能集成在一個(gè)易于使用的視窗環(huán)境中，為眾多領(lǐng)域的科學(xué)研究和工程設(shè)計(jì)提供了一種全面的解決方案。由于其強(qiáng)大的功能，MATLAB在土力學(xué)理論研究及實(shí)際工程中均得到了廣泛應(yīng)用[1]，受到了科研工作者的青睞，部分高校教師也開始嘗試將其引入土力學(xué)課堂教學(xué)，解決一些復(fù)雜的計(jì)算問(wèn)題，取得了明顯的教學(xué)效果[2-3]。筆者將在前人研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步總結(jié)MATLAB在土力學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，為土力學(xué)教學(xué)改革提供參考。

二、MATLAB在土力學(xué)中的應(yīng)用舉例

（一）在試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用

1.在液塑限試驗(yàn)中的應(yīng)用

規(guī)范[4]規(guī)定，液塑限聯(lián)合測(cè)定試驗(yàn)時(shí)，以含水率為橫坐標(biāo)，圓錐錐入深度為縱坐標(biāo)繪制雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖。當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，分別取圓錐錐入深度為2 mm、17 mm時(shí)對(duì)應(yīng)的含水率為塑限和液限；當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，過(guò)高含水率的點(diǎn)連接其余兩點(diǎn)得到兩條直線，分別在兩條直線上求取圓錐錐入深度為2 mm時(shí)的含水率，若兩個(gè)含水率差值小于2%，則取兩點(diǎn)的平均值與高含水率的點(diǎn)作直線，該直線上錐入深度為2 mm、17 mm的點(diǎn)即為塑限和液限，當(dāng)所得兩個(gè)含水率差值大于2%時(shí)，則應(yīng)重做試驗(yàn)。按該方法作圖時(shí)，不僅步驟繁瑣、精度難以保證，而且無(wú)法預(yù)先判斷試驗(yàn)數(shù)據(jù)是否合格。若編制MATLAB小程序求解該問(wèn)題，則可達(dá)到事半功倍的效果，該程序如下：

x=[w1， w2， w3]； y=[h1， h2， h3]； %三個(gè)點(diǎn)的含水率和錐入深度，按含水率由高到低排序

k12 = （ y（ 1）-y（ 2） ） /（ x（ 1） -x（ 2） ）；%過(guò)點(diǎn)1、點(diǎn)2直線的斜率

k13 = （ y（ 1）-y（ 3） ） /（ x（ 1） -x（ 3） ）；%過(guò)點(diǎn)1、點(diǎn)3直線的斜率

ifk12 ～= k13

if abs（ （ 2-y（ 1） ） /k12-（ 2-y（ 1） ） /k13） <2

wp=（ 2-y（ 1） ） /（ 2* k12） +（ 2-y（ 1） ） /（ 2* k13） +x（ 1）

k14 = （ y（ 1）-2） /（ x（ 1）-wp） ；

wl = （ 17-y（ 1） ） /k14+x（ 1）

else

title （'試驗(yàn)數(shù)據(jù)不滿足要求，請(qǐng)重做試驗(yàn)！ ' ） ；

endendprint

else

wp = （ 2-y（ 1） ） /k12+x（ 1）

wl = （ 17-y（ 1） ） /k12+x（ 1）

end

2.先期固結(jié)壓力的確定

規(guī)范[4]規(guī)定，原狀土的先期固結(jié)壓力，可按Cassagrande法確定：先在e～logp曲線上找出曲率半徑最小的一點(diǎn)Q，過(guò)該點(diǎn)作水平線QA和切線QB及角AQB的角平分線QD，QD與曲線下半段的直線段延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，E點(diǎn)對(duì)應(yīng)的壓力即為該土樣的先期固結(jié)壓力。該方法存在繪圖繁瑣、最小曲率半徑點(diǎn)不易確定等缺點(diǎn)，作圖誤差較大。采用MATLAB程序求解，可以很好地解決這一問(wèn)題。其中，壓縮曲線的曲線段可采用指數(shù)形式的三次多項(xiàng)式擬合，具體推導(dǎo)可見(jiàn)文獻(xiàn)[5]。該問(wèn)題主要程序段如下：

a = polyfit（x， y， 3）； %尋找曲率半徑最小點(diǎn)Q

xi = 25：5：1000；

yi = polyval（a， log10（xi））；

plot（xi， yi， 'k-'）；

syms e Q；

e = a（1）*Q^3+a（2）*Q^2+a（3）*Q+a（4）；

syms de de2 R；

de = diff（e， Q）；

de2 = diff（e， Q， 2）；

R = abs（de2）/（1+de^2）^（3/2）；

xi = 25：1：800；

Ri = subs（R， Q， log10（xi））；

R_min = min（Ri）；

pos_R_min = find（Ri == R_min）；

Q_min = xi（pos_R_min）；

e_pos = subs（e， Q， log10（Q_min））；

……

x_paral = [Q_min， Q_min + 150]； %過(guò)Q點(diǎn)作水平線QA

y_paral = [e_pos， e_pos]；

plot（x_paral， y_paral，'k：'）；

……

k1 = subs（de， Q， log10（Q_min））； %過(guò)Q點(diǎn)做曲線的切線QB

x_tan = [Q_min， Q_min + 150]；

y_tan = [e_pos， k1*log10（（Q_min+150）/Q_min）+e_pos]；

plot（x_tan， y_tan， 'k：'）；

……

k = -tan（atan（-k1）/2）； %繪制角平分線QD

x_halve = [Q_min， Q_min + 300]；

y_halve = [e_pos， k*log10（（Q_min+300）/Q_min）+e_pos]；

plot（x_halve， y_halve， 'k-'）；

……

xx = x（end-2：end）； % 最小二乘法擬合最后三個(gè)點(diǎn)，繪制壓縮曲線直線段

yy = y（end-2：end）；

aa = polyfit（xx， yy， 1）；

logpc = （e_pos-（aa（2）+k*log10（Q_min）））/（aa（1）-k）；

xxi = [10.^logpc-100，1000]；

yyi = polyval（aa， log10（xxi））；

plot（xxi， yyi， 'k-'）；

……

plot（10.^logpc， k*（logpc-log10（Q_min））+e_pos， 'k.'）； %求QD與擬合直線的交點(diǎn)

gtext（['（'，num2str（Q_min），'，'，num2str（e_pos），'）']）；

gtext（['（'，num2str（10.^logpc），'，'，num2str（k*（logpc-log10（Q_min））+e_pos），'）']）；

pc = 10^（logpc）；

……

（二）在工程計(jì)算中的應(yīng)用

1.地基附加應(yīng)力的計(jì)算

附加應(yīng)力計(jì)算是地基沉降計(jì)算中重要的步驟，教材中通常根據(jù)荷載類型選用相應(yīng)的表格，查取附加應(yīng)力系數(shù)進(jìn)行計(jì)算。在實(shí)際查表中，常常需要進(jìn)行多次插值，耗費(fèi)大量時(shí)間。若采用MATLAB編制程序求解，則非常方便快捷。以矩形均布荷載中心以下一定深度處的附加應(yīng)力求解為例，給出其求解程序如下：

p=200； l=4； b=2； z=-10：0.1：0；

m=l/b； n=-2*z/b；

sigmaZ=2*p/pi（）.*（m.*n.*（m^2+2.*n.^2+1）./（m^2+n.^2）./（1+n.^2）./sqrt（m^2+n.^2+1）+asin（m./sqrt（（m^2+n.^2）.*（1+n.^2））））；

subplot（1，1，1）；

plot（sigmaZ，z）；

grid on；

title（'sigmaZ隨z的關(guān)系曲線'）；

xlabel（'sigmaZ（kPa）'）；

ylabel（'z（m）'）；

以上程序求解的是長(zhǎng)4 m、寬2 m，大小為200 kPa的矩形均布荷載中心點(diǎn)下0到10 m的附加應(yīng)力分布，如圖1所示。endprint

2.滑坡穩(wěn)定性計(jì)算

滑坡穩(wěn)定性計(jì)算是土力學(xué)中的重要問(wèn)題，通常用條分法求解，即先假定一個(gè)滑動(dòng)面，對(duì)滑動(dòng)土體進(jìn)行條分并求取安全系數(shù)，然后逐一搜索其他滑動(dòng)面并計(jì)算安全系數(shù)，最后找出最危險(xiǎn)的滑動(dòng)面及其對(duì)應(yīng)的安全系數(shù)。該過(guò)程計(jì)算量非常大，且容易出錯(cuò)，而采用MATLAB程序可方便求解。文章以Fellenius條分法為例，簡(jiǎn)述其實(shí)現(xiàn)過(guò)程。

如圖2所示，設(shè)均質(zhì)土坡沿圓弧滑動(dòng)面AC滑動(dòng)，圓心為O，半徑為R，將滑動(dòng)土體ABC分為若干土條，忽略土條間的作用力，并假定各土條底部滑動(dòng)面上的安全系數(shù)等于整個(gè)滑動(dòng)面的安全系數(shù)，則該滑動(dòng)面安全系數(shù)為

K=（cili+Gicosθitanφi）Gisinθi（1）

式中，ci和φi分別是第i個(gè)土條的粘聚力和內(nèi)摩擦角，Gi為該土條的重力，Ii為該土條范圍內(nèi)的滑弧長(zhǎng)，θi該土條底面中點(diǎn)的法線與豎直線的夾角。

Fellenius條分法的程序框圖如圖3所示，文獻(xiàn)[3]給出了一種解法，文章在其基礎(chǔ)上對(duì)最危險(xiǎn)滑弧的搜索方法進(jìn)行了優(yōu)化，其求解程序如下：

以文獻(xiàn)[6]中第266頁(yè)例題10-2為算例，均質(zhì)黏性土土坡坡高20 m，坡度1∶2，填土黏聚力為10 kPa，內(nèi)摩擦角20°，重度18 kN/m3，利用程序可求得該土坡安全系數(shù)為1.091，最危險(xiǎn)滑弧圓心坐標(biāo)為（7.054，40.963）。

三、結(jié)語(yǔ)

文章介紹了MATLAB在土力學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用情況，并給出了教學(xué)實(shí)踐中的部分應(yīng)用實(shí)例。實(shí)踐表明，在土力學(xué)教學(xué)中引入MATLAB程序，不僅可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，還可加深學(xué)生對(duì)土力學(xué)原理的理解，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)工程實(shí)際問(wèn)題的認(rèn)識(shí)，并提高其力學(xué)建模和數(shù)學(xué)計(jì)算能力，為將來(lái)更好地解決工程實(shí)際問(wèn)題打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。參考文獻(xiàn)：

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[5]劉用海，朱向榮，常林越. 基于 Casagrande 法數(shù)學(xué)分析確定先期固結(jié)壓力[J]. 巖土力學(xué)，2009，30（1）：211-214.

[6]東南大學(xué)，浙江大學(xué)，湖南大學(xué)，蘇州科技學(xué)院. 土力學(xué) [M].3版.北京：中國(guó)建筑工業(yè)出版社，2010.

Abstract： In the current teaching of soil mechanics， the backward of solving methods leads to the lack of students ability to solve practical problems. Taking the data processing of liquid plastic limit test， the calculation of the preconsolidation pressure， the calculation of the additional stress of foundation and the calculation of landslide stability as examples， this paper showed that the introducing of MATLAB programs in the teaching of soil mechanics could solve many problems caused by traditional teaching methods and improve the teaching efficiency greatly， and also could cultivate the students practical ability and innovative ability.

Keywords： MATLAB； soil mechanics； teaching reform

（編輯周沫）endprint