擾動(dòng)重力梯度的球冠諧分析建模

王 燚，姜效典

中國(guó)海洋大學(xué)海洋地球科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266100

擾動(dòng)重力梯度的球冠諧分析建模

王 燚，姜效典

中國(guó)海洋大學(xué)海洋地球科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266100

從球冠諧理論出發(fā)，詳細(xì)推導(dǎo)了球冠坐標(biāo)系下擾動(dòng)重力梯度的無(wú)奇異性計(jì)算公式。基于Tikhonov正則化方法，利用GOCE衛(wèi)星實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)解算局部重力場(chǎng)球冠諧模型。數(shù)值計(jì)算表明，基于擾動(dòng)重力梯度的球冠諧分析建模方法能夠有效地恢復(fù)局部重力場(chǎng)中的短波信號(hào)，與GO_CONS_GCF_2_DIR_R5模型的差異在±0.3×10-5m/s2水平。

球冠諧和分析; 擾動(dòng)重力; 重力梯度; Tikhonov正則化方法

隨著CHAMP、GRACE和GOCE等3顆重力衛(wèi)星的發(fā)射升空，利用衛(wèi)星重力觀測(cè)值恢復(fù)地球重力場(chǎng)的研究，已經(jīng)成為當(dāng)前地球物理學(xué)研究的熱點(diǎn)問(wèn)題之一。文獻(xiàn)[1—2]的研究表明，重力梯度張量反映了重力位水準(zhǔn)面的曲率和力線彎曲，對(duì)重力場(chǎng)中的短波信號(hào)變化敏感，所以重力梯度張量更能夠反映重力場(chǎng)的精細(xì)結(jié)構(gòu)，包含有大量的局部重力場(chǎng)的有效信息。

國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者就利用衛(wèi)星重力觀測(cè)值恢復(fù)地球重力場(chǎng)的方法做了大量的研究工作。文獻(xiàn)[3]提出了廣義輪胎調(diào)和分析方法，利用衛(wèi)星重力梯度張量分量組合以較高的精度還原地球重力場(chǎng)。文獻(xiàn)[4]提出了使用最小二乘法恢復(fù)地球重力場(chǎng)的方法，通過(guò)數(shù)值模擬，證明重力異常的梯度對(duì)軌道高度的變化不敏感。在文獻(xiàn)[5]中研究了全張量重力梯度數(shù)據(jù)的全局和局部分量的廣義球諧譜表示和軌道根數(shù)表示，給出了廣義球諧函數(shù)與球諧函數(shù)之間的關(guān)系，從理論上得到了全張量重力梯度數(shù)據(jù)的描述方法和由全張量重力梯度網(wǎng)格數(shù)據(jù)恢復(fù)全球重力位譜系數(shù)的基本公式。然而這些研究工作在理論方面都是利用傳統(tǒng)的球諧分析法。在表達(dá)全球重力場(chǎng)時(shí)，球諧分析法有明顯的優(yōu)勢(shì)，但是對(duì)于局部區(qū)域重力場(chǎng)的精細(xì)結(jié)構(gòu)和重力場(chǎng)高頻信息的表述上，球諧分析法存在著不足和缺陷。例如球諧函數(shù)不能滿足局部重力場(chǎng)的邊界條件，在表述高分辨率重力場(chǎng)時(shí)，需要求解巨量的球諧系數(shù)等[6]。因此需要針對(duì)衛(wèi)星重力梯度恢復(fù)局部重力場(chǎng)的理論方法進(jìn)行系統(tǒng)的研究。

文獻(xiàn)[7]在前人的研究基礎(chǔ)上總結(jié)提出了球冠諧分析理論，對(duì)地球北極區(qū)域的磁異常做了數(shù)值分析。文獻(xiàn)[8]利用航磁異常觀測(cè)值，解算了中國(guó)大陸航磁異常的不同階次球冠諧模型，結(jié)合大地構(gòu)造理論對(duì)相關(guān)圖件進(jìn)行了分析解釋。文獻(xiàn)[9]研究了球冠諧函數(shù)在重力場(chǎng)中的表達(dá)式，并利用球冠諧理論建立了我國(guó)的局部重力場(chǎng)模型。文獻(xiàn)[10]提出了一種基于點(diǎn)質(zhì)量模型的多層球冠諧系數(shù)迭代構(gòu)造算法，并對(duì)求解矩陣A的病態(tài)性和球冠半角與點(diǎn)質(zhì)量埋藏深度和密度進(jìn)行了詳細(xì)的分析研究，通過(guò)數(shù)值模擬表明當(dāng)?shù)惴ㄊ諗繒r(shí)，球冠諧模型能夠以高精度擬合重力觀測(cè)值。文獻(xiàn)[11]提出了使用球冠諧模型的重力異常徑向?qū)?shù)和曲面導(dǎo)數(shù)建立曲面位場(chǎng)的方法。這些研究工作都取得了令人滿意的結(jié)果。然而利用擾動(dòng)重力梯度恢復(fù)局部球冠諧重力場(chǎng)的研究，到目前為止還不多見(jiàn)。由此，本文從球冠諧理論出發(fā)，推導(dǎo)了無(wú)δ奇異性球冠諧梯度計(jì)算公式，使用GOCE衛(wèi)星數(shù)據(jù)產(chǎn)品中地球固定參考框架(terrestrial reference frame，TRF)下的重力梯度數(shù)據(jù)恢復(fù)了4個(gè)球冠諧重力場(chǎng)模型，最后在計(jì)算點(diǎn)上，與文獻(xiàn)[12]中使用GOCE衛(wèi)星梯度數(shù)據(jù)建立的GO_CONS_GCF_2_DIR_R5地球重力場(chǎng)模型的擾動(dòng)重力數(shù)值進(jìn)行了比對(duì)分析，檢驗(yàn)該方法的正確性。

1 球冠諧和分析擾動(dòng)位重力梯度模型

球冠諧和分析是一種在球冠坐標(biāo)下的滿足位理論邊值條件的譜函數(shù)法，最早由加拿大人Haines在研究與地殼相關(guān)的局部區(qū)域磁異常時(shí)提出。通過(guò)利用非整階勒讓德函數(shù)代替整階勒讓德函數(shù)，余緯θ的定義域由[0,π]變換到[0，α](α是球冠半角)，同時(shí)將地球Z軸由北極點(diǎn)沿子午線旋轉(zhuǎn)到球冠中心，以保證球冠上點(diǎn)的經(jīng)度依然滿足周期性的邊界條件。采用分離變量法可以得到重力場(chǎng)擾動(dòng)位在球冠坐標(biāo)下的解[13]

(1)

(2)

(3)

系數(shù)Aj(m,l)的遞推關(guān)系如下

(4)

定義

(5)

則由文獻(xiàn)[7]推導(dǎo)的近似式可得

(6)

由上述推導(dǎo)過(guò)程可知

(7)

如果令

為球冠諧系數(shù)，則式(1)可以改寫為

(8)

式中，G是萬(wàn)有引力常數(shù)；M是地球質(zhì)量。因?yàn)棣呐cλc是球冠坐標(biāo)下的余緯和經(jīng)度(參見(jiàn)圖2)，所以將球冠中心Q看作是新的北極點(diǎn)，定義球冠坐標(biāo)系下的球冠局部指北坐標(biāo)系(spherical cap local north-oriented reference frame，SCLNOF)的x軸指向球冠極點(diǎn)，z軸平行地心向徑，方向向外，y軸與x和z軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系，則與球諧函數(shù)的局部指北坐標(biāo)系(local north-oriented reference frame，LNOF )下重力梯度張量計(jì)算一樣，將式(8)代入局部指北坐標(biāo)系梯度計(jì)算公式[16]，可以得到球冠局部指北坐標(biāo)下的擾動(dòng)重力和擾動(dòng)重力梯度張量模型公式

(9)

(10)

式中

(11)

從式(9)、(10)中可以看出，在球冠極點(diǎn)附近，當(dāng)sinδ趨于零時(shí)，存在δ奇異性，因此根據(jù)非整階勒讓德函數(shù)的計(jì)算公式，本文推導(dǎo)了如下的去δ奇異性球冠諧重力梯度張量計(jì)算公式。記

(12)

(13)

(14)

(15)

將式(15)代入式(10)，就可以得到非奇異的球冠局部指北坐標(biāo)下擾動(dòng)重力梯度張量的計(jì)算公式。根據(jù)球冠諧分析理論，整階勒讓德函數(shù)是非整階勒讓德函數(shù)的特例[17-18]，因此當(dāng)球冠半角α=π/2時(shí)，式(15)中擾動(dòng)位梯度張量的各個(gè)階數(shù)l為整數(shù)，這時(shí)非整階勒讓德函數(shù)的計(jì)算結(jié)果與整階勒讓德函數(shù)的計(jì)算結(jié)果應(yīng)當(dāng)一致。下面取α=π/2，δ∈[0,π/2]，通過(guò)式(15)計(jì)算各個(gè)梯度中l(wèi)=2,3,m=0,1,2,3對(duì)應(yīng)的非整階勒讓德函數(shù)項(xiàng)，并與文獻(xiàn)[19]中的擾動(dòng)重力梯度張量公式中n=2,3,m=0,1,2,3整階勒讓德函數(shù)項(xiàng)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1所示，二者差值的均方根小于10-3數(shù)量級(jí)。從表1可見(jiàn)，當(dāng)m≠0且m≠n時(shí)，二者誤差較大，這是由于非整階勒讓德函數(shù)值使用近似式(6)計(jì)算，而當(dāng)m=0或m=n時(shí)，式(6)不可用，必須用式(5)計(jì)算，因此誤差范圍不一致。圖1是l=n=3,m=2時(shí)非整階勒讓德函數(shù)和整階勒讓德函數(shù)擾動(dòng)重力梯度張量誤差。

表1 整階勒讓德函數(shù)和非整階勒讓德函數(shù)的誤差均方根Tab.1 RMS errors between Legendre function and Legendre function with non-integral degree

圖1 擾動(dòng)重力梯度誤差(l=n=3、m=2)Fig.1 Error of disturbing gravity gradients(l=n=3、m=2)

2 不同坐標(biāo)系下重力梯度張量之間的轉(zhuǎn)換

如圖2所示，GOCE衛(wèi)星任務(wù)Level 2產(chǎn)品的EGG_TRF_2中重力梯度數(shù)據(jù)的軌道位置使用地心地固坐標(biāo)系(θ,λ,r)表示，其中θ表示地心余緯，λ表示地心經(jīng)度，r是衛(wèi)星軌道距地心距離；重力梯度張量使用的是局部指北坐標(biāo)系(LNOF)，因此使用GOCE衛(wèi)星重力梯度恢復(fù)球冠諧重力場(chǎng)模型時(shí)，需要進(jìn)行坐標(biāo)變換。首先是將軌道位置坐標(biāo)(θ,λ)轉(zhuǎn)換到球冠坐標(biāo)系[20]。定義計(jì)算點(diǎn)P在球坐標(biāo)下的位置用(θ,λ)表示，球冠坐標(biāo)系下的余緯和經(jīng)度用δ和λc表示，設(shè)球冠中心點(diǎn)Q在球坐標(biāo)系中為(θ0,λ0)，則根據(jù)球面三角公式可知，計(jì)算點(diǎn)P在球冠坐標(biāo)系中的余緯δ和λc經(jīng)度計(jì)算公式為

(16)

然后將重力梯度張量從局部指北坐標(biāo)系(LNOF)轉(zhuǎn)換到球冠指北坐標(biāo)系(SCLNOF)中。定義LNOF坐標(biāo)系到SCLNOF坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。設(shè)β為球冠上點(diǎn)P到球冠中心點(diǎn)Q的方位角,如圖2。顯然SCLNOF坐標(biāo)系就是將點(diǎn)P處的LNOF坐標(biāo)系繞Z軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)β角度得到，所以LNOF坐標(biāo)系到SCLNOF坐標(biāo)系的梯度張量轉(zhuǎn)換矩陣為

(17)

式中，方位角β的cosβ與sinβ的計(jì)算公式為

(18)

式中，δ為點(diǎn)P在球冠坐標(biāo)下的余緯。

圖2 球冠坐標(biāo)系Fig.2 Spherical cap coordinate system

3 球冠諧梯度公式恢復(fù)局部重力場(chǎng)的數(shù)值模擬計(jì)算和分析

(19)

(20)

表2 擾動(dòng)重力梯度Txz分量統(tǒng)計(jì)結(jié)果Tab.2 Disturbing gravity gradient Txz survey results E

表3 擾動(dòng)重力統(tǒng)計(jì)結(jié)果Tab.3 Disturbing gravity survey results 10-5 m/s2

圖3 球冠諧模型對(duì)應(yīng)的L曲線Fig.3 L-curve according to spherical cap harmonic models

從表6可以看出，4個(gè)球冠諧模型的Laplace方程的精度都在±10-8E，由于GOCE衛(wèi)星任務(wù)的重力梯度張量對(duì)角線分量的誤差PSD在測(cè)量帶寬范圍內(nèi)不大于±3.2×10-3E/Hz1/2(見(jiàn)文獻(xiàn)[16])，因此文中計(jì)算的球冠諧模型完全滿足衛(wèi)星重力梯度測(cè)量的精度要求，可以用于恢復(fù)地球局部重力場(chǎng)模型。

表4 球冠諧模型擾動(dòng)重力梯度的誤差Tab.4 Disturbing gravity gradient error of the spherical cap harmonic models E

表5 球冠諧模型徑向擾動(dòng)重力的誤差Tab.5 Disturbing gravity error of the spherical cap harmonic models 10-5 m/s2

表6 球冠諧模型計(jì)算的擾動(dòng)重力梯度張量對(duì)角線分量所滿足Laplace方程的精度Tab.6 The diagonal components of the disturbing gravity gradients computed by the spherical cap harmonic models that fulfill the precision of Laplace equation E

圖4 球冠諧模型徑向擾動(dòng)重力誤差Fig.4 Error of the spherical cap harmonic models

4 結(jié) 論

本文從球冠諧分析理論出發(fā)，詳細(xì)推導(dǎo)了球冠坐標(biāo)系下的擾動(dòng)位重力梯度計(jì)算公式，將GOCE衛(wèi)星任務(wù)重力梯度觀測(cè)值延拓到平均軌道面上。網(wǎng)格化后，使用Tikhonov正則化算法反演恢復(fù)了4個(gè)球冠諧重力場(chǎng)模型，最后與使用GO_CONS_GCF_2_DIR_R5重力場(chǎng)模型計(jì)算的衛(wèi)星平均軌道面擾動(dòng)重力進(jìn)行比較分析。計(jì)算結(jié)果表明，由于擾動(dòng)重力梯度中各個(gè)分量對(duì)重力場(chǎng)頻譜的敏感性是不一樣的，因此單一徑向擾動(dòng)重力梯度分量不能恢復(fù)全部擾動(dòng)重力場(chǎng)的信號(hào)，所以聯(lián)合不同的重力梯度分量，利用其頻譜的互補(bǔ)性恢復(fù)的局部重力場(chǎng)模型，能夠包含更多的重力場(chǎng)信號(hào)。如果從擾動(dòng)重力梯度數(shù)據(jù)中移除重力場(chǎng)的長(zhǎng)波信號(hào)，這時(shí)無(wú)論是使用單一徑向梯度分量，還是使用多個(gè)梯度分量聯(lián)合的方式恢復(fù)的球冠諧模型，都能夠很好地?cái)M合擾動(dòng)重力場(chǎng)中剩余的重力信號(hào)，與GO_CONS_GCF_2_DIR_R5模型的差異不大于±0.3x10-5m/s2。

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The Spherical Cap Harmonic Analysis Modeling Method Based on Disturbing Gravity Gradients

WANG Yi，JIANG Xiaodian

College of Marine Geo-science, Ocean University of China, Qingdao 266100，China

It is deduced that the non-singular computational formulae of the disturbing gravity gradients based on spherical cap harmonic analysis theory.On the basis of the Tikhonov regularization method，the spherical cap harmonic model of local gravity field is calculated using GOCE satellite real surveying data.It is shown that the short wavelength information of local gravity field can be recovered from the disturbing gravity gradient data using spherical cap harmonic analysis method，and the difference with the GO_CONS_GCF_2_DIR_R5 model is at ±0.3×10-5m/s2.

spherical cap harmonic analysis; disturbing gravity; gravity gradients;Tikhonov regulariza-tion method

The Oceanic Public Nonprofit Research Project(No.201305029-02)

WANG Yi(1974—)，male,PhD，lecturer，majors in geophysical exploration.

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P223

A

1001-1595(2017)11-1802-10

海洋公益性行業(yè)科研專項(xiàng)經(jīng)費(fèi)(201305029-02)

(責(zé)任編輯：叢樹平)

2016-08-18

修回日期：2017-07-26

王燚(1974—)，男，博士，講師，研究方向?yàn)榈厍蛭锢砜碧椒椒ㄅc信息技術(shù)。

E-mail：wyfox009@163.com