一類(lèi)四階拋物方程的一個(gè)低階混合元的超收斂分析

楊曉俠++程會(huì)鋒

摘 要：對(duì)一類(lèi)四階拋物方程利用雙線(xiàn)性元給出了一個(gè)低階混合元半離散格式?；陔p線(xiàn)性元的高精度結(jié)果，利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)移技巧和插值后處理技術(shù)，在半離散格式下得到了原始變量在H1-模意義下和中間變量在-模意義下的階的超收斂結(jié)果。

關(guān)鍵詞：四階拋物方程 混合元方法 雙線(xiàn)性元 半離散格式 超收斂

中圖分類(lèi)號(hào)：O242.21 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2017）10（a）-0198-02

考慮如下四階拋物方程的初邊值問(wèn)題[4]。

（1）

其中是矩形區(qū)域，為的邊為單位外法向量，和是已知的光滑函數(shù)。

四階拋物問(wèn)題有著廣泛的應(yīng)用，它可以用于人口問(wèn)題中的彌散和增長(zhǎng)及描述梁的靜態(tài)運(yùn)動(dòng)或剛體運(yùn)動(dòng)等。由于與Galerkin方法相比，混合有限元方法具有對(duì)空間要求光滑度較低，并能同時(shí)得到原始變量和中間變量的誤差估計(jì)等優(yōu)勢(shì)，應(yīng)用混合有限元方法來(lái)研究四階拋物問(wèn)題受到了廣泛關(guān)注[2-4]。但我們注意到上述文獻(xiàn)討論的都是邊界為“”的四階拋物方程，而對(duì)于邊界為“”的四階拋物方程基于雙線(xiàn)性元進(jìn)行的混合有限元分析， 似乎還未見(jiàn)報(bào)道。

本文首先針對(duì)問(wèn)題（1），通過(guò)引入中間變量，將四階問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二階方程方程組成的方程組；其次，建立了該方程組的混合有限元半離散格式，同時(shí)結(jié)合雙線(xiàn)性元的高精度結(jié)果，采用關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)移技巧和插值后處理技術(shù)，得到了原始變量在H1模意義下和中間變量在模意義下的階超收斂性質(zhì)。

1 單元構(gòu)造及性質(zhì)

設(shè)是Ω的一個(gè)矩形單元剖分組，滿(mǎn)足正則性假設(shè)。

，記它的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，

其平行于軸的邊長(zhǎng)分別是。

雙線(xiàn)性元空間為其中。對(duì)于，設(shè)為由上誘導(dǎo)的插值算子，滿(mǎn)足，及。

文獻(xiàn)[5]利用積分恒等式技巧已證明了如下結(jié)論。

引理1：若，則 。 （2）

2 半全離散格式及其超收斂分析

令，則問(wèn)題（1）等價(jià)于

（3）

問(wèn)題（2）對(duì)應(yīng)的變分問(wèn)題為：求，使得

（4）

我們定義問(wèn)題（4）的半離散逼近格式為：求，使得

（5）

類(lèi)似于文獻(xiàn)[4]，可以證明問(wèn)題（5）存在唯一解。

定理1設(shè)分別為（4）和（5）的解，當(dāng)

時(shí)，則有

其中，。

證明：令

。

根據(jù)（4）和（5）式得下面的誤差方程

（6）

在（6）中令，利用引理1及Schwarts和Cauchy不等式，可得

（7）

在（6）中令，再次利用引理1及Schwarts和Cauchy不等式，則有

（8）

由（7）式和（8）式，可得

對(duì)上式從0到t積分，并且注意到則有

從而有

對(duì)上式利用Gronwall引理可得

為取得整體超收斂結(jié)果，我們引入文獻(xiàn)[5]中構(gòu)造的插值后處理算子，易證下面結(jié)論成立。定理2設(shè)，分別為（4）和（5）的解，在定理1的條件下有如下的超收斂結(jié)果。

參考文獻(xiàn)

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