基于分數(shù)階傅里葉變換的LFM信號參數(shù)估計

渠瑩+楊俊

摘 要：線性調(diào)頻信號作為一種典型的非平穩(wěn)信號，具有大時寬帶寬積的特殊優(yōu)勢，廣泛應(yīng)用于雷達、通信、地質(zhì)探測和聲吶信號處理等研究領(lǐng)域。因此，研究線性調(diào)頻信號具有十分重要的意義。分數(shù)階傅里葉變換實質(zhì)上是一種線性變換，它不僅可以理解為chirp基分解，還沒有交叉干擾的問題。所以，分數(shù)階傅里葉變換特別適合用來處理chirp類信號。文中基于分數(shù)階傅里葉變換，研究了線性調(diào)頻信號的檢測和參數(shù)估計算法。首先利用Matlab對線性調(diào)頻信號進行仿真，并分析了其時域波形特性；然后在不同信噪比的背景下，對單分量和多分量的線性調(diào)頻信號進行了參數(shù)估計。仿真結(jié)果表明：在噪聲環(huán)境中，分數(shù)階傅里葉變換能夠檢測出線性調(diào)頻信號的相關(guān)參數(shù)，設(shè)計的線性調(diào)頻信號參數(shù)檢測估計仿真軟件具有較好的交互性能。

關(guān)鍵詞：線性調(diào)頻信號；分數(shù)階傅里葉變換；信號檢測；參數(shù)估計

中圖分類號：TP39；TN953 文獻標識碼：A 文章編號：2095-1302（2017）11-00-03

0 引 言

線性調(diào)頻（chirp）信號作為最常見的調(diào)頻信號，具有大時寬帶寬積的優(yōu)勢，廣泛應(yīng)用于雷達信號處理、醫(yī)學(xué)成像處理、地質(zhì)探測、聲納信號處理等領(lǐng)域，因此，該信號的檢測與估計具有重要意義[1，2]。Wigner-Ville分布方法在對線性調(diào)頻信號進行檢測時，會有交叉項干擾[2，3]；短時傅里葉變換對線性調(diào)頻信號檢測時，雖然具有較快的速度，但估計精度有待進一步提高[4]；小波變換能夠較好地完成線性調(diào)頻信號的時頻分析，但實時性能較差[5]。

本文實現(xiàn)了基于分數(shù)階傅里葉變換的線性調(diào)頻信號檢測與估計。仿真結(jié)果驗證了算法的有效性和可靠性。

1 分數(shù)階傅里葉變換的線性積分定義

定義在時間域的函數(shù) x（t），其p階分數(shù)階傅里葉變換（FRFT）[6，7]是一種線性積分運算，表示如下：

公式（2）給出了FRFT的線性積分定義，但其不具備移不變性。因為核函數(shù)Kp（u，t）與時間t和階次p都有關(guān)系。這里我們分析特殊階次的FRFT：

（1）當p=4n，即α=2nπ時，函數(shù)x（t）的FRFT等于函數(shù)本身，即F4n為恒等算子I。

（2）當p=4n±2，即α=（2n±1）π時，函數(shù)x（t）的FRFT等于x（-t），即F4n±2為奇偶算子P。

（3）當p=1，即α=π/2時，函數(shù)x（t）的FRFT等于函數(shù)的FT，即F1退變?yōu)镕T算子F。

（4）當p=-1，即α=-（π/2）時，函數(shù)x（t）的FRFT等于函數(shù)的傅里葉逆變換F-1。

從情況（3）可知，X1（u）就是x（t）的普通傅里葉變換。同理，我們從上面可以得到函數(shù)x（t）的傅里葉逆變換，即X-1（u）。

2 基于分數(shù)階傅里葉變換的線性調(diào)頻信號檢測

在分數(shù)階傅里葉域的線性調(diào)頻信號有一個優(yōu)點，即線性調(diào)頻信號的能量聚集性會隨著階數(shù)的不同而改變。根據(jù)該特點，就可對含有未知參數(shù)的線性調(diào)頻信號進行檢測。把旋轉(zhuǎn)角α當作檢測時所用的變量，然后再對觀測信號作分數(shù)階傅里葉變換，把線性調(diào)頻信號的能量分布在二維平面（α，u）上，最后按照事先設(shè)置好的閾值對信號峰值點的位置進行檢測，即可實現(xiàn)線性調(diào)頻信號的檢測和參數(shù)估計。

線性調(diào)頻信號的頻率會隨著時間的不斷變化而變化，且兩者間是線性關(guān)系?？梢酝ㄟ^數(shù)學(xué)表達式給基本的線性調(diào)頻信號建立如下模型：

其中，A，φ0，f0和μ分別表示線性調(diào)頻信號的幅度，初始相位，起始頻率和調(diào)頻斜率，T表示線性調(diào)頻信號的持續(xù)時間。

在本模型中，線性調(diào)頻信號的持續(xù)時間和觀測時間都為[0，T]。這里假設(shè)線性調(diào)頻信號的終止頻率為fm，那么線性調(diào)頻信號的調(diào)頻斜率可以表示為μ=（fm-f0）/T。

將含有噪聲的單分量線性調(diào)頻信號表示為如下模型：

把旋轉(zhuǎn)角α當作檢測的變量時，分數(shù)階傅里葉變換 （FRFT）可以在FFT的幫助下大大減小計算量。在處理多分量線性調(diào)頻信號時，分數(shù)階傅里葉變換和WVD變換相比，能夠避免后者復(fù)雜的變換過程，且分數(shù)階傅里葉變換作為一種線性變換，還可以排除交叉項的干擾。此外，分數(shù)階傅里葉變換在對線性調(diào)頻信號參數(shù)進行估計時，可以保留線性調(diào)頻信號的相位信息。

3 算法仿真結(jié)果與分析

3.1 線性調(diào)頻信號參數(shù)估計

設(shè)置線性調(diào)頻信號的幅度為1，起始頻率為20 Hz，采樣頻率為800 Hz，終止頻率為100 Hz。線性調(diào)頻信號的持續(xù)時間為2 s，那么信號的觀測時間為[0 s， 2 s]。設(shè)置好這些參數(shù)后，單分量的線性調(diào)頻信號仿真波形如圖1所示。

還可以利用Matlab產(chǎn)生一個多分量的線性調(diào)頻信號，信號1的幅度為1，起始頻率為20 Hz，采樣率為800 Hz，終止頻率為100 Hz；信號2的幅度為1，起始頻率為20 Hz，采樣率為800 Hz，終止頻率為200 Hz；信號3的幅度為1，起始頻率為20 Hz，采樣率為800 Hz，終止頻率為400 Hz。它們的觀測時間都設(shè)置為2 s。多分量線性調(diào)頻信號的綜合仿真波形如圖2所示，參數(shù)估計結(jié)果如圖3所示。從圖中可以清楚地知道線性調(diào)頻信號調(diào)頻斜率的真實值（設(shè)計線性調(diào)頻信號時所給出的調(diào)頻斜率）和測量值以及它們之間的誤差。

3.2 多分量信號的時頻估計

多分量的線性調(diào)頻信號為 X2（t），信號1的幅度為1，采樣率為800 Hz，起始頻率和終止頻率分別為20 Hz、100 Hz，線性調(diào)頻信號的觀測時間為2 s；信號2的幅度為1，采樣率為800 Hz，起始頻率和終止頻率分別為20 Hz、200 Hz，線性調(diào)頻信號的觀測時間為2 s；信號3的幅度為1，起始頻率為20 Hz，采樣率為800 Hz，終止頻率為400 Hz，線性調(diào)頻信號的觀測時間為2 s。不含有噪聲的多分量線性調(diào)頻信號的仿真波形如圖4所示，含有噪聲的多分量線性調(diào)頻信號的仿真波形如圖5所示。endprint

從仿真結(jié)果可以看出，疊加在一起的多分量線性調(diào)頻信號在不含噪聲和含有噪聲（6 dB）的情況下，信號變換雜亂無章，幅度不在[-1，1]區(qū)間。單從時域已經(jīng)看不出信號的變化規(guī)律，因此我們需要借助時頻分析來進一步分析。

多分量線性調(diào)頻信號設(shè)置如下：

信號1的幅度為1，起始頻率1 kHz，采樣率為40 kHz，終止頻率為10 kHz，線性調(diào)頻信號的觀測時間為0.2 s；

信號2的幅度為1，起始頻率1 kHz，采樣率為40 kHz， 終止頻率為2 kHz，線性調(diào)頻信號的觀測時間為0.2 s；

信號3的幅度為1，起始頻率1 kHz，采樣率為40 kHz，終止頻率為20 kHz，線性調(diào)頻信號的觀測時間為0.2 s。

在不含噪聲和含有噪聲（3 dB）的情況下，線性調(diào)頻信號的時頻分析仿真結(jié)果如圖6與圖7所示。

從仿真結(jié)果可以看出，在沒有噪聲的環(huán)境中，多分量線性調(diào)頻信號的短時傅里葉變換在時頻平面上為三條具有不同斜率的直線，而且它沒有受到噪聲的污染，能量比較集中；在信噪比為3 dB的環(huán)境中，線性調(diào)頻信號在時頻平面上也為三條具有不同斜率的直線，能夠較為清晰地檢測到信號。

4 結(jié) 語

本文實現(xiàn)了基于分數(shù)階傅里葉變換的線性調(diào)頻信號檢測，仿真結(jié)果表明，即使在噪聲環(huán)境中，本文方法仍然可以對線性調(diào)頻信號進行有效的檢測與估計。

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