二級倒立擺的T-S模糊控制器設計

李志剛，吳楠

(1.華北理工大學 信息工程學院，河北 唐山063210；2.華北理工大學 電氣工程學院，河北 唐山 063210)

二級倒立擺的T-S模糊控制器設計

李志剛1，吳楠2

(1.華北理工大學 信息工程學院，河北 唐山063210；2.華北理工大學 電氣工程學院，河北 唐山 063210)

二級倒立擺；T-S模糊控制器；融合函數(shù)；遺傳算法

為了解決多變量、非線性、強耦合的二級倒立擺系統(tǒng)在進行模糊控制時遇到的模糊規(guī)則爆炸問題，設計了基于融合變量的T-S模糊控制器。通過配置極點設計融合函數(shù)，以融合函數(shù)生成的變量作為輸入，倒立擺控制輸入為T-S模糊控制器輸出；采用改進遺傳算法對T-S模糊控制器進行魯棒性優(yōu)化。仿真實驗表明，所設計的二級倒立擺的T-S模糊控制器魯棒性比較好。

任何理論的研究都是為了適應現(xiàn)實的需要，對于一個典型的非線性、高階次、多變量、強耦合、不穩(wěn)定的倒立擺系統(tǒng)來說，它的理論研究具有很重要的工業(yè)、軍事和經濟背景[1]。近年來，國內外對二級倒立擺系統(tǒng)不僅體現(xiàn)在起擺控制研究，而且在穩(wěn)定性控制這方面的研究也已成為熱點。倒立擺的穩(wěn)定性的有效控制方法也應用在很多方面，比如雙足機器人的行走、火箭發(fā)射中的垂直控制度及海上鉆井平臺的穩(wěn)定控制[2]。

該項設計基于變量融合的T-S模糊控制系統(tǒng)，首先運用牛頓第二定律建立數(shù)學模型，再通過配置極點設計融合函數(shù)，以融合函數(shù)生成的變量作為T-S模糊控制器的輸入，二級倒立擺控制輸入作為T-S模糊控制器輸出；在運用改進遺傳算法對T-S模糊控制的配置極點進行優(yōu)化，從而為解決多變量模糊控制器設計中的"模糊爆炸"問題提供一種新方法。

1 二級倒立擺系統(tǒng)建模

二級倒立擺受力分析圖如圖1所示。

圖1 二級倒立擺受力分析圖

圖2所示為下擺桿受力分析圖，圖3所示為上擺桿受力分析圖。

圖2 下擺桿受力分析圖 圖3 上擺桿受力分析圖

對二級倒立擺數(shù)學模型建立，用牛頓第二定律建立系統(tǒng)的動力學方程[3]：

(1)對二級倒立擺整個系統(tǒng)圖1分析，在水平方向有：

(1)

(2)圖2對下擺桿受力分析，其方程為：

(2)

(3)圖3對上擺桿受力分析：

(3)

對(1)、(2)、(3)式進行整理分析，可得二級倒立擺系統(tǒng)的動力學方程：

(4)

(5)

(6)

2 變量融合的T-S模糊控制器

模糊控制在設計系統(tǒng)時與傳統(tǒng)的控制相比不需要建立被控對象，模糊控制推理輸出是輸入量的函數(shù)，不需要經過清晰化處理，可以逼近任意非線性系統(tǒng)，適用于局部線性、多變量、能夠分段進行控制的系統(tǒng)，方便于對它進行數(shù)學分析。在實際的控制系統(tǒng)中，T-S模糊控制系統(tǒng)可描述為[4]：

(7)

其中，x=[x1(t)]為模糊系統(tǒng)的狀態(tài)向量。模糊控制系統(tǒng)總體模型為：

(8)

二級倒立擺系統(tǒng)共有6個變量，設每個變量有7個模糊集，若將每個變量作為T-S模糊控制器的輸入，共有117 649條模糊控制規(guī)則，將出現(xiàn)“模糊規(guī)則爆炸”的問題。為了解決模糊規(guī)則爆炸問題，該項目采取了變量融合方法，通過將6個變量合成2個變量作為T-S模糊控制器的輸入，不僅減少模糊控制器的控制規(guī)則，還保持了模糊控制器實際簡單快速的優(yōu)點。設融合函數(shù)為

(9)

通過融合函數(shù)F(X)將二級倒立擺的小車位移與兩根擺桿角度融合為E，小車速度與兩根擺桿角速度的融合為EC，這樣達到對實際狀態(tài)變量的降維，變量融合為

(10)

則式(7)可變?yōu)椋?/p>

則所設計T-S模糊控制器的輸入變量從6維輸入變量降低為2維，降低了設計難度，提高了T-S模糊控制器的運行效率。圖4為融合設計過程圖：

圖4 二級倒立擺融合示意圖

3 基于遺傳算法的T-S模糊控制器的設計

模糊控制器的設計包括控制器結構的設計、語言變量的設計、精確量的模糊化、建立控制規(guī)則、輸出信息的模糊判決以及模糊控制查詢表的建立[5]。該項目通過設計改進遺傳算法來優(yōu)化T-S模糊控制器規(guī)則，減少了模糊控制器的輸入變量，從而使模糊控制器的構造和設計變得更加的清楚明了。該項設計通過控制規(guī)則找到極點配置中的反饋矩陣K，6個變量可以劃分為7個模糊子集，T-S模糊控制器的控制規(guī)則即用兩個輸入變量：E和EC，每個輸入變量有7個語言值(NB, NM, NS, O, PS, PM, PB)，這樣所確定優(yōu)化的初始種群模糊控制規(guī)則條數(shù)為49條，這49條控制規(guī)則是按照2個輸入變量順序進行排列組合，來保證其覆蓋整個輸入空間。具體設計步驟如下：

步驟1：確定T-S模糊控制器的輸入量、輸出量及語言變量的隸屬度值等基本參數(shù)；

步驟2：設計生成初始種群。初始種群各個局部線性控制器的極點，運用極點配置方法設計出各個局部線性控制器；

步驟3：利用改進遺傳算法，對各個局部線性控制器的反饋控制極點進行優(yōu)化，求得最優(yōu)的T-S模糊控制器。

3.1 適應度函數(shù)

根據(jù)二級倒立擺控制器的特點，該項設計在選取適應度函數(shù)以二級倒立擺的的輸出位移誤差、輸出角度誤差及模糊控制器的輸出控制量作為參考指標，這樣不僅保證二級倒立擺達到穩(wěn)態(tài)所需要的時間較少，又保證二級倒立擺在控制過程中的振蕩幅度較小。如(11)式所示：

(11)

3.2 初始種群產生

初始種群是遺傳算法迭代運算的開端，為了保證初始種群中的染色體為有效染色體，所以改進遺傳算法的初始種群中的染色體不再隨機產生，隨機設置二級倒立擺的初始狀態(tài)，優(yōu)化其反饋控制極點參數(shù)，并將T-S模糊控制器中的各個局部控制器的反饋控制極點設置為優(yōu)化得到的反饋控制器的反饋控制極點。每個染色體98組數(shù)依次排列組成，依次代表98組局部控制器的反饋控制極點參數(shù)，均為優(yōu)化得到的反饋控制器的反饋控制極點參數(shù)。這樣不僅保證了98條染色體的收斂性，也保證了初始種群的多樣性。

優(yōu)化二級倒立擺反饋控制極點的遺傳算法與改進的遺傳算法的初始種群的產生不同，而其他的遺傳算子及適應度函數(shù)則相同。優(yōu)化二級倒立擺反饋控制極點只優(yōu)化一個反饋控制器，根據(jù)二級倒立擺的初始狀態(tài)等優(yōu)化6個極點，分別代表一個反饋控制器的配置極點的共軛極點的實部、阻尼系數(shù)和其它4個極點與共軛極點的實部絕對值的比值。通過優(yōu)化6+2*49個參數(shù)來得到6個反饋矩陣也就是極點配置中的6個狀態(tài)反饋矩陣。隨機產生100個初始狀態(tài)，并運用上述改進遺傳算法得到優(yōu)化結果，為了提高種群的優(yōu)化效率，保證解空間的全面性，所以初始種群染色體中各個染色體個數(shù)均為1。

3.3 改進遺傳算法

與基本遺傳算法相比，該項設計的主要改進體現(xiàn)在2個方面：一是最優(yōu)保留策略[6]，二是多種群優(yōu)化策略。最優(yōu)保留策略的主要步驟是，進行遺傳算子計算之前記錄上一代最優(yōu)個體，若上一代最優(yōu)個體適應度值大于此代最優(yōu)個體，則將上一代最優(yōu)個體代替此代的適應度最低的個體。否則，直接進入下一代計算。多種群優(yōu)化策略是指將種群分為多個子種群，子種群分別進行獨立的遺傳優(yōu)化。遺傳優(yōu)化進行到固定的代數(shù)，將各個子種群之間進行一定量的染色體交換，可有效解決遺傳算法的早熟問題。首先，初始種群不再隨機產生，而是按照初始種群確定的狀態(tài)進行，以提高染色體在有效空間內出現(xiàn)的頻率；然后，在遺傳算法中加入種群算子能夠更好地維持種群多樣性，提高優(yōu)化效率。改進遺傳算法優(yōu)化流程圖如圖5所示：

圖5 改進遺傳算法優(yōu)化流程圖

4 實驗仿真分析

圖6 二級倒立擺控制曲線仿真圖

5 結論

該項目以二級倒立擺為被控對象設計了T-S模糊控制器，利用融合變量對T-S模糊控制器的輸入進行降維，解決了多輸入變量遇到的“規(guī)則爆炸”問題，通過改進的遺傳算法優(yōu)化T-S模糊控制器的方法具有一定的可行性，可使二級倒立擺控制曲線能夠在短時間內快速達到很好的控制效果，魯棒性好。因此，該項目提出的設計方法對其它多變量，不穩(wěn)定系統(tǒng)也有一定的參加價值。

[1] 韓復健.倒立擺系統(tǒng)的發(fā)展研究以及意義[J].山東工業(yè)技術,2014,17(154):144-145.

[2] 邵瑞. 基于滑模觀測器的環(huán)形倒立擺控制系統(tǒng)的設計與實現(xiàn)[D].株洲:湖南工業(yè)大學,2011.

[3] 岳春然.基于模糊控制算法的倒立擺系統(tǒng)的研究[D]:北京:北方工業(yè)大學,2009.

[4] 劉玉琳.基于T-S模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析及控制器設計[D].大慶:東北石油大學,2013.

[5] 茅曉輝.風力發(fā)電機變漿距控制策略研究[J].山東科技大學,2014,22(10):16-18.

[6] 張雅艦,劉勇,謝松江. 一種求解裝箱問題的改進遺傳算法[J].控制工程,2016,3(12):329-331.

DesignofT-SFuzzyControllerofDoubleInvertedPendulum

LI Zhi-gang1, WU Nan2

(1. College of Information Engineering, North China University of Science and Technology, Tangshan Hebei 063210, China;2. College of Electrical Engineering, North China University of Science and Technology, Tangshan Hebei 063210, China)

double inverted pendulum; T-S fuzzy controller; fusion function; genetic algorithm

In order to solve the multivariable, nonlinear and strong-coupling of the double inverted pendulum system with the fuzzy rules explosion problem, a T-S fuzzy controller based on the fusion function was designed. The fusion function was designed with the pole design. The T-S fuzzy controller is input by using the variable generated by the fusion function, and the output by the inverted pendulum control input. The improved genetic algorithm is used to optimize the robustness of the T-S fuzzy controller.The simulation results show that the design of the double inverted pendulum T-S fuzzy controller robustness is better.

2095-2716(2017)04-0082-06

2017-05-24

2017-09-25

河北省自然科學基金資助項目(F2013209203)。

TP242.6

A