麥克斯韋分布與概率論中典型分布的比較教學(xué)

鄒劍飛++楊永富++鄒華

摘 要：對(duì)比研究了大學(xué)物理中的麥克斯韋分布和概率論中典型分布的區(qū)別和聯(lián)系，指出了無(wú)量綱的麥克斯韋速度分布是三維空間的正態(tài)分布，麥克斯韋速率分布是一種χ分布，闡明了理想氣體的統(tǒng)計(jì)物理量與概率論中統(tǒng)計(jì)數(shù)字特征之間的關(guān)系。麥克斯韋分布和對(duì)應(yīng)概率論知識(shí)的比較教學(xué)，既能讓教師講解麥克斯韋分布更清楚透徹，又能讓學(xué)生融會(huì)貫通并牢固掌握相關(guān)大學(xué)物理和數(shù)學(xué)知識(shí)。

關(guān)鍵詞：麥克斯韋分布 概率論 比較教學(xué)

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2017）10（a）-0175-03

Abstract：We study the differences and relation between the Maχwell distribution in the college physics and the typical distributions in probability theory. It is found that the dimensionless Maχwell velocity distribution is just a normal distribution in the three dimensional space， while the Maχwell speed distribution is actually a kind of χ distribution. We also demonstrate the relationship between the statistical quantities of the ideal gap and the numerical characteristics in probability theory. We argue that the comparison of MaXwell distributions and the corresponding probability theory could help teachers eXplain the Maχwell distribution more clearly， so that the students could have a deep understanding on the relevant knowledge in college physics and mathematics.

Key Words：Maχwell distribution； Probability theory； Comparative teaching

大學(xué)物理和高中物理的銜接教學(xué)已經(jīng)受到大學(xué)教師足夠的重視和研究[1-3]。大學(xué)物理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是大學(xué)數(shù)學(xué)，特別是微積分和概率論。關(guān)于大學(xué)物理和大學(xué)數(shù)學(xué)課程的有效銜接和融匯教學(xué)國(guó)內(nèi)也有初步的研究和實(shí)踐[4-6]。本文筆者在河海大學(xué)多年的《大學(xué)物理》教學(xué)經(jīng)歷中明顯感覺到學(xué)生對(duì)大學(xué)物理中所需數(shù)學(xué)知識(shí)準(zhǔn)備不足，這既增加了大學(xué)物理課程教學(xué)的難度，也影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。具體說(shuō)來(lái)，是教師在講授大學(xué)物理知識(shí)的時(shí)候，學(xué)生所需的相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)在《大學(xué)數(shù)學(xué)》課程中還沒有提前或同步學(xué)習(xí)到。例如在力學(xué)部分講運(yùn)用分量變量法求解動(dòng)力學(xué)問題的時(shí)候，學(xué)生還沒有在《高等數(shù)學(xué)》課程中接觸常微分方程。還有的原因是，物理和數(shù)學(xué)中的術(shù)語(yǔ)差別導(dǎo)致學(xué)生不能融會(huì)貫通，從而影響學(xué)生對(duì)物理知識(shí)的理解和應(yīng)用。例如對(duì)于《大學(xué)物理》中理想氣體的麥克斯韋速度和速率分布及其有關(guān)的統(tǒng)計(jì)物理量，大多數(shù)學(xué)生就不知道與概率論中的相關(guān)概念的聯(lián)系，更不會(huì)進(jìn)行比較學(xué)習(xí)。

麥克斯韋速度、速率分布及其相關(guān)的統(tǒng)計(jì)物理量是《大學(xué)物理》和《熱學(xué)》課程中的重點(diǎn)和難點(diǎn)部分[7-9]。要把這部分知識(shí)點(diǎn)在有限的時(shí)間內(nèi)講解清楚、易于學(xué)生接受，我們認(rèn)為教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生把這部分物理學(xué)知識(shí)和他們已經(jīng)具備的相關(guān)的概率論知識(shí)緊密地聯(lián)系在一起[10-12]，從而讓學(xué)生快速而準(zhǔn)確的掌握相關(guān)的物理和數(shù)學(xué)知識(shí)。本論文用概率論的語(yǔ)言詳細(xì)分析了麥克斯韋速度和速率分布及其統(tǒng)計(jì)物理量的物理和數(shù)學(xué)上的意義，對(duì)比分析了這些物理量與概率論中相關(guān)數(shù)學(xué)對(duì)象或概念之間的區(qū)別和聯(lián)系。

1 麥克斯韋速度分布與正態(tài)分布

理想氣體是熱力學(xué)系統(tǒng)中最簡(jiǎn)單的研究對(duì)象。在一定溫度下，理想氣體的每一個(gè)分子都在做永不停息的無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)。我們無(wú)法知道每一時(shí)刻每個(gè)分子的速度，但所有這些分子的速度卻服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律，即麥克斯韋速度分布。它的具體函數(shù)表達(dá)式為

其中T是平衡態(tài)下的溫度，k是玻爾茲曼常數(shù)，m和分別為分子的質(zhì)量和速度。麥克斯韋速度分布函數(shù)的物理意義是分子速度在到+d之間的分子占?xì)怏w總分子數(shù)的比率為。對(duì)分子所有可能的速度進(jìn)行積分即得到

歸一化條件：

由于三維理想氣體的各向同性性質(zhì)，麥克斯韋速度分布函數(shù)可以寫成直角坐標(biāo)系中三個(gè)獨(dú)立方向上的分布函數(shù)的乘積形式：

其中

表示理想氣體關(guān)于方向上的速度分量的分布函數(shù)。在數(shù)學(xué)上，這其實(shí)就是一個(gè)一維的正態(tài)（高斯）分布，它的概率密度函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式是

比較公式（4）和（5），得到隨機(jī)變量（速度分量）的期望（平均值），方差和標(biāo)準(zhǔn)差。

所以用概率論的語(yǔ)言說(shuō)，麥克斯韋速度分布函數(shù)是關(guān)于三個(gè)獨(dú)立速度分量的聯(lián)合概率密度。換句話說(shuō)，麥克斯韋速度分布其實(shí)就是一種特殊的三維正態(tài)分布，其中向量值期望，協(xié)方差矩陣C為對(duì)角矩陣且對(duì)角元均為，各隨機(jī)變量分量，即速度分量的相關(guān)系數(shù)為0。

一般地，可以證明n維理想氣體滿足的麥克斯韋速度分布是一個(gè)n維的各速度分量獨(dú)立的正態(tài)分布。圖1展示了二維理想氣體的速度分布函數(shù)。

2 麥克斯韋速率分布χ與分布

考慮到理想氣體的各向同性，可以推斷氣體分子的速度分布只與速度的大小（速率）有關(guān)，而與速度的方向無(wú)關(guān)，這也可以從麥克斯韋速度分布公式（1）中直接看出來(lái)。因此，若用球坐標(biāo)系描述氣體分子的速度分布，可以得到分布函數(shù)只與速度的徑向分量即速率有關(guān)，而與極角θ和方位角φ無(wú)關(guān)。對(duì)速度空間中半徑為的球面進(jìn)行積分，即得麥克斯韋速率分布函數(shù)endprint

它的物理意義是分子速率在到+d之間的分子占分子總數(shù)的比率為，滿足歸一化條件

從上面的推導(dǎo)可以看到，麥克斯韋速率分布是從速度分布中取徑向分量得到的。用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述就是，麥克斯韋速率分布是三維正態(tài)分布的隨機(jī)向量的模（歐幾里得長(zhǎng)度）所服從的概率分布，也就是概率論中重新標(biāo)度的χ分布。一般的χ分布的概率密度函數(shù)[13]為

其中隨機(jī)變量χ>0，自由度≥1表示隨機(jī)向量的分量個(gè)數(shù)，Γ是gamma函數(shù)。當(dāng)=3，時(shí)χ分布的概率密度公式（8）變換為麥克斯韋速率分布公式（6）。因此，麥克斯韋速率分布，嚴(yán)格的講是無(wú)量綱約化速率分布，是一個(gè)自由度為3的χ分布，記為。

需要說(shuō)明的是，國(guó)內(nèi)大多概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教程中沒有提及χ分布，但都有介紹χ2分布[10-12]。這兩者的關(guān)系是，把χ分布的隨機(jī)變量的平方當(dāng)作新的隨機(jī)變量就得到了χ2分布。所以，我們也可以說(shuō)理想氣體無(wú)量綱的分子速率的平方服從自由度為3的χ2分布。圖2顯示了麥克斯韋分布與概率論中典型分布的關(guān)系。

3 統(tǒng)計(jì)物理量與期望和方差

根據(jù)麥克斯韋速度和速率分布函數(shù)，可以計(jì)算一些統(tǒng)計(jì)物理量。這些統(tǒng)計(jì)物理量與概率論中的期望、方差等隨機(jī)變量的數(shù)字特征緊密關(guān)聯(lián)。

最概然（可幾）速率p表示理想氣體分子速率分布在p附近的單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率最大。它對(duì)應(yīng)麥克斯韋速率分布曲線的峰值位置，統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱為眾數(shù)（mode），其取值條件為

由此得到最概然速率。

平均速率即所有分子速率的算術(shù)平均值，概率論中也稱為期望，其表達(dá)式為

分子的平均速率可以用來(lái)計(jì)算氣體的泄流、擴(kuò)散和熱傳導(dǎo)等輸運(yùn)性質(zhì)。

方均根速率的定義為。我們先計(jì)算速率平方的平均值（二階原點(diǎn)矩）

再對(duì)上式開方得到方均根速率。方均根速率可用來(lái)計(jì)算分子的平均平動(dòng)能和氣體壓強(qiáng)。

可以看到這些統(tǒng)計(jì)物理量都和溫度或溫度質(zhì)量比（溫質(zhì)比）有關(guān)。在物理課程中我們說(shuō)，溫度反映了氣體分子無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)的劇烈程度[7]。從概率論的角度，可以說(shuō)溫度或溫質(zhì)比表征了理想氣體分子隨機(jī)的速度和速率相對(duì)平均值的漲落，也就是方差。根據(jù)以上的計(jì)算，得到速率的方差為

從而得到溫質(zhì)比

溫質(zhì)比正比于速率的方差，而方差在分布曲線上的直接表現(xiàn)就是曲線的胖瘦形態(tài)。所以針對(duì)不同溫度的同種氣體，曲線越矮胖，速率漲落越大，方差越大，溫質(zhì)比就越大，溫度就越高。對(duì)于同溫度的不同種氣體，曲線越矮胖，方差越大，分子質(zhì)量就越小。圖3畫出了和氣體在一定溫度下的速率分布曲線。

我們還可以根據(jù)麥克斯韋速度分布得到速度的方差

它其實(shí)就是對(duì)應(yīng)的三維正態(tài)分布的協(xié)方差矩陣的跡Tr（C）。從而又得到溫質(zhì)比

因此，質(zhì)溫比也表征了分子速度的方差（漲落）。

4 統(tǒng)計(jì)速率的大小關(guān)系與分布的偏度（skewness）

根據(jù)上面的計(jì)算結(jié)果，可以得到三個(gè)統(tǒng)計(jì)速率的大小關(guān)系為

其實(shí)這三者的大小關(guān)系還可以直接從分布曲線的不對(duì)稱形狀分析出來(lái)。概率論中引入偏度的概念來(lái)描述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分布偏離正態(tài)分布的程度和方向。麥克斯韋速率分布曲線左側(cè)的尾部到零截止，而右側(cè)的尾部拖得很長(zhǎng)，一直延伸到了無(wú)窮遠(yuǎn)處。這種情形稱為正偏態(tài)（右偏態(tài)）。具有這種正偏態(tài)的分布，它的概率密度分布的眾數(shù)小于中位數(shù)，中位數(shù)小于平均值，平均值小于方均根，并且滿足不等式，其中n≥1。

5 結(jié)語(yǔ)

本文用概率論的語(yǔ)言詳細(xì)闡述了麥克斯韋速度和速率分布及其相關(guān)統(tǒng)計(jì)物理量的意義，揭示了麥克斯韋速度、速率分布與概率論中的相關(guān)分布的關(guān)系，論證了統(tǒng)計(jì)速率、溫質(zhì)比等物理量與期望、方差等概率論中的數(shù)字特征之間的聯(lián)系。需要強(qiáng)調(diào)的是，本文中有些概率論的知識(shí)甚至超出了許多專業(yè)對(duì)《大學(xué)數(shù)學(xué)》的要求。因此，把麥克斯韋分布和概率論的相關(guān)知識(shí)做比較教學(xué)時(shí)，對(duì)學(xué)生講解的時(shí)候必須適可而止。我們這里提倡的《大學(xué)物理》和《大學(xué)數(shù)學(xué)》對(duì)比融合的教學(xué)方式主要適用于數(shù)學(xué)、物理和對(duì)數(shù)學(xué)和物理要求較高的專業(yè)的學(xué)生以及其他專業(yè)的優(yōu)秀學(xué)生。

致謝

作者感謝河海大學(xué)理學(xué)院林建偉副教授和朱永忠教授給予的有益討論。

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