基于廣義開爾文模型的凍結(jié)壁和井壁共同作用下凍結(jié)壓力解析解

，， ,2

(1.安徽理工大學(xué) 土木建筑學(xué)院，安徽 淮南 232001；2.安徽大學(xué) 資源與環(huán)境工程學(xué)院，合肥 230601)

基于廣義開爾文模型的凍結(jié)壁和井壁共同作用下凍結(jié)壓力解析解

彭世龍1，榮傳新1，程樺1,2

(1.安徽理工大學(xué) 土木建筑學(xué)院，安徽 淮南 232001；2.安徽大學(xué) 資源與環(huán)境工程學(xué)院，合肥 230601)

凍結(jié)壓力大小是深厚沖積層凍結(jié)法鑿井外層井壁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)計(jì)算的重要依據(jù)。在凍土單軸蠕變試驗(yàn)基礎(chǔ)上，采用廣義開爾文流變模型，以及彈性-黏彈性對應(yīng)原理，建立凍結(jié)壁位移場黏彈性方程；然后考慮凍結(jié)壁與外層井壁及外圍未凍土體的相互作用，推導(dǎo)出了作用于外層井壁上的凍結(jié)壓力的數(shù)學(xué)表達(dá)式。計(jì)算結(jié)果表明：在外層井壁砌筑后的前10 d，凍結(jié)壓力的理論公式計(jì)算值與實(shí)測結(jié)果平均值相差較大，約0.5 MPa；在20 d后，凍結(jié)壓力趨于穩(wěn)定，兩者差值的絕對值在0.2 MPa以內(nèi)。總之，凍結(jié)壓力的理論計(jì)算值與實(shí)測結(jié)果的偏差絕對值在10%以內(nèi)。因此凍結(jié)壓力的理論計(jì)算公式是比較符合實(shí)際的，此公式可為凍結(jié)井的外層井壁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

凍結(jié)壓力；廣義開爾文流變模型；凍結(jié)法鑿井；凍結(jié)壁；外層井壁

1 研究背景

人工地層凍結(jié)法是煤礦立井穿越?jīng)_積層最常用工法之一。進(jìn)入21世紀(jì)以來，隨著我國煤礦開采深度的不斷增加，凍結(jié)法鑿井所穿越的沖積層厚度已由早期的300 m左右，急增至400～600 m。隨地層深度的增加，人工凍土的力學(xué)特性則尤為復(fù)雜[1-2]。凍結(jié)壁和井壁的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)是凍結(jié)法鑿井的設(shè)計(jì)基礎(chǔ);凍結(jié)壓力是外層井壁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的重要依據(jù)[1]，是井筒施工過程中井幫作用在外層井壁上的水平外荷載，是凍結(jié)壁與外層井壁進(jìn)行共同作用后的結(jié)果，其相互作用力的大小與凍結(jié)壁和井壁的材料力學(xué)特性有關(guān)。近些年來，國內(nèi)外眾多專家學(xué)者針對人工凍結(jié)鑿井凍結(jié)壓力產(chǎn)生的機(jī)理及大小，開展了大量理論與實(shí)測研究，取得了不少研究成果[3-10]。此外，楊俊杰[11-12]、Auld[13]和Sugihara等[14]考慮凍結(jié)壁與外層井壁發(fā)生的相互作用，開展了外層井壁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)計(jì)算理論的研究，但他們在計(jì)算時未考慮凍結(jié)壁具有的蠕變特性，僅僅將凍結(jié)壁視為彈性或彈塑性體。榮傳新等[9]基于凍土的黏彈塑性流變本構(gòu)關(guān)系，在考慮了凍結(jié)壁和外層井壁以及外圍土體三者的共同作用下，建立了一個適合于深厚沖積層的黏彈性計(jì)算模型。王衍森等[15]基于深部凍土的蠕變本構(gòu)關(guān)系和凍結(jié)壁溫度場，模擬了井筒開挖和砌筑施工過程，并開展了凍結(jié)壁與井壁相互作用的數(shù)值分析，得到了凍結(jié)法鑿井施工過程中凍結(jié)壁與外層井壁的相互作用力的變化規(guī)律。本文以淮南某礦副井為工程背景，基于深埋人工凍土蠕變試驗(yàn)結(jié)果，選用廣義開爾文流變模型來表征凍土穩(wěn)定蠕變階段，運(yùn)用彈性-黏彈性對應(yīng)原理和圍巖與結(jié)構(gòu)物共同作用原理，給出了深厚沖積層凍結(jié)立井凍結(jié)壓力表達(dá)式，揭示了凍結(jié)壓力變化規(guī)律，并得到了工程實(shí)測的驗(yàn)證。

2 凍結(jié)壁與外層井壁共同作用理論分析

2.1 力學(xué)模型

凍結(jié)壁的變形是由于其內(nèi)部的土體被開挖而產(chǎn)生的，即是由解除應(yīng)力場引起的。所以在分析凍結(jié)壁在開挖后的受力狀態(tài)時只需要分析解除應(yīng)力場的作用，而不需要分析初始應(yīng)力場的作用。為了確定解除應(yīng)力場，以外圍土體外邊界無窮遠(yuǎn)處受到的等效荷載來代替由于凍結(jié)壁內(nèi)緣開挖而產(chǎn)生的解除應(yīng)力場，對于平面應(yīng)變問題，等效載荷可表示為[16-17]

(1)

式中：P0為外圍未凍土體受到的初始水平地壓；μ0為外圍未凍土體的泊松比。

圖1是外圍未凍土體、凍結(jié)壁和外層井壁共同作用的力學(xué)模型。圖1中r0和r1分別是外層井壁的內(nèi)徑、外徑;r2是凍結(jié)壁的外徑；r∞代表無窮遠(yuǎn)處邊界。模型由內(nèi)圈向外圈分為外層井壁彈性區(qū)、凍結(jié)壁黏彈性區(qū)和外圍未凍土體彈性區(qū)。Peq為外圍未凍土體無窮遠(yuǎn)處邊界作用有等效應(yīng)力;P2為凍結(jié)壁黏彈性區(qū)外表面與外圍未凍土體彈性區(qū)交界處的載荷;Pt為外層井壁彈性區(qū)與凍結(jié)壁黏彈性區(qū)內(nèi)表面交界處的凍結(jié)壓力。

圖1計(jì)算力學(xué)模型

Fig.1Computationalmechanicsmodel

2.2 計(jì)算假設(shè)

為便于計(jì)算分析，作如下假設(shè)：①土體在凍結(jié)前、后的應(yīng)力場保持不變，仍然為初始地應(yīng)力場；②外圍未凍土體為理想彈性體，凍結(jié)壁為理想黏彈性體；③凍結(jié)壁各方向厚度相同，計(jì)算時取其平均溫度，忽略溫度分布不均造成的影響；④將凍結(jié)壁和外圍未凍土體的相互作用問題視為軸對稱平面應(yīng)變問題；⑤外層鋼筋混凝土井壁視為均質(zhì)的線彈性介質(zhì)。

2.3 外圍未凍土體位移場計(jì)算

將外圍未凍土體視為受均勻分布內(nèi)、外壓的彈性厚壁圓筒，考慮到r∞?r2，故得其位移場為

(2)

式中：E0為外圍未凍土體彈性模量；r為任意位置處的半徑。

外圍未凍土體與凍結(jié)壁交界處(r=r2)的位移為

(3)

2.4 凍結(jié)壁位移場的黏彈性求解

視凍結(jié)壁黏彈性區(qū)為承受內(nèi)、外壓的厚壁圓筒，由彈性理論可得凍結(jié)壁位移的彈性解，即

(4)

式中：k1=r1/r2；E為凍結(jié)壁彈性模量；μ為凍結(jié)壁泊松比。

通過對凍土試件進(jìn)行應(yīng)力水平分別為0.3σc，0.5σc，0.7σc的單軸蠕變試驗(yàn)(其中σc為單軸抗壓強(qiáng)度)，可得凍土單軸蠕變結(jié)果，如圖2所示。由試驗(yàn)結(jié)果可知：在低應(yīng)力水平(0.3σc)和中應(yīng)力水平(0.5σc)的條件下，整個蠕變過程呈穩(wěn)定狀態(tài)，屬于穩(wěn)定蠕變；當(dāng)應(yīng)力水平較高時(0.7σc)，整個蠕變過程呈非穩(wěn)定狀態(tài)，屬于加速蠕變。經(jīng)對比發(fā)現(xiàn)凍土的穩(wěn)定蠕變曲線形式(圖2)和廣義開爾文模型蠕變曲線(圖3，應(yīng)力水平為σ=σ0)形式相近，所以可用廣義開爾文模型(即Kelvin-Voigt模型)(圖4)來表征凍土的穩(wěn)定蠕變特征。

圖2-10℃時凍土蠕變曲線

Fig.2Creepcurvesoffrozensoilat-10℃

圖3廣義開爾文模型蠕變曲線

Fig.3CreepcurveofgeneralizedKelvinmodel

圖4廣義開爾文流變模型

Fig.4GeneralizedKelvinrheologicalmodel

其本構(gòu)模型為

(5)

當(dāng)應(yīng)力σ=σ0=恒定值時，可推導(dǎo)出蠕變本構(gòu)方程為

(6)

但式(5)僅僅是處于一維應(yīng)力狀態(tài)下“黏彈性模型”的流變本構(gòu)方程，而實(shí)際凍結(jié)壁是處于三維應(yīng)力狀態(tài)下的，因此，必須將式(5)由一維應(yīng)力空間推廣到三維應(yīng)力空間。根據(jù)彈塑性力學(xué)的基本原理，任意一點(diǎn)的三維應(yīng)力均可分解成“球應(yīng)力”與“偏應(yīng)力”?！扒驊?yīng)力”僅使介質(zhì)產(chǎn)生體積變化，而“偏應(yīng)力”僅使介質(zhì)產(chǎn)生形狀上的變化。在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，各向同性的線性黏彈性體的本構(gòu)方程可表示為

(7)

復(fù)雜應(yīng)力條件下的線彈性體的本構(gòu)方程為

(8)

式中：G為剪切模量；K為體積彈性模量。

只需采用三維元件參數(shù)取代廣義開爾文體中的一維元件參數(shù)(分別用2G1，2G2，2H代替E1，E2，η)，并以應(yīng)力偏張量Sij、應(yīng)變偏張量eij分別取代應(yīng)力σ、應(yīng)變ε，即可得到以下的“黏彈性模型”的三維流變本構(gòu)方程，所以可將式(5)拓展到三維受力狀態(tài)，其微分形式的本構(gòu)方程可表示為

(9)

因?yàn)樵诶舷罂臻g下，P′，Q′，P″，Q″經(jīng)過Laplace變換可分別表示成復(fù)變量s的函數(shù)，其滿足

(10)

比較式(7)、式(8)、式(9)可知

(11)

分別對比線彈性體與黏彈性體在拉氏象空間中的形式，再利用彈性力學(xué)關(guān)系可得

(12)

(13)

(14)

其中W=3KG1+3KG2+G1G2。

由Laplace逆代換，式(13)和式(14)可分別表示為：

(15)

(16)

將式(15)和式(16)分別代入式(4)可得凍結(jié)壁位移場的黏彈性解為

(17)

其中，

假設(shè)凍結(jié)壁各位置的溫度均處于穩(wěn)定狀態(tài)，由位移場的黏彈性解可以求得凍結(jié)壁與外層井壁(r=r1)和外圍未凍土體(r=r2)交界處的位移表達(dá)式分別為

(18)

2.5 外層井壁位移場的彈性求解

外層井壁可以看作僅受到凍結(jié)壓力Pt作用的厚壁圓筒，故井壁與凍結(jié)壁交界處(r=r1)的位移場滿足

(19)

式中：E3為井壁彈性模量；μ3為泊松比；k2=r0/r1。

3 凍結(jié)壓力求解

凍結(jié)法鑿井的外層井壁施工過程中，在外層井壁與凍結(jié)壁之間會鋪設(shè)聚苯乙烯泡沫板，設(shè)其厚度為δ。在外層井壁，黏彈性凍結(jié)壁以及外層未凍土的體變形過程中，各接觸面均滿足以下變形協(xié)調(diào)方程，即

(20)

將式(3)、式(18)、式(19)代入上述位移協(xié)調(diào)條件可得凍結(jié)壓力表達(dá)式為

(21)

4 工程實(shí)例分析

淮南某礦副井，新生界松散層厚度525.25 m，井筒凈直徑8 m，凍結(jié)深度為565 m。計(jì)算深度取500 m，初始水平地壓為6 MPa，凍結(jié)壁平均溫度為-18 ℃,凍結(jié)壁厚11.8 m，外層井壁內(nèi)半徑r0為5.1 m，外半徑r1為6.2 m。E0=65 MPa,外圍未凍土體的泊松比μ0=0.3,外層井壁的泊松比μ3=0.3，凍結(jié)壁的泊松比μ=0.3。利用不同溫度條件下獲得的凍土蠕變試驗(yàn)曲線可擬合出黏彈性模型中各參數(shù)，如表1所示。井壁彈性模量E3按圖5所示曲線取值。

表1 廣義開爾文模型參數(shù)

圖5混凝土彈性模量的實(shí)測曲線

Fig.5Curveofmeasuredelasticmodulusofconcrete

泡沫板厚度δ取75 mm，將表1中廣義開爾文模型的參數(shù)代入式(21)，得到不同時刻的凍結(jié)壓力Pt的計(jì)算結(jié)果，如表2所示。圖6為所推得的凍結(jié)壓力公式在不同泡沫板厚度下求得的解析解與實(shí)測數(shù)據(jù)的對比結(jié)果。

由表2和圖6可見:泡沫板可以吸收瞬時彈性變形釋放的能量，凍結(jié)壓力隨著其厚度的增加而減小。理論公式所計(jì)算出的凍結(jié)壓力值與實(shí)測值，前10 d相差較大，兩者差值的絕對值約0.5 MPa；在外層井壁砌筑20 d后，凍結(jié)壓力趨于穩(wěn)定，兩者差值的絕對值在0.2 MPa以內(nèi)?？傊ㄟ^本文推導(dǎo)的理論公式所計(jì)算出的凍結(jié)壓力值與實(shí)測值之間的偏差絕對值在10%以內(nèi)。所以基于廣義開爾文模型推導(dǎo)的凍結(jié)壓力理論公式是比較符合外層井壁作用力的實(shí)際增長規(guī)律的，此公式可為凍結(jié)井的外層井壁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供重要依據(jù)。

表2 凍結(jié)壓力的理論結(jié)果與實(shí)際監(jiān)測結(jié)果比較

圖6凍結(jié)壓力對照值

Fig.6Comparisonoffreezingpressures

5 結(jié) 論

(1)由凍土蠕變試驗(yàn)可知，廣義開爾文流變模型可以表征凍土的穩(wěn)定蠕變階段，并通過對凍結(jié)壁與外層井壁以及外圍未凍土體共同作用機(jī)理分析，利用彈性-黏彈性對應(yīng)原理，求得凍結(jié)壁位移場的黏彈性解，導(dǎo)出作用于外層井壁上的凍結(jié)壓力表達(dá)式。

(2)計(jì)算結(jié)果表明，泡沫板可以吸收瞬時彈性變形釋放的能量，凍結(jié)壓力隨著其厚度的增加而減小。前10 d，凍結(jié)壓力的理論公式計(jì)算值與實(shí)測結(jié)果平均值相差較大，約0.5 MPa；在外層井壁砌筑20 d后，凍結(jié)壓力趨于穩(wěn)定，兩者差值的絕對值在0.2 MPa以內(nèi)。通過本文推導(dǎo)的理論公式所計(jì)算出的凍結(jié)壓力值與實(shí)測值之間的偏差絕對值在10%以內(nèi)。因此,基于廣義開爾文模型推導(dǎo)的凍結(jié)壓力理論公式是比較符合外層井壁作用力的實(shí)際增長規(guī)律的，此公式可為凍結(jié)井的外層井壁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供重要依據(jù)。

[1] CHAMBERLAIN E J,GROVES C, PERHAM R.The Mechanical Behaviour of Frozen Earth Materials under High Pressure Triaxial Test Conditions[J].Geotechnique,1972,22 (3)：469-483.

[2] WANG D Y, MA W, WEN Z,etal. Study on Strength of Artificially Frozen Soils in Deep Alluvium[J]. Tunnelling and Underground Space Technology,2008,23(4): 381-388.

[3] 姜國靜,王建平,劉曉敏.超厚黏土層凍結(jié)壓力實(shí)測研究[J].煤炭科學(xué)技術(shù),2013,41(3):43-46.

[4] WANG P, ZHOU G. Frost-heaving Pressure in Geotechnical Engineering Materials During Freezing Process[J]. International Journal of Mining Science amp; Technology, 2017. doi: 10.1016/j.ijmst.2017.06.003.

[5] 張 馳,楊維好,楊志江,等.深厚含水基巖區(qū)立井外壁凍結(jié)壓力的實(shí)測與分析[J].煤炭學(xué)報(bào),2012,37(1):33-38.

[6] 盛天寶.特厚黏土層凍結(jié)壓力研究與應(yīng)用[J].煤炭學(xué)報(bào),2010,35(4): 571-574.

[7] 王衍森,薛利兵,程建平,等.特厚沖積層豎井井壁凍結(jié)壓力的實(shí)測與分析[J].巖土工程學(xué)報(bào),2009,31(2): 207-212.

[8] 姚兆明,張秋瑾,牛連僧.基于蟻群算法的凍結(jié)重塑黏土分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)西原模型分析[J].長江科學(xué)院院報(bào),2016,33 (7): 81-86.

[9] 榮傳新,王秀喜,程 樺.深厚沖積層凍結(jié)壁和井壁共同作用機(jī)理研究[J].工程力學(xué),2009,26(3):235-239.

[10] NOVIKOV F Y. Pressure of Thawing Soils on the Concrete Lining of Vertical Mine Shafts[J]. Engineering Geology,1979,13(4): 277-286.

[11] 楊俊杰.深厚粘土層凍結(jié)井外壁設(shè)計(jì)的一種新方法[J].煤礦設(shè)計(jì),1997,44(7): 3-6.

[12] 楊俊杰.考慮地層抗力時的外層井壁內(nèi)力計(jì)算[J].煤炭工程,2002,49(2): 53-55.

[13] AULD F A. Design and Installation of Deep Shaft Linings in Ground Temporarily Stabilized by Freezing [C]∥ISSMFE.Proceedings of the Fifth International Symposium on Ground. Nottingham, July 26-27, 1988: 255-272.

[14] SUGIHARA K, YOSHIOKA H, MATSUI H,etal. Preliminary Results of a Study on the Responses of Sedimentary Rocks to Shaft Excavation [J]. Engineering Geology, 1993, 35(3/4): 223-228.

[15] 王衍森,文 凱.深厚表土中凍結(jié)壁與井壁相互作用的數(shù)值分析[J].巖土工程學(xué)報(bào),2014,36(6):1142-1146.

[16] 胡向東.卸載狀態(tài)下凍結(jié)壁外載的確定[J].同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào),2002,30(1): 6-10.

[17] 胡向東.卸載狀態(tài)下與周圍土體共同作用的凍結(jié)壁力學(xué)模型[J].煤炭學(xué)報(bào),2001,26(5): 507-511.

(編輯：羅 娟)

Analytical Solution of Freezing Pressure under the Interaction of Freezing Wall and Shaft Lining Based on Generalized Kelvin Model

PENG Shi-long1, RONG Chuan-xin1, CHENG Hua1,2

(1.School of Civil Engineering and Architecture, Anhui University of Science and Technology,Huainan 232001, China;2. School of Resources and Environmental Engineering,Anhui University, Hefei 230601, China)

Freezing pressure is an important basis for the design and calculation of the outer wall structure of shaft sinking by freezing method in deep alluvium. On the basis of uniaxial creep test of frozen soil, the generalized Kelvin rheological model and the elastic-viscoelastic correspondence principle were adopted to establish the viscoelastic equation of displacement field of frozen wall. Then, the mathematical expression of the freezing pressure acting on the outer shaft lining is deduced by considering the interaction among the frozen wall, the outer shaft lining and the peripheral unfrozen soil. Calculation results show that 1) the calculation value by theoretical formula and from mean measured value of the freezing pressure show a big difference(about 0.5 MPa) in the first ten days after the construction of outer shaft lining masonry; 2) the freezing pressure tends to be stable after 20 days, and the absolute value of the difference between the two is less than 0.2 MPa. In a word, the absolute deviation between the theoretical and calculated values of freezing pressure is less than 10%. The theoretical calculation formula of freezing pressure is quite practical and it could provide basis for the structural design of outer shaft lining of freezing well.

freezing pressure; generalized Kelvin rheological model; freezing sinking method; frozen wall; outer shaft lining

10.11988/ckyyb.20160731 2017,34(11):84-88,95

2016-07-18；

2016-09-01

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51374010，51474004)

彭世龍(1991-)，男，安徽六安人，博士研究生，主要從事巖土工程結(jié)構(gòu)方面的研究，(電話)15856692871(電子信箱)974860806@qq.com。

榮傳新(1968-)，男，安徽六安人，教授，博士生導(dǎo)師，博士，主要從事巖土工程和結(jié)構(gòu)工程方面的教學(xué)與科研工作，(電話)0554-6633833(電子信箱)chxrong@aust.edu.cn。

TU445；TD265.3

A

1001-5485(2017)11-0084-05