雙對(duì)數(shù)利率期限結(jié)構(gòu)模型及其實(shí)證研究

張清潔

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 金融學(xué)院，安徽 蚌埠 233030)

雙對(duì)數(shù)利率期限結(jié)構(gòu)模型及其實(shí)證研究

張清潔

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 金融學(xué)院，安徽 蚌埠 233030)

近年來(lái)，隨著中國(guó)利率市場(chǎng)化的快速發(fā)展，利率研究的現(xiàn)實(shí)意義變得越來(lái)越重要。利率期限結(jié)構(gòu)模型的研究對(duì)于利率的確定和應(yīng)用具有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義。首先利用短期利率對(duì)雙對(duì)數(shù)利率期限結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，然后選取5只在上海證券交易所交易的國(guó)債，并用馬爾可夫鏈蒙特卡洛法對(duì)選取的國(guó)債進(jìn)行價(jià)格模擬，分析真實(shí)價(jià)格與模擬價(jià)格的誤差率。

雙對(duì)數(shù)利率期限結(jié)構(gòu)模型；債券定價(jià)；馬爾科夫鏈蒙特卡羅法

利率作為資金的價(jià)格，反映了資金的供給和需求，并受到一系列宏觀因素的影響，如價(jià)格水平和經(jīng)濟(jì)周期等。短期無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率作為金融市場(chǎng)上一個(gè)非常重要的經(jīng)濟(jì)變量，它與人們的社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)有著密切的聯(lián)系。莫頓(Merton) 最先把隨機(jī)過程引入到利率的期限結(jié)構(gòu)模型中。由于莫頓模型的漂移函數(shù)是常數(shù)，因此很難描述利率均值回歸的特點(diǎn)，同時(shí)該模型并不能排除利率為負(fù)值的可能性[1]。近年來(lái)，隨著中國(guó)貨幣市場(chǎng)的快速發(fā)展，對(duì)中國(guó)利率期限結(jié)構(gòu)模型的實(shí)證分析顯著增加。呂兆友(2004)分別采用廣義矩估計(jì)方法、極大似然估計(jì)方法和有效矩估計(jì)方法對(duì)CKLS模型進(jìn)行了參數(shù)估計(jì)，并對(duì)嵌套模型進(jìn)行了比較分析[2]。劉金全(2006)引入?yún)^(qū)制轉(zhuǎn)換對(duì)利率期限結(jié)構(gòu)的非線性特征進(jìn)行實(shí)證研究。得出該模型優(yōu)于原模型的結(jié)論[3]。范龍振(2004)研究了多因子瓦西塞克模型，發(fā)現(xiàn)多因子利率期限結(jié)構(gòu)模型能提高收益曲線的擬合精度[4]。高馳(2006)采用濾波法和極大似然估計(jì)法研究了三因子利率期限結(jié)構(gòu)模型[5]。張蕊(2009)在利率期限結(jié)構(gòu)模型中引入了四因子，并對(duì)其流動(dòng)性溢酬進(jìn)行了實(shí)證分析[6]。李雪(2015)利用Vasicek模型對(duì)我國(guó)同業(yè)拆借市場(chǎng)進(jìn)行靜態(tài)研究，得出市場(chǎng)利率波動(dòng)性較為平穩(wěn)的結(jié)論[7]。趙晶,張洋,丁志國(guó)(2015)通過采用六個(gè)利率期限結(jié)構(gòu)模型,分別基于2008年7月至2014年3月中國(guó)和美國(guó)市場(chǎng)的月度國(guó)債收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合與預(yù)測(cè),并采用均方誤差(RMSE)和平均絕對(duì)誤差(MAE)對(duì)實(shí)證效果進(jìn)行判別[8]。黃德權(quán)(2016)采用上海證券交易所日國(guó)債數(shù)據(jù),選擇Nelson-Siegel模型對(duì)收益率曲線進(jìn)行擬合[9]。魯波(2016)采用HMM模型和NS模型對(duì)中國(guó)銀行間國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行了實(shí)證研究[10]。沈根祥,陳映洲(2015)對(duì)動(dòng)態(tài)Nelson-Siegel模型進(jìn)行擴(kuò)展,引入第二個(gè)斜率因子[11]。

1 雙對(duì)數(shù)利率期限結(jié)構(gòu)模型的提出及其參數(shù)估計(jì)

單因子利率模型中的瞬時(shí)利率過程一般形式為：

drt=μ(rt)dt+σ(rt)dWt

式中，σ(rt)dWt為利率期限結(jié)構(gòu)的擴(kuò)散函數(shù)，μ(rt)dt為利率期限結(jié)構(gòu)的漂移函數(shù)，瞬時(shí)利率會(huì)隨著這兩個(gè)函數(shù)的變動(dòng)而變動(dòng)，其中Wt為隨機(jī)利率波動(dòng)項(xiàng)。從瞬時(shí)利率的公式可以看出，對(duì)其有影響的因素都是當(dāng)前的數(shù)據(jù)，和影響因素的歷史數(shù)據(jù)沒有關(guān)系。由此可見，單因子利率期限結(jié)構(gòu)中的瞬時(shí)利率具有馬爾科夫性。

通過對(duì)國(guó)內(nèi)外學(xué)者的研究進(jìn)行梳理和總結(jié)之后發(fā)現(xiàn)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者普遍認(rèn)為單因子利率期限結(jié)構(gòu)模型的漂移函數(shù)應(yīng)該表現(xiàn)為非線性的特征，因此本文提出了一種漂移函數(shù)和擴(kuò)散函數(shù)都包含對(duì)數(shù)的利率期限結(jié)構(gòu)模型：

dr=(a0+a1lnr)dt+σlnrdw

因?yàn)樵诂F(xiàn)實(shí)生活中利率一般不會(huì)為負(fù)值，所以以往的利率期限結(jié)構(gòu)并沒有克服這個(gè)缺點(diǎn)。本文提出的雙對(duì)數(shù)利率期限結(jié)構(gòu)模型能很好地克服這一缺陷，保證了利率的取值為正。

1.1數(shù)據(jù)選取

在國(guó)內(nèi)的貨幣市場(chǎng)利率中，相對(duì)于其他利率來(lái)講，銀行間國(guó)債市場(chǎng)的7天回購(gòu)利率R007對(duì)瞬時(shí)利率rt的替代度比較高。潘冠中(2004)使用IBO 007是同業(yè)拆借市場(chǎng)的最佳利率選擇，但是相對(duì)于銀行間債券，選擇R007作為估計(jì)數(shù)據(jù)是較好的選擇。

本文選擇2006年1月4日至2014年12月31日上海證券交易所債券市場(chǎng)的R007為數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。為了對(duì)單因子利率期限結(jié)構(gòu)模型的漂移函數(shù)的非線性進(jìn)行檢驗(yàn)，本文通過分析R007及其一階差分的散點(diǎn)圖進(jìn)行驗(yàn)證。首先對(duì)R007序列求一階差分DR007，并繪制出R007與DR007的散點(diǎn)圖。圖1的橫坐標(biāo)代表R007，縱坐標(biāo)代表DR007，由該散點(diǎn)圖不僅可以看出R007與DR007呈現(xiàn)出明顯的非線性特征，而且還可以看出，R007與DR007之間表現(xiàn)出了異方差的特性，即DR007隨著R007由小到大的變化表現(xiàn)出由集中到分散的特點(diǎn)。因此，由圖1可以初步判斷漂移項(xiàng)是短期利率水平的非線性函數(shù)。

圖1 2006.1.4—2014.12.31一階差分DR007—利率R007散點(diǎn)圖

1.2數(shù)據(jù)的描述統(tǒng)計(jì)

對(duì)本文使用的2006年1月4日至2014年12月31日的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)分析，得出其走勢(shì)圖如圖2所示。

圖2 2006.1.4—2014.12.31的R007 走勢(shì)圖

本文在表1中對(duì)R007的一些比較重要的描述性統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了匯總。對(duì)表1中的結(jié)果進(jìn)行分析可以得出， R007序列具有非正態(tài)性。

表1 2006.1.4—2014.12.31 R007的統(tǒng)計(jì)特征

1.3數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性分析

對(duì)樣本期內(nèi)R007進(jìn)行ADF檢驗(yàn)，得出銀行間七天回購(gòu)利率的T值為-7.177053，在一定的顯著性水平下，銀行間七天回購(gòu)利率的T值小于臨界點(diǎn)，拒絕了原假定，即R007利率時(shí)間序列沒有單位根，所以R007利率時(shí)間數(shù)列是平穩(wěn)序列。因此，R007具有均值回復(fù)性，可以代表短期瞬時(shí)利率對(duì)利率期限結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行實(shí)證檢驗(yàn)。

1.4參數(shù)估計(jì)

因?yàn)殡p對(duì)數(shù)利率期限結(jié)構(gòu)模型是一種連續(xù)微分方程，而本文的R007數(shù)據(jù)是離散的交易數(shù)據(jù)。因此，為了估計(jì)雙對(duì)數(shù)利率模型的參數(shù)，必須先對(duì)該模型實(shí)施離散化。所以，利率期限結(jié)構(gòu)模型的離散化是參數(shù)估計(jì)的關(guān)鍵，本文采用Euler離散法進(jìn)行離散化處理。

由于本文提出的雙對(duì)數(shù)利率期限結(jié)構(gòu)模型無(wú)法求解黎卡提微分方程，使用馬爾科夫鏈蒙特卡洛法對(duì)雙對(duì)數(shù)利率期限結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，應(yīng)該先對(duì)待估參數(shù)設(shè)置先驗(yàn)分布，本文設(shè)置的待估參數(shù)的先驗(yàn)分布為：a0～N(0，0.01)，a1～N(0，0.01)，a2～N(0，0.01)，itau～Gamma(2.5，0.025)，其中itau=1/σ2。

(1) 參數(shù)的估計(jì)結(jié)果

本文使用馬爾科夫鏈蒙特卡洛估計(jì)法對(duì)雙對(duì)數(shù)利率期限結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，使用的估計(jì)軟件是OPENBUGS。為了克服由于初始值設(shè)定的影響，需要進(jìn)行“退火”處理 ?！巴嘶稹碧幚砗?，只引用最后30001次迭代的結(jié)果，我們可以得到a0、a1和itau的參數(shù)估計(jì)。

表2 利用R007估計(jì)的MCMC結(jié)果

(2)收斂性檢驗(yàn)

只有在馬爾可夫鏈蒙特卡洛估計(jì)法得出的參數(shù)估計(jì)結(jié)果收斂時(shí)，才能說明估計(jì)結(jié)果是可用的。因此，有必要對(duì)參數(shù)進(jìn)行收斂性檢驗(yàn)。本文可以通過觀測(cè)核密度圖的光滑度來(lái)判斷該模型參數(shù)的斂散性，雙對(duì)數(shù)利率期限結(jié)構(gòu)模型的核密度如圖3所示。

圖3 a0、a1和itau的核密度圖

從3個(gè)參數(shù)的核密度模擬結(jié)果可以看出，除了一些不規(guī)則的部分，核密度曲線的整體還是相對(duì)光滑的，這說明利用馬爾可夫鏈蒙特卡洛法估計(jì)出的參數(shù)都是收斂的。各參數(shù)的迭代軌跡如圖4所示。

圖4 利用R007估計(jì)的雙對(duì)數(shù)利率期限結(jié)構(gòu)模型參數(shù)的迭代路徑

由圖4可以看出，在進(jìn)行“退火”處理之后的估計(jì)結(jié)果的迭代路徑的變動(dòng)比較穩(wěn)定 ，因此，本文認(rèn)為利用R007對(duì)雙對(duì)數(shù)利率期限結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行的參數(shù)估計(jì)有效收斂。

2 國(guó)債定價(jià)

只有將利率期限結(jié)構(gòu)模型真正地應(yīng)用在現(xiàn)實(shí)的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中才能真正體現(xiàn)它的研究?jī)r(jià)值。而現(xiàn)實(shí)生活中利率期限結(jié)構(gòu)模型的一個(gè)重要用途就是國(guó)債定價(jià)。

2.1蒙特卡羅模擬定價(jià)原理

國(guó)債的定價(jià)法有很多種，不同國(guó)債定價(jià)法的原理不一樣，使用最廣泛的方法是先對(duì)利率模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，在得出利率期限結(jié)構(gòu)模型就可以得出債券的價(jià)格。該方法需要用到風(fēng)險(xiǎn)的市場(chǎng)價(jià)格，而且粉線的市場(chǎng)價(jià)格主要通過認(rèn)為的預(yù)先設(shè)定，因此，市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格的設(shè)定就存在很大的主觀性。為了減少市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格等主觀因素的影響，本文采用了蒙特卡羅模擬方法對(duì)國(guó)債進(jìn)行模擬定價(jià)。

蒙特卡羅模擬定價(jià)法分為四個(gè)步驟。

第一、利用估計(jì)出的雙對(duì)數(shù)利率期限結(jié)構(gòu)模型，對(duì)利率路徑進(jìn)行模擬。

第三、由公式D(t)=E[Dj(t)]得出折現(xiàn)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望。

2.2國(guó)債定價(jià)

本文選取了上海證券交易所2014年12月31日買賣的5只債券進(jìn)行價(jià)格模擬。由前面的模型參數(shù)估計(jì)得到的利率期限模型為：

首先利用MATLAB軟件求出每個(gè)債券各期的折現(xiàn)系數(shù)，然后根據(jù)得出的各期貼現(xiàn)系數(shù)和各期現(xiàn)金流量就可以得出國(guó)債的價(jià)格。定價(jià)結(jié)果如表3所示。

表3 模擬出的國(guó)債價(jià)格

由表3可以看出，利用雙對(duì)數(shù)利率期限結(jié)構(gòu)模型對(duì)國(guó)債進(jìn)行價(jià)格模擬的模擬結(jié)果與其真實(shí)價(jià)格的差異還是比較小的，說明雙對(duì)數(shù)利率期限結(jié)構(gòu)模型對(duì)國(guó)債價(jià)格的模擬還是比較理想的。從表3模型的定價(jià)結(jié)果我們還可以看出，剩余交易期限短的債券模擬出的價(jià)格誤差相對(duì)于剩余交易期限長(zhǎng)的債券模擬出的價(jià)格差較小。本文認(rèn)為得出以上結(jié)果的原因主要有: (1)我國(guó)國(guó)債市場(chǎng)處于分割的狀態(tài)。 (2)模型設(shè)定的偏誤。

2.3誤差修正模型

由以上部分的研究分析可以看出，雙對(duì)數(shù)利率期限結(jié)構(gòu)模型的國(guó)債定價(jià)效果并不理想，因此，為了讓該模型的定價(jià)更加精確，本文將對(duì)其進(jìn)行誤差修正。以誤差EP為縱坐標(biāo)，剩余交易期限T

為橫坐標(biāo)，如圖5所示。

圖5 定價(jià)誤差與剩余期限的散點(diǎn)圖

由圖5可以看出，誤差修正函數(shù)應(yīng)該具有二次函數(shù)的特征，所以，把誤差修正模型設(shè)定為：

EP=α+βT+γT2+ε

利用OLS對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，結(jié)果如表4所示。

表4 誤差系數(shù)估計(jì)結(jié)果

因此，得到的誤差修正函數(shù)為：

EP=-7.07+0.0147T-(3.4E-06)T2+ε

由誤差修正模型對(duì)國(guó)債定價(jià)進(jìn)行誤差修正，結(jié)果如表5所示。

表5 模擬的國(guó)債價(jià)格

將修正后的定價(jià)結(jié)果和修正前的定價(jià)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，修正后的定價(jià)結(jié)果與實(shí)際價(jià)格非常接近，說明修正后的國(guó)債定價(jià)效果有了非常顯著的提高。綜合來(lái)說，誤差修正模型對(duì)國(guó)債定價(jià)準(zhǔn)確性的提高有著顯著意義。

3 結(jié)論

本文首先利用銀行間七天回購(gòu)利率(R007)序列及其差分序列繪制出散點(diǎn)圖，得出漂移項(xiàng)是短期利率水平的非線性函數(shù)的結(jié)論，進(jìn)而引入一種漂移函數(shù)及擴(kuò)散函數(shù)均包含利率對(duì)數(shù)的雙對(duì)數(shù)利率期限結(jié)構(gòu)模型。然后選取銀行間債券七天回購(gòu)利率，利用馬爾科夫鏈蒙特卡羅估計(jì)方法(MCMC)對(duì)雙對(duì)數(shù)利率期限結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，并對(duì)估計(jì)所得到的結(jié)果進(jìn)行分析。最后利用馬爾可夫鏈蒙特卡洛國(guó)債定價(jià)法對(duì)上海證券交易所的5只國(guó)債進(jìn)行模擬定價(jià)。本文的結(jié)論如下。

(1)單因子利率模型的漂移項(xiàng)是一個(gè)非線性的函數(shù)。

(2)中國(guó)的銀行間債券回購(gòu)市場(chǎng)的利率存在均值回歸的現(xiàn)象。

(3)利用馬爾可夫鏈蒙特卡洛法對(duì)國(guó)債定價(jià)的結(jié)果表明，雙對(duì)數(shù)利率期限結(jié)構(gòu)模型能夠較好地估計(jì)出債券的價(jià)格。且剩余交易期限短的債券模擬出的價(jià)格誤差相對(duì)于剩余交易期限長(zhǎng)的債券模擬出的價(jià)格差較小。

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ClassNo.:F832.1DocumentMark：A

(責(zé)任編輯：蔡雪嵐)

EmpiricalStudyofDoubleLogarithmicTermStructureModel

Zhang Qingjie

(School of Finance, Anhui University of Financeamp; Economics, Bengbu, Anhui 233030,China)

In recent years, with the rapid development of China's interest rate market, the practical significance of interest rate research becomes more and more important. The research on term structure model of interest rate is very important for the determination and application of interest rate. This paper first use short-term interest rates as parameters of the double logarithmic model of interest rate term structure estimation, then select 5 in the Shanghai stock exchange bonds, and selection of the Treasury bond price simulation with Monte Carlo method, compared with its real price. In this paper the double logarithmic model of interest rate term structure is more reasonable and accurate to estimate the term structure of interest rate of bond market in our country, and then improve the validity of interest rate risk management, the accuracy of financial product pricing and macroeconomic forecast.

double logarithmic term structure model; bond pricing; Markov Monte Carlo

張清潔，碩士，安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)。

2096-3874(2017)11-0091-06

F832.1

A