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    橢圓型方程系數(shù)識(shí)別問題正則化解的收斂速度

    2021-07-14 02:17:52謙,
    關(guān)鍵詞:橢圓型范數(shù)正則

    王 謙, 何 琴

    (蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

    橢圓型偏微分方程是用于描述物理平衡穩(wěn)定狀態(tài)的一類方程[1]。偏微分方程的正問題是由已知方程的定解條件求定解問題的解,而反問題[2]是由部分已知信息求定解問題中的某些未知量。由于大部分反問題是不適定的,正則化方法就成為解反問題的主要工具[3-6]。雖然有許多學(xué)者致力于研究正則化方法,但很少研究正則化解的收斂速度[7-10]。

    本文研究了橢圓型方程的系數(shù)識(shí)別問題,考慮如下橢圓型方程Dirichlet問題:

    -div(q?u)+c(x)u=finΩ,

    (1)

    u=0 on ?Ω。

    (2)

    其中:q是未知系數(shù),利用u在Ω上的觀測(cè)值來反演q。將Tikhonov正則化應(yīng)用于新的凸能量泛函Jzδ, 并求出其解的收斂速度。 對(duì)于凸能量泛函的設(shè)定是處理該問題的難點(diǎn), 既要保證泛函的凸性, 又要易于求解收斂速度。

    通過多次檢驗(yàn), 構(gòu)造如下泛函:

    (3)

    其中:ρ>0 是正則化參數(shù),q*是q的先驗(yàn)估計(jì)。

    本文的主要貢獻(xiàn):證明了泛函(3)的嚴(yán)格凸性,從而在容許集內(nèi)極小化問題有唯一解;提出了形式上相對(duì)簡(jiǎn)單的源條件,進(jìn)而證明了最優(yōu)解的收斂性,并給出了收斂階。

    1 反問題設(shè)置

    成立,則稱u為問題(1)和問題(2)的弱解。如果系數(shù)q屬于下列集合

    (4)

    (5)

    (6)

    其中:

    (7)

    且CΩ是一個(gè)僅依賴于區(qū)域Ω的常數(shù)。在Poincaré-Friedrichs不等式中,有

    (8)

    2 Tikhonov 正則化

    (9)

    其中:δ>0。于是問題轉(zhuǎn)變?yōu)橛蓏δ重構(gòu)q。為了解決問題,在集合Q上最小化凸泛函是

    (10)

    由于問題是不適定的,使用穩(wěn)定的Tikhonov正則化方法求解它,即解決最小化問題

    (11)

    在證明之前,先引入q*最小范數(shù)解的概念,以及U(q)的一些性質(zhì)。

    (12)

    (13)

    引理證畢。

    -div(q?η)+c(x)η=div(h?U(q)) inΩ,η=0 on ?Ω

    (14)

    此外, 對(duì)于所有h∈L∞(Ω), 有

    (15)

    (16)

    其中:α由式(7)定義, 且α>0。 對(duì)于任何h∈L∞(Ω), 根據(jù)Lax-Milgram引理, 得到變分方程

    (17)

    (18)

    由不等式(18)和不等式(14), 得到

    (19)

    成立。 因此,

    令v=U(q+h)-U(q)-η,由等式(16),得到

    α‖U(q+h)-U(q)-η‖H1(Ω)≤‖h‖L∞(Ω)‖η‖H1(Ω)。

    (20)

    由不等式(19)和不等式(20),得

    引理證畢。

    引理3 由式(9)定義的泛函Jzδ(q)在凸集Q上是凸的。

    證明:對(duì)所有q∈Q和h∈L∞(Ω)有

    (21)

    那么,對(duì)所有的q∈Q和h,k∈L∞(Ω),Jzδ的二階Fréchet導(dǎo)數(shù)為

    因此, 根據(jù)式(5), 對(duì)所有q∈Q和h∈L∞(Ω)有

    即泛函Jzδ(q)在集合Q上是凸的。

    引理證畢。

    證明:首先,證明泛函Jzδ(q)在集合Q上關(guān)于L2(Ω)-范數(shù)是連續(xù)的。

    (22)

    根據(jù)不等式(15),得

    (23)

    (24)

    根據(jù){qn}在L2(Ω)-范數(shù)下收斂于q和式(23),當(dāng)n→∞時(shí),方程(24)右邊第一項(xiàng)趨近于零。另一方面,由于{U(qn)}在H1(Ω)內(nèi)弱收斂趨于θ,當(dāng)n→∞時(shí),得到

    (25)

    結(jié)合式(22)和式(25),斷定θ=U(q)。

    現(xiàn)在證明當(dāng)n→∞時(shí), 有Jzδ(qn)→Jzδ(q)。由方程(3)得

    =Jzδ(q)。

    定理證畢。

    證明:由{qn}的定義,對(duì)每個(gè)q∈Q,有

    (26)

    (27)

    (28)

    另外,

    (29)

    當(dāng)n→∞時(shí),因?yàn)閧zn}在H1(Ω)中收斂于zδ,所以右邊兩個(gè)括號(hào)中的項(xiàng)趨于零。因此,

    (30)

    根據(jù)式(27)~式(29),對(duì)任意q∈Q有

    (31)

    (32)

    (33)

    (34)

    聯(lián)立式(34)和式(30), 以及不等式(32)有

    這與式(27)矛盾。

    定理證畢。

    3 收斂速度

    由于L∞(Ω)=L1(Ω)*?L∞(Ω)*,那么對(duì)任意q∈L∞(Ω),有q∈L∞(Ω)*。 對(duì)所有h∈L∞(Ω)有

    (35)

    即對(duì)所有ω*∈H-1(Ω)和h∈L∞(Ω)有

    (36)

    -div(q?φρ)+c(x)φρ=ψρ-ΔψρinΩ,φρ=0 on ?Ω。

    (37)

    (38)

    設(shè)v=φρ,由集合Q的定義,有

    由Cauchy-Schwarz不等式,可得

    于是

    (39)

    根據(jù)假設(shè)存在一個(gè)常數(shù)K1>0,對(duì)所有ρ∈(0,1)有

    (40)

    由式(39)和式(40),對(duì)所有ρ∈(0,1)有

    (41)

    由不等式(41)與Poincaré-Friedrichs不等式,得到式(38)。

    引理證畢。

    定理3 假設(shè)存在一個(gè)函數(shù)ω*∈H-1(Ω)使得

    qχ-q*=U′(qχ)*ω*。

    (42)

    則,當(dāng)ρ→0和ρ~δ時(shí),有

    證明:根據(jù)正則化解的定義,得到

    因此

    (43)

    (44)

    對(duì)式(42)的第二項(xiàng),由式(35)和式(42),得

    (45)

    由式(36)和式(45)可得

    (46)

    (47)

    ‖ω-ψρ‖H1(Ω)≤ρ。

    (48)

    考慮下列橢圓型方程的Dirichlet問題:

    -div(qχ?φρ)+c(x)φρ=ψρ-ΔψρinΩ,

    (49)

    φρ=0 on ?Ω。

    (50)

    (51)

    (52)

    (53)

    由不等式(35)和式(53), 得到

    (54)

    應(yīng)用不等式(36)和式(43),有

    (55)

    根據(jù)式(13)和集合Q的定義, 有

    (56)

    由式(3)和式(12),得

    根據(jù)式(9), 得

    利用Cauchy-schwarz不等式, 有

    (57)

    由式(53)~式(55)得到

    (58)

    根據(jù)集合Q的定義和Poincaré-Friedrichs不等式(8),有

    (59)

    結(jié)合不等式(32)、不等式(33)、不等式(58)和不等式(59),可得

    (60)

    由式(58), {ψρ}ρ∈(0,1)在H1(Ω)-范數(shù)下有界和引理2, 存在一個(gè)僅依賴于Ω的常數(shù)K>0, 使得對(duì)所有ρ∈(0,1), 有

    (61)

    由式(60)和式(61)得到, 當(dāng)δ→0和ρ~δ, 有

    定理證畢。

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