社交網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)實證研究

徐焱

摘要：采用傳統(tǒng)統(tǒng)計方法很難直觀了解大規(guī)模社交網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特點和演化特征。通過對科學(xué)網(wǎng)博客域名下的網(wǎng)頁進行搜索，建立一個由244 662個博主和113 062對好友關(guān)系構(gòu)成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)——科學(xué)網(wǎng)博客博主好友關(guān)系網(wǎng)絡(luò)。采用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論進行研究，測算網(wǎng)絡(luò)度分布、平均路徑長度和聚類系數(shù)，發(fā)現(xiàn)該網(wǎng)絡(luò)具有無尺度屬性和小世界屬性，存在相對較多的集散節(jié)點，導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)的度分布冪指數(shù)小于正常范圍。通過逐步刪除高連接度節(jié)點，觀察網(wǎng)絡(luò)破碎程度，分析了集散節(jié)點在維持社交網(wǎng)絡(luò)鏈接中的重要性，建議重點關(guān)注10%的最高度節(jié)點，使網(wǎng)絡(luò)更加健壯。該研究有助于闡明在線社交網(wǎng)絡(luò)的自組織結(jié)構(gòu)性質(zhì)。

關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞：在線社交網(wǎng)絡(luò)；復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)；拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)；集散節(jié)點

DOIDOI：10.11907/rjdk.172730

中圖分類號：TP319

文獻標(biāo)識碼：A文章編號文章編號：16727800（2017）011017604

0引言

隨著Web 2.0技術(shù)的迅速發(fā)展，人們進入了在線社交網(wǎng)絡(luò)（Online Social Network，OSN）時代。在線社交網(wǎng)絡(luò)成為一種廣泛使用的人際交往方式，為用戶帶來了新的體驗，社交網(wǎng)絡(luò)研究得到了廣泛關(guān)注。

社交網(wǎng)站與一般信息網(wǎng)站的不同之處在于其擁有數(shù)量龐大的注冊用戶，而且用戶之間存在錯綜復(fù)雜的好友關(guān)系，這些好友關(guān)系將所有用戶連在一起，形成了一個龐大的好友網(wǎng)絡(luò)。隨著新用戶的注冊，陌生人之間隨時都可能形成新的好友關(guān)系，這個好友網(wǎng)絡(luò)在快速演化。研究這個龐大的好友網(wǎng)絡(luò)，從錯綜復(fù)雜的關(guān)系中理出頭緒，挖掘和發(fā)現(xiàn)新的知識，是研究工作的重點。

在線社交網(wǎng)絡(luò)涉及經(jīng)濟、政治、娛樂、軍事、衛(wèi)生、科技、體育和生活等領(lǐng)域，為知識共享、信息傳遞和人類交互提供了便捷的通信平臺，帶來了巨大的商業(yè)機會。在線社交網(wǎng)絡(luò)中大量信息來源不確定，存在一些不良、虛假或煽動性信息，可能對社會穩(wěn)定產(chǎn)生很大的負(fù)面影響。隨著在線社交網(wǎng)絡(luò)的普及，網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)成為輿論傳播的重要途徑。因此，如何通過社會網(wǎng)絡(luò)監(jiān)測控制輿論特別是恐怖行為的傳播，已經(jīng)成為一個非常急迫的問題[1]。社交網(wǎng)絡(luò)包含大量的內(nèi)容和鏈接數(shù)據(jù)，可以用于分析。鏈接數(shù)據(jù)本質(zhì)是社會網(wǎng)絡(luò)和實體間通信的圖形結(jié)構(gòu)。在線社交網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的實證分析，有助于確定網(wǎng)絡(luò)的重要節(jié)點、社區(qū)、鏈路和演化區(qū)域，理解各種動態(tài)過程。

在線社交網(wǎng)絡(luò)具有復(fù)雜性、大規(guī)模、非線性和快速演化等特征，與一般網(wǎng)絡(luò)有很大區(qū)別。因此，與傳統(tǒng)信息系統(tǒng)相比，其挖掘目標(biāo)和研究方法大不相同。

關(guān)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究方興未艾，1998年Strogatz和Watts[2]在《Nature》雜志上發(fā)表文章，提出了小世界（SmallWorld）網(wǎng)絡(luò)模型概念。1999年Barabasi和Albert[3]在《Science》上發(fā)表文章，提出了無尺度（ScaleFree）網(wǎng)絡(luò)概念，指出許多復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)鏈接度分布具有典型的冪律形式。這兩項開創(chuàng)性研究掀起了一股研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)熱潮。

著名科學(xué)家錢學(xué)森把復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)定義為具有自相似、自組織、小世界、無尺度的網(wǎng)絡(luò)。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在自然界、工程界、生物界和人類社會界中廣泛存在，如蛋白質(zhì)網(wǎng)絡(luò)、食物鏈網(wǎng)絡(luò)、新陳代謝網(wǎng)絡(luò)、萬維網(wǎng)、Internet、電力網(wǎng)、鐵路網(wǎng)、航空網(wǎng)、演員合作網(wǎng)絡(luò)、朋友關(guān)系網(wǎng)、科學(xué)家合作網(wǎng)及金融網(wǎng)絡(luò)等都是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性主要體現(xiàn)在節(jié)點數(shù)量巨大，而且節(jié)點之間的連接關(guān)系較為復(fù)雜，既不像隨機網(wǎng)絡(luò)那樣具有完全不確定的連接關(guān)系，也不像規(guī)則網(wǎng)絡(luò)那樣具有完全確定的連接關(guān)系，而是介于兩者之間[4]。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)及其演化研究已經(jīng)成為多學(xué)科交叉的研究方向。

社交網(wǎng)絡(luò)擁有數(shù)量龐大的用戶，而且用戶之間的連接關(guān)系錯綜復(fù)雜，是一種典型的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。因此，可以用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論研究社交網(wǎng)絡(luò)。

本文重點研究科學(xué)網(wǎng)博客，即Science Net Blog[5]?？茖W(xué)網(wǎng)博客是提供交流和共享科學(xué)信息的平臺，在中國擁有2萬多注冊用戶。通過網(wǎng)絡(luò)爬蟲抓取網(wǎng)站上的公開信息獲取數(shù)據(jù)，并將數(shù)據(jù)用于研究。研究重點是該網(wǎng)站內(nèi)的社交網(wǎng)絡(luò)用戶，具體研究用戶關(guān)系圖中最大連接片的屬性，而不是整個用戶社區(qū)，這代表了構(gòu)建復(fù)雜系統(tǒng)模型的新框架。通過計算科學(xué)網(wǎng)博客網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)涮匦裕ǘ确植?、平均聚類系?shù)和平均路徑長度，進行詳細分析，證實了科學(xué)網(wǎng)博客既是無尺度網(wǎng)絡(luò)又是小世界網(wǎng)絡(luò)；此外，還證明了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中重要節(jié)點的數(shù)量非常少，這意味著如果控制這些節(jié)點，消息的傳播將被控制。

1復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋵傩?/p>

1.1拓?fù)鋵傩?/p>

（1）節(jié)點度和度分布。節(jié)點的度是網(wǎng)絡(luò)中一個節(jié)點連接到該網(wǎng)絡(luò)中其它節(jié)點的邊數(shù)，用k表示。網(wǎng)絡(luò)的度分布是該網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點的度的概率分布[6]。

（2）路徑長度和平均路徑長度。路徑長度是從一個節(jié)點到另一個節(jié)點必須遍歷的最小邊數(shù)[7]。平均值長度是任何節(jié)點對之間的路徑長度平均值。

（3）聚類系數(shù)。聚類系數(shù)表示在一個網(wǎng)絡(luò)中同一個頂點的鄰居之間有邊連接的平均概率。按照Watts和Strogatz的定義，如果一個節(jié)點v有k個鄰居，其鄰點將可能存在的最大邊數(shù)是2，實際存在的邊數(shù)用Ei表示，則節(jié)點v的聚類系數(shù)定義為；所有節(jié)點的聚類系數(shù)的平均值定義為整個網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)C[2]。

1.2隨機、無規(guī)模和小世界網(wǎng)絡(luò)

20世紀(jì)60年代，鄂爾多斯（Red）和雷尼（Reyni）[8]發(fā)表了開創(chuàng)性的論文，之后隨機網(wǎng)絡(luò)被廣泛研究。隨機網(wǎng)絡(luò)圖通常通過隨機添加鏈接到靜態(tài)節(jié)點集來構(gòu)造，這意味著每個節(jié)點以相等概率p隨機連接到圖形中。大規(guī)模隨機圖具有高斯度分布，隨機網(wǎng)絡(luò)的主要特征是平均路徑長度很短、聚類系數(shù)低。相反，規(guī)則網(wǎng)絡(luò)通常具有非常長的平均路徑和高聚類系數(shù)。

描述真實世界網(wǎng)絡(luò)的大多數(shù)圖形顯著偏離了簡單的隨機圖模型。Barabasi和Albert[3]發(fā)現(xiàn)一些網(wǎng)絡(luò)具有冪律形式的度分布：即節(jié)點具有度k的概率為Prob（k）～k-λ。度數(shù)指數(shù)λ通常在2～3之間，并且度分布的冪律衰減非常緩慢（“長尾”），這意味著網(wǎng)絡(luò)缺乏特征尺度，這樣的網(wǎng)絡(luò)稱為“無尺度”網(wǎng)絡(luò)。Barabasi和Albert提出了“BarabasiAlbert模型”，并展示了無尺度網(wǎng)絡(luò)可以源自一個過程，每個連接到網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點優(yōu)先連接那些度比較高的節(jié)點。endprint

Watts和Strogatz[2]發(fā)現(xiàn)了一些網(wǎng)絡(luò)介于規(guī)則網(wǎng)絡(luò)和隨機網(wǎng)絡(luò)之間。規(guī)則網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度很長，但是它的聚類系數(shù)很高；隨機網(wǎng)絡(luò)平均路徑長度小，但是聚類系數(shù)很低。而介于這兩者之間的網(wǎng)絡(luò)，具有較小的平均路徑和較高的聚類系數(shù)，這類網(wǎng)絡(luò)稱為小世界網(wǎng)絡(luò)。

社交網(wǎng)絡(luò)指社會個體成員之間通過社會關(guān)系結(jié)成的網(wǎng)絡(luò)體系，社交網(wǎng)絡(luò)由個體和個體間連接關(guān)系組成。在社交網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點代表社會環(huán)境中的人或其它實體，邊代表實體之間的相互作用、合作或相互影響。因此，社交網(wǎng)絡(luò)可被看作是一種特殊類型的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，建模為無向圖G=（V，E），即每個節(jié)點v∈V和無向邊緣∈E。

2數(shù)據(jù)采集

本文針對科學(xué)網(wǎng)（http：//www.sciencenet.cn）中的科學(xué)網(wǎng)博客（http：//www.sciencenet.cn/blog）進行研究?？茖W(xué)網(wǎng)主要為網(wǎng)民提供快捷權(quán)威的科學(xué)新聞報道、豐富實用的科學(xué)信息服務(wù)以及交流互動，目標(biāo)是建成最具影響力的全球華人科學(xué)社區(qū)?？茖W(xué)網(wǎng)博客采用實名注冊，博主多為一線研究人員，有院士、重點實驗室主任等知名學(xué)者，研究內(nèi)容涉及生命科學(xué)、信息科學(xué)等多個領(lǐng)域，可在一定程度上反映不同領(lǐng)域的前沿研究。

隨著時間的推進，科學(xué)網(wǎng)博客注冊用戶不斷增加，用戶間的關(guān)系逐漸復(fù)雜。本文利用網(wǎng)絡(luò)爬蟲爬取到該博客中共有244 662個博主和113 062對好友關(guān)系，采集的數(shù)據(jù)截至2012年3月。這244 662個博主組成的好友網(wǎng)絡(luò)中包含大量的孤立節(jié)點，即這些節(jié)點沒有任何好友關(guān)系，有一些很小的網(wǎng)絡(luò)碎片以及一個巨大的連接片。

因為孤立的節(jié)點與整個網(wǎng)絡(luò)中的其它節(jié)點沒有任何鏈接，無法傳播信息，因此不對網(wǎng)絡(luò)造成任何影響。同理，較小的網(wǎng)絡(luò)碎片之間存在的邊極少，因此傳播消息的范圍也很小，對整個網(wǎng)絡(luò)的影響幾乎為零。本文的研究對象就是由這個巨大連接片組成的子網(wǎng)絡(luò)，包含了20 236個博客用戶節(jié)點和113 014對好友關(guān)系。這個僅有8.27%節(jié)點的巨大連接片中的好友關(guān)系占到整個網(wǎng)絡(luò)的99.96%。

下面詳細分析這個社交網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，以及一些統(tǒng)計屬性，包括度數(shù)分布、平均最短路徑長度以及聚類系數(shù)，揭示在線社交網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)部特征。

3網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)拓?fù)浞治?/p>

本節(jié)描述了網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)涮匦裕⑴c現(xiàn)實觀察到的網(wǎng)絡(luò)進行比較。

3.1度分布

許多復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的度分布都符合冪律分布，包括離線社交網(wǎng)絡(luò)。對科學(xué)網(wǎng)博主好友關(guān)系網(wǎng)絡(luò)中的最大連通子網(wǎng)進行研究，繪制網(wǎng)絡(luò)的度分布和度分布的對數(shù)分布圖，如圖1所示。

圖1博客網(wǎng)度分布與度的對數(shù)分布

通過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)該網(wǎng)絡(luò)的度分布符合冪律P（k）～k-γ，其中γ=1.5±0.1，即該網(wǎng)絡(luò)是無尺度網(wǎng)絡(luò)。但是，通過表1發(fā)現(xiàn)該無尺度網(wǎng)絡(luò)不同于現(xiàn)實世界中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)和驗證的無尺度網(wǎng)絡(luò)?，F(xiàn)實世界中無尺度網(wǎng)絡(luò)的冪指數(shù)γ一般在2～3之間[9]，但是本網(wǎng)絡(luò)的冪律指數(shù)非常小，只有大約1.5。下面詳細研究這一現(xiàn)象。

經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，隨著γ的增長，網(wǎng)絡(luò)從異質(zhì)向同質(zhì)轉(zhuǎn)變。

現(xiàn)實網(wǎng)絡(luò)中，γ≤1是不存在的。當(dāng)1<γ≤2時，網(wǎng)絡(luò)包含比較多的集散節(jié)點，即度較高的節(jié)點較多。當(dāng)2<γ

≤3時，網(wǎng)絡(luò)中包含大量的度很小的節(jié)點和極少的集散節(jié)點；當(dāng)γ>3時，網(wǎng)絡(luò)中絕大多數(shù)節(jié)點的度很相近，但是基本不存在集散節(jié)點。

當(dāng)γ>3時，網(wǎng)絡(luò)中由于基本不存在集散節(jié)點，所以網(wǎng)絡(luò)消息傳輸率很低，這種網(wǎng)絡(luò)在現(xiàn)實生活中基本不存在。

當(dāng)1<γ≤2時，集散節(jié)點較多，雖然此時消息傳輸率很高，但是維持這些集散節(jié)點花費的代價太大，所以此種網(wǎng)絡(luò)在現(xiàn)實生活中也很少。

當(dāng)2<γ≤3時，網(wǎng)絡(luò)既能確保消息的傳輸率又不需要花費太高的代價，所以此種網(wǎng)絡(luò)在現(xiàn)實生活中最為常見，例如：蛋白質(zhì)網(wǎng)絡(luò)、作家合作網(wǎng)、Internet路由網(wǎng)等等。

而本文研究的網(wǎng)絡(luò)是一個虛擬網(wǎng)絡(luò)，不受資源限制，即使有較多的集散節(jié)點也不需要花費人力物力進行維護，因此本研究網(wǎng)絡(luò)中γ<2并不奇怪。另外，還推測出該網(wǎng)絡(luò)的信息傳輸效率較高，因為它包含了相對較多的集散節(jié)點。

3.2平均路徑長度和聚類系數(shù)

計算網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度，即任意兩個節(jié)點之間最短路徑的平均值。本網(wǎng)絡(luò)中該值為3.29，這意味著在一個有兩萬多個節(jié)點的網(wǎng)絡(luò)中，從一個用戶到另一個用戶平均只需點擊4次就可到達。圖2顯示了最短路徑長度分布，很明顯，大部分的路徑長度在2～4之間。雖然博客網(wǎng)絡(luò)節(jié)點很多，規(guī)模很大，且很稀疏，但是它的平均路徑很短，這驗證了著名的“六度分隔”理論[10]。

圖2博客網(wǎng)最短路徑長度分布

無向網(wǎng)絡(luò)中聚類系數(shù)

Ci=2Eiki（ki-1）（1）

Ei是節(jié)點i的所有鄰居之間存在的邊數(shù)目，ki（ki-1）/2是節(jié)點i的鄰居間存在邊的最大數(shù)量，網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)C是所有Ci的平均值。本網(wǎng)絡(luò)中C=0.193，而相同規(guī)模的隨機網(wǎng)絡(luò)聚類系數(shù)Crand=/N=11.16/20 263=0.000 55，其中是所有節(jié)點度的平均值。很明顯，C比Crand大得多。

綜合這兩點可以得出，研究網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)比隨機網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)大得多，而比規(guī)則網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度小得多。因此，本網(wǎng)絡(luò)是具有小世界屬性的網(wǎng)絡(luò)。

3.3集散節(jié)點重要性

在電力網(wǎng)絡(luò)中，對重要的斷路器、發(fā)電單元等進行監(jiān)控和保護，可以有效防止由級聯(lián)故障引起的大范圍停電，從而避免大的經(jīng)濟損失；在大規(guī)模計算機網(wǎng)絡(luò)中，可以對關(guān)鍵節(jié)點的服務(wù)器有針對性地進行備份，既能有效節(jié)省資源，又可保證網(wǎng)絡(luò)的魯棒性；在傳染病、病毒傳播網(wǎng)絡(luò)中，可以優(yōu)先治療、隔離病源，有效防止病毒的傳播和擴散；在發(fā)掘復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)社區(qū)時，可以通過集散節(jié)點確定社區(qū)中心。社交網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)很大程度上依賴于高連接度的節(jié)點，而這些高連接度的集散節(jié)點與信息傳播、蓄意攻擊的脆弱性和隨機攻擊的魯棒性都有很大關(guān)系[11]。下面研究在線社交網(wǎng)絡(luò)中解散節(jié)點對整個網(wǎng)絡(luò)的影響。

研究方法是逐步移除具有高連接度的節(jié)點，然后計算剩下的最大連通片大小，剩下的最大連通片大小就是信息能在網(wǎng)絡(luò)上傳播的最大范圍。隨著高連接度節(jié)點移除，最大的連通網(wǎng)絡(luò)開始分解成較小的網(wǎng)絡(luò)碎片。逐步移除Top1%到Top10%的高連接度節(jié)點。當(dāng)移除1%的節(jié)點后，最大連通網(wǎng)絡(luò)是原網(wǎng)絡(luò)大小的68%；移除5%后，是原網(wǎng)絡(luò)的40%；移除10%，此時最大連通網(wǎng)絡(luò)是原網(wǎng)絡(luò)的10%。另外計算了移除20%的情況，此時，整個網(wǎng)絡(luò)破碎成幾千個很小的網(wǎng)絡(luò)，而最大的網(wǎng)絡(luò)只有18個節(jié)點。圖3顯示分解后最大連通網(wǎng)絡(luò)的大小。

圖3移除一定比例節(jié)點與最大連通網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的關(guān)系

本研究網(wǎng)絡(luò)中只需關(guān)注10%的節(jié)點，這種情況下，即使受到蓄意攻擊，網(wǎng)絡(luò)也不會癱瘓；即使有人發(fā)布恐怖消息，消息傳播的范圍也不會超過網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的10%。如果關(guān)注網(wǎng)絡(luò)中20%的節(jié)點，雖然監(jiān)控效果會更好，但是付出的代價太大。所以，選擇監(jiān)控10%的節(jié)點時監(jiān)控效果最好，而代價又是可以承受的。

4結(jié)語

本文對科學(xué)網(wǎng)博客采集的數(shù)據(jù)集進行了在線社交網(wǎng)絡(luò)實證研究。數(shù)據(jù)顯示社會網(wǎng)絡(luò)的度分布具有無尺度網(wǎng)絡(luò)特征——冪律。然而它具有比現(xiàn)實世界網(wǎng)絡(luò)更小的冪律指數(shù)。本文驗證了社交網(wǎng)絡(luò)具有非常短的平均路徑長度和較高的聚類系數(shù)，符合小世界網(wǎng)絡(luò)特征。研究了最短路徑長度的頻率，證明了該網(wǎng)絡(luò)符合著名的“六度分離”理論。關(guān)注整個網(wǎng)絡(luò)10%的節(jié)點時，網(wǎng)絡(luò)將更加健壯。本研究有助于了解在線社交網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)涮卣?。今后將研究如何建立網(wǎng)絡(luò)的圖結(jié)構(gòu)和動態(tài)演化，探討影響網(wǎng)絡(luò)增長的因素等。

參考文獻參考文獻：

[1]V KREBS. Mapping networks of terrorist cells[J]. Connections，2002，24（3）：4352.

[2]D J WATTS， S H STROGATZ.Collective dynamics of “smallworld” networks[J].Nature，1998（393）：440442.

[3]A L BARABASI， R ALBERT. Emergence of scalling in random networks[J].Science，1999（286）：509512.

[4]王林，戴冠中.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的Scalefree性、Scalefree現(xiàn)象及其控制[M].北京：科學(xué)出版社，2009：511.

[5]科學(xué)網(wǎng)[EB/OL].http：//www.sciencenet.cn/blog.

[6]LAN AMARAL， A SCALA， M BARTHELEMY，et al. Stanley[EB/OL]. http：//ishare.iask.sina.com.cn/f/23802485.html，Classes of small.

[7]E BULLMORE， O SPORNS. Complex brain networks： graph theoretical analysis of structural and functional systems[J].Nature Reviews Neuroscience，2009（3）：186198.

[8]P ERDOS， A RENYI. On random graphs[J].Publications Mathematics，1959（6）：290297.

[9]R ALBERT， A L BARAB′ASI.Statistical mechanics of complex network[J].Reviews of Modern Physics，2002（74）：4797.

[10]艾伯特拉斯洛，巴拉巴西.網(wǎng)絡(luò)鏈接新科學(xué)[M].長沙：湖南科學(xué)技術(shù)出版社，2007.

[11]P HOLM， B J KIM， C N YOON，et al.Attack vulnerability of complex networks[J]. Physical Review E，2002（65）：254259.

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