恒定行和矩陣的特征值定位

何建鋒

(楚雄師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,云南 楚雄 675000)

恒定行和矩陣的特征值定位

何建鋒

(楚雄師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,云南 楚雄 675000)

恒定行和矩陣是指矩陣每行元素的和都為同一個(gè)數(shù),提供了恒定行和矩陣特征值定位的一種方法并給出相關(guān)的結(jié)果,通過例子說明這種方法在矩陣特征值定位方面的有效性.

特征值;矩陣;恒定行和;Ger?gorin圓盤

令e=(1,1,…,1)T,A∈Rn×n,若矩陣A每行(列)元素之和均為同一個(gè)固定常數(shù),即有常數(shù)λ∈R,使Ae=λe(ATe=λe),則稱矩陣A為恒定行(列)和矩陣.易知λ是矩陣A的一個(gè)特征徝,e為特征向量.

文獻(xiàn)[1]中給出恒定列和矩陣特征值定位如下的一個(gè)結(jié)果.

性質(zhì)1 令A(yù)為恒定列和矩陣,即有常數(shù)λ∈R,使ATe=λe,則μ∈σ(A)/{λ}也為矩陣C∶=A-diag{d1,d2,…,dn}(eeT)的特征值,其中d1,d2,…,dn∈R,σ(A)表示矩陣A的譜.

對(duì)于恒定行和矩陣A,也有類似的結(jié)果,即若有常數(shù)λ∈R,使Ae=λe,則μ∈σ(A)/{λ}也為矩陣B∶=AT-diag{d1,d2,…,dn}(eeT)的特征值,其中d1,d2,…,dn∈R.

利用文獻(xiàn)[1]中性質(zhì)1來確定恒定行(列)和矩陣的特征值定位區(qū)域,需要對(duì)參數(shù)d1,d2,…,dn∈R進(jìn)行選擇,結(jié)果的好壞與d1,d2,…,dn的選擇有關(guān),實(shí)際應(yīng)用時(shí)很不方便.本文在第二部分中將用另一種方法給出恒定行和矩陣特征值定位的結(jié)果,所用的方法,只需知道矩陣元素即可進(jìn)行計(jì)算,有其便捷性.

隨機(jī)矩陣是行和為1的非負(fù)矩陣.當(dāng)矩陣A為恒定行和矩陣且非負(fù)時(shí),若行和λgt;0,則λ-1A為隨機(jī)矩陣,此時(shí)對(duì)矩陣A的討論可轉(zhuǎn)化為對(duì)隨機(jī)矩陣λ-1A進(jìn)行,易知λ為矩陣A的主特征值.隨機(jī)矩陣及其特征值定位在諸如計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)[2]、有限Markov過程[3]、計(jì)算生物學(xué)[4]等領(lǐng)域都有著重要的應(yīng)用.由非負(fù)矩陣的Perron-Frobenius定理[5-6]知,1是任何隨機(jī)矩陣的主特征值,且e是其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量.因此對(duì)于隨機(jī)矩陣的特征值定位問題,只需對(duì)其所有非1特征值進(jìn)行定位即可.

為了更精確的定位隨機(jī)矩陣的特征值,LJ.Cvetkovic等在文獻(xiàn)[1]中引入修正矩陣的概念,并將著名的Ger?gorin圓盤定理應(yīng)用于修正矩陣,得到如下隨機(jī)矩陣特征值定位定理.

Li等在文獻(xiàn)[7]中對(duì)定理1作了進(jìn)一步改進(jìn),得到如下定理.

A.Banerjee等在文獻(xiàn)[8]中給出如下結(jié)果.

文獻(xiàn)[8]中舉例說明了在有的情況下,定理3的結(jié)果要好于定理1和定理2.本文主要討論一般恒定行(列)和矩陣的特征值定位問題,該問題除文獻(xiàn)[1]中有所討論外,在其它文獻(xiàn)中尚未見相關(guān)的討論.在本文中,A(i|i)表示矩陣A刪去第i行第i列的主子矩陣,jk=(1,1,…,1)1×k,k∈{1,2,…,n},In為n階單位矩陣.

1 恒定行和矩陣的特征值定位

在該部分主要利用矩陣相似,討論恒定行和矩陣的特征值定位問題.

證明令α=(a21,a31,…,an1)T,

則:

證畢.

定理5 設(shè)A=(aij)是行和恒為λ的n階實(shí)方陣,則矩陣A除λ以外的特征值也為矩陣:

的特征值,其中α(k)=(ak1,…,ak,k-1,ak,k+1,…,akn),k=1,2,…,n.

證明k=1時(shí),由定理4直接得結(jié)論成立.

kgt;1時(shí),取Pk=(e2,e3,…,ek,e1,ek+1,…,en),ei=(0,…,1,…,0)T,則矩陣A相似于矩陣:

其中y=(a1k,…,ak-1,k,ak+1,k,…,ank)T.

對(duì)于恒定列和矩陣也可得到與定理5相似的結(jié)論.

定理6[9](Ger?gorin定理)矩陣A∈Cn×n的全體特征值都在區(qū)域:

由定理5和定理6得本文的主要結(jié)論如下.

證明根據(jù)定理5的證明過程,對(duì)于任意i∈{1,2,…,n},有σ(A)=σ(A(i))∪{λ})且

證畢.

在定理7中,當(dāng)矩陣A為非負(fù)矩陣,且λ=1時(shí),即得定理3.

利用定理7,可給出恒定行和矩陣的特征值定位區(qū)域,具體例子在本文第三部分給出.

由定理6和定理7,得如下推論.

推論1給出了恒定行和矩陣的一個(gè)特征值包含區(qū)域,這個(gè)區(qū)域小于矩陣的Ger?gorin區(qū)域.

Ωij(A)={z||z-aii||z-ajj|≤RiRj,z∈C}(ilt;j;i,j=1,2,…,n)

構(gòu)成的并集之中.

由定理5和定理8得如下結(jié)論.

證明由定理5,?k∈{1,2,…,n},σ(A)=σ(A(k))∪{λ}.根據(jù)定理8：

因此,

根據(jù)性質(zhì)2,定理9所給的特征值定位區(qū)域要小于定理7中的區(qū)域,但定理9的計(jì)算量要比定理7的計(jì)算量大得多.

圖1 GA1(i)(i=1,2,…,7)和GA1的區(qū)域Fig.1 The regions of GA1(i)(i=1,2,…,7) and GA1

2 數(shù)值算例

圖2 區(qū)域和GA1 圖3 區(qū)域和GA2 Fig.2 The regions [GA1(i)∪{λ}] and GA1 Fig.3 The regions [GA2(i)∪{λ}] and GA2

圖4 區(qū)域GA2(i)(i=1,2,3)和GA2Fig.4 There regions GA2(i)(i=1,2,3) and GA2

圖4顯示了矩陣的Ger?gorin圓盤(實(shí)線)與矩陣的Ger?gorin圓盤(虛線)的位置情況.根據(jù)定理7,矩陣的特征值位于區(qū)域(見圖3中的實(shí)線區(qū)域)中,該區(qū)域包含了矩陣的全部特征值,虛線圓為矩陣的Ger?gorin區(qū)域,星號(hào)表示矩陣的特征值.例2直觀的說明了定理7在恒定行和矩陣特征值定位中的有效性.

[3] SENETA E.Non-Negative Matrices and Markov Chains[M].Second Edition.Springer-Verlag,Heidelberg Berlin,NY,1981.

[4] NEWMAN M.Networks: an Introduction[M].Oxford University Press,NY,2010.

[5] BANERJEE A,JOST J.On the spectrum of the normalized graph Laplacian[J].Linear Algebra Appl,2008,428 (11/12) :3015-3022.

[6] BAUER F,JOST J,LIU S.Ollivier-Ricci curvature and the spectrum of the normalized graph Laplace operator[J].Math Res Lett,2012,19(6):1185-1205.

[7] LI C,LI Y.A modification of eigenvalue localization for stochastic matrices[J].Linear Algebra Appl,2014,460:231-241.

[10] 徐仲,張凱院.矩陣論簡(jiǎn)明教程[M].2版.北京:科學(xué)出版社,2005.

責(zé)任編輯：時(shí)凌

EigenvalueLocalizationforMatriceswithConstantRowSum

HE Jianfeng

(School of Mathematics and Statistics,Chuxiong Normal University,Chuxiong 675000,China)

A matrix is constant row sum if all its row sums are constant.In this paper,eigenvalue localization results and methods for matrices with constant row sum are provided,and the numerical examples are given to show the efficiency of the proposed methods in eigenvalue localization for matreces.

eigenvalue;matrix;comstant row sum;Ger?gorin disk

2017-05-08.

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61463002).

何建鋒(1974-),男,碩士,副教授,主要從事矩陣?yán)碚?、圖論的研究.

1008-8423(2017)04-0413-04

10.13501/j.cnki.42-1569/n.2017.12.013

O151.21

A