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    混合時滯級聯(lián)切換系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定

    2017-11-24 07:34:08段連偉趙勝芝
    關(guān)鍵詞:遼寧大學(xué)級聯(lián)時滯

    段連偉,趙勝芝

    (遼寧大學(xué) 數(shù)學(xué)院,遼寧 沈陽 110036)

    混合時滯級聯(lián)切換系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定

    段連偉,趙勝芝*

    (遼寧大學(xué) 數(shù)學(xué)院,遼寧 沈陽 110036)

    切換系統(tǒng)是一類重要的混雜系統(tǒng).在實踐中有著廣泛地應(yīng)用.研究含有混合時滯的級聯(lián)非線性切換系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定問題.

    級聯(lián)系統(tǒng);混合時滯;指數(shù)穩(wěn)定

    1 問題陳述

    考慮如下非線性級聯(lián)切換系統(tǒng)

    (1)

    定義1如果切換系統(tǒng)(1)滿足

    ‖x(t)‖≤α1‖x(t0)‖ce-β1(t-t0),?t≥t0,

    (2)

    定義2對任意的時間T2>T1≥0和給定的切換信號σ(t),如果存在τa>0和N0≥0,滿足

    (3)

    其中Nσ(T1,T2)表示在[T1,T2)內(nèi)的切換次數(shù),則稱τa為平均駐留時間,N0叫做振蕩界.不失一般性,取N0=0.

    假設(shè)1存在常數(shù)η≥0,滿足

    0

    (4)

    假設(shè)2假設(shè)存在Z>0光滑正定函數(shù)Wp(x2(t)),存在bp>0,q1>0,q2>0(p∈S),滿足

    (5)

    q1‖x2‖2≤Wp(x2)≤q2‖x2‖2.

    (6)

    引理1對于?x,y∈Rr,?ε>0,存在正定對稱矩陣Π,滿足不等式

    (7)

    引理2對于任意適當維數(shù)的矩陣Z>0及標量τ2>τ1>0,下列不等式成立

    (8)

    其中τ12=τ2-τ1.

    2 主要結(jié)果

    對于切換系統(tǒng)(1),有以下指數(shù)穩(wěn)定結(jié)果.

    定理1如果存在ε>0,μ≥1和正定對稱矩陣Pi,Qi,Zi,Yi,Hi,Mi,Ei,Ti,滿足

    (9)

    Pi≤μPj,Qi≤μQj,Zi≤μZj,Yi≤μYj,?i,j∈S,i≠j,

    (10)

    且平均駐留時間τa滿足

    (11)

    則混合時滯級聯(lián)切換系統(tǒng)(1)指數(shù)穩(wěn)定.

    證明選取如下Lyapunov-Krasovskii函數(shù)

    (12)

    沿著系統(tǒng)(1)的軌跡,可得

    由引理2,可得

    由引理1,可得

    (13)

    (14)

    (15)

    由(13)-(15),可得

    其中

    (16)

    (17)

    (18)

    (19)

    從而有

    (20)

    由(10)和(12),可得

    Vi≤μVj,?i,j∈S,i≠j.

    (21)

    因此當t∈[tk,tk+1)時,有Vσ(t)(t)≤e-α(t-tk)Vσ(tk)(tk).

    由(12)和假設(shè)2,可得

    Vσ(t)(t)≥d1‖x1(t)‖2+q1‖x2(t)‖2,

    其中d1=min{λmin(Pi),i∈S}.

    (22)

    其中

    d2=max{λmax(Pi),i∈S}+H·max{λmax(Qi)+λmax(Zi)H+λmax(Yi)hu,i∈S},

    δ1=min{d1,q1},δ2=max{d2,q2}.

    進而有

    (23)

    其中x(t)=(x1,x2)T.從而有

    所以

    ‖x(t)‖≤α1‖x(t0)‖ce-β1(t-t0).

    (24)

    因此時滯級聯(lián)切換系統(tǒng)(1)指數(shù)穩(wěn)定.

    [1] Li S,Xiang Z R,Karimi H R.Stability andL1-gain controller design for positive switched systems with mixed time-varying delays[J].Applied Mathematics and Computation,2013(222):507-518.

    [2] Zhai J Y,Wang B,Fei S M.Tracking control for switched nonlinear systems with muitiple time-varying delays[J].Nonlinear Analysis:Hybrid Systems,2015(17):44-55.

    [3] Jin Y,Fu J,Zhang Y M,Jing Y W.Reliable stabilization of switched system with average dwell-time approach[J].Journal of the Franklin Institute,2013(350):452-463.

    (責任編輯鄭綏乾)

    ExponentialStabilityofCascadeSwitchedSystemswithMixedDelays

    DUAN Lian-wei,ZHAO Sheng-zhi*

    (SchoolofMathematics,LiaoningUniversity,Shenyang110036,China)

    Switched systems are a class of hybrid systems.It has been widely used in practice.This paper studies the exponential stability problem for cascade switched systems with mixed delays.

    cascade systems;mixed delays;exponential stability

    2016-11-14

    段連偉(1986-),男,山東濰坊人,碩士研究生,研究方向:非線性級聯(lián)切換系統(tǒng).

    *

    趙勝芝(1965-),女,遼寧鐵嶺人,教授,研究方向:非線性切換系統(tǒng).

    O 231

    A

    1000-5846(2017)03-0193-04

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