等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的最值問題的研究

■河南省沈丘縣第一高級(jí)中學(xué) 謝志遠(yuǎn)

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的最值問題的研究

■河南省沈丘縣第一高級(jí)中學(xué) 謝志遠(yuǎn)

數(shù)列是一類特殊的函數(shù),因此,數(shù)列不僅具備函數(shù)的性質(zhì),且可以用函數(shù)的知識(shí)或方法來解決數(shù)列的問題。在研究等差數(shù)列時(shí),等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最大值問題是其中的一個(gè)熱點(diǎn),也是重點(diǎn)。

問題1:在等差數(shù)列{an}中,a1=29,S10=S20,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最大值為( )。

A.S15B.S16

C.S15或S16D.S17

解析:a1=29,S10=S20,10a1+解得d=-2。

所以當(dāng)n=15時(shí),Sn取得最大值。

【變式一】若將條件“a1=29,S10=S20”改為“a1＞0,S5=S12”,如何求解?

解法1:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由S5=S12得,5a1+10d=12a1+66d,解得d=

因?yàn)閍1＞0,n∈N*,所以當(dāng)n=8或n=9時(shí),Sn有最大值。

解法2:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,同解法1得

又n∈N*,所以當(dāng)n=8或n=9時(shí),Sn有最大值。

解法3:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,同解法1得d=-

由于Sn=na1+設(shè)f(x)=則函數(shù)y=f(x)的圖像為開口向下的拋物線,由S5=S12知,拋物線的對(duì)稱軸為(如圖1所示)。

圖1

由圖可知,當(dāng)1≤n≤8時(shí),Sn單調(diào)遞增;當(dāng)n≥9時(shí),Sn單調(diào)遞減。又n∈N*,所以當(dāng)n=8或n=9時(shí),Sn最大。

【變式二】若將條件“a1=29,S10=S20”改為“a3=12,S12＞0,S13＜0”,如何求解?

解析:因?yàn)閍3=a1+2d=12,所以a1=12-2d。

解法1:由d＜0可知{an}為遞減數(shù)列,

因此,在1≤n≤12中,必存在一個(gè)自然數(shù)n,使得an≥0,an+1＜0。

此時(shí)對(duì)應(yīng)的Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值。

解法2:由d＜0可知{an}是遞減數(shù)列,令

所以5.5＜n＜7,故n=6,即S6最大。

由上例可總結(jié)求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最值的方法:

1.二次函數(shù)法:將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=An2+Bn(A、B為常數(shù))看作二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值。

2.圖像法:利用二次函數(shù)圖像的對(duì)稱性來確定n的值,使Sn取得最值。一般地,等差數(shù)列{an}中,若a1＞0,且Sp=Sq(p≠q),則:①若p+q為偶數(shù),則當(dāng)n=時(shí),Sn最大;②若p+q為奇數(shù),則當(dāng)n=或n=時(shí),Sn最大。

3.轉(zhuǎn)折項(xiàng)法:當(dāng)a1＞0,d＜0時(shí),滿足的項(xiàng)數(shù)n,使Sn取最大值;當(dāng)a1＜0,d＞0時(shí),滿足的項(xiàng)數(shù)n,使Sn取最小值,即正項(xiàng)變負(fù)項(xiàng)處最大,負(fù)項(xiàng)變正項(xiàng)處最小,若有零項(xiàng),則使Sn取最值的n有兩個(gè)。

(責(zé)任編輯 徐利杰)