債券定價中的幾個常見疑問及教學(xué)探索

駱桂娣　徐珺

【摘 要】債券定價是金融資產(chǎn)定價中的基本問題。債券定價原理看似簡單，但一旦深究就會發(fā)現(xiàn)諸多問題。比如貼現(xiàn)率如何確定，現(xiàn)金流是否確定等，初學(xué)者往往困惑不解。該文從債券定價基本公式出發(fā)，針對學(xué)習(xí)過程中存在的4個常見問題進(jìn)行細(xì)致分析，并分享了教學(xué)探索經(jīng)驗(yàn)，為有效提高教學(xué)質(zhì)量提供思路。

【關(guān)鍵詞】債券定價；現(xiàn)金流；利率；違約

0 引言

債券定價問題金融學(xué)教學(xué)內(nèi)容中的基本內(nèi)容，在《利息理論》、《固定收益證券》等課程中均有涉及。其基本思想是把債券的當(dāng)前價值看成未來現(xiàn)金流現(xiàn)值之和。盡管定價思想容易理解，并不意味著定價方法容易掌握。學(xué)生對貼現(xiàn)利率的多種解釋，未來現(xiàn)金流是否確定等都容易產(chǎn)生疑問。有些疑問并未在教材中深入探討，學(xué)生往往深感困惑。如何發(fā)揮教師的引導(dǎo)作用，深入淺出地給學(xué)生解疑釋惑非常重要。馬馳（2011），郗群（2015）， 吳蘭芬（2015）等均對此做過有益的探討。本文將深入分析債券定價中的疑點(diǎn)難點(diǎn)問題，分享教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，供讀者討論。

1 債券定價中的4個疑問及思考

基于貨幣的時間價值，債券在當(dāng)前時刻的理論價值等于債券未來現(xiàn)金流的現(xiàn)值之和。學(xué)生在計算未來現(xiàn)金流現(xiàn)值的時候通常會遇到諸多疑問。下面結(jié)合債券定價基本公式進(jìn)行探討。假設(shè)某債券面值為F，它當(dāng)前時刻的價值是P。該債券每年付息一次，下次付息在1年后，息票率為r，即每期債券持有人可以獲得利息rF。該債券n年后到期，到期償還值為Cn。該債券的現(xiàn)金流如圖1所示：

假設(shè)到期收益率為y，那么

該公式被稱之為債券定價基本公式。公式中等式左邊P是債券持有人現(xiàn)金流出量現(xiàn)值，等式右邊是債券持有人現(xiàn)金流出量的現(xiàn)值。顯然，債券價格P是關(guān)于y的函數(shù)。對P關(guān)于y求導(dǎo)可知一階導(dǎo)函數(shù)小于0而二階導(dǎo)函數(shù)大于0。換句話說，P是關(guān)于y的凸的減函數(shù)。學(xué)生往往對如下問題感覺十分困惑。

疑問1 有時教材將y稱為“市場利率”，該如何理解？

實(shí)際上，市場上存在許多類型的債券，每種債券都有各自的風(fēng)險和未來現(xiàn)金流。債券的風(fēng)險主要包括利率風(fēng)險，信用風(fēng)險，流動性風(fēng)險等。一般而言，債券本身的風(fēng)險越高，債券持有者承擔(dān)的風(fēng)險越高，隨之獲得的回報也應(yīng)當(dāng)越高。相同風(fēng)險和相同未來現(xiàn)金流的債券應(yīng)當(dāng)具有相同的價格。因此，利用公式（1）對高風(fēng)險債券定價時所使用的y較大，而對低風(fēng)險債券定價時所使用的y較小。y實(shí)際上反映了債券持有人所承擔(dān)風(fēng)險的大小。當(dāng)然，y除了受到債券自身風(fēng)險的影響以外，還要受到供求關(guān)系、稅收政策等諸多因素其他因素影響。在完全競爭的市場假設(shè)下，每個債券一級市場的發(fā)行者或者二級市場的出售者都是市場價格的接受者，而不是決定者。因此，公式（1）中的y是具有與該債券相同風(fēng)險和相同未來現(xiàn)金流的債券的平均收益率，它是由市場決定的，故稱為“市場利率”。此時，用市場利率y計算出來的價格P就是該債券的理論上的市場價格，將在例1中給出進(jìn)一步解釋。

疑問2 有些教材上稱y是“投資者所要求的回報率”，該如何理解？

眾所周知，不同的投資者可能經(jīng)營目標(biāo)、風(fēng)險態(tài)度，或者融資成本有所不同，因此在他們投資債券時所要求的回報率不同。比如，保守的投資者所要求的回報率可能是4%，而激進(jìn)的投資者所要求的回報率可能是10%。再比如投資者A的融資成本是年利率4%，他愿意投資回報率為4%以上的債券；而投資者B的融資成本是7%，他要求的投資回報率應(yīng)該在7%以上。當(dāng)公式（1）中y是“投資者所要求的回報率”時，那么計算出來的價格P就是該債券在此投資者心目中的價值。由于P關(guān)于y遞減，故投資者所要求的回報率y越高，則該債券在此投資者心目中的價值越低，他越不愿意出高價購買。反之，投資者所要求的回報率越低，則該債券在此投資者心目中的價值越高，他越愿意出較高價格購買。從而，同一張債券在不同的投資者心目中的價值可能不同，這也是債券交易促成的一種解釋。下面用具體的例子說明以上問題。

例1：某債券面值為F=1000，該債券每年付息一次，息票率為r=6%，下次付息在1年后。該債券3年后到期，到期償還值為面值。請根據(jù)公式（1）回答如下問題：

（1）如果市場利率y=6%，請估計該債券的當(dāng)前理論價格。

（2）如果投資者A所要求的必要回報率為y=5%，那么他愿意為購買該債券最多支付多少錢？

（3）如果投資者B所要求的必要報酬率為y=8%，那么他愿意為購買該債券最多支付多少錢？

【解】：（1）如果市場利率y=6%，則該債券的市場理論價為：

（2）如果投資者A所要求的必要回報率為y=5%，則該債券在投資者A心目中的價值為：

故投資者A最多愿意支付102.72元購買該債券。

（3）如果投資者B所要求的必要報酬率為y=8%，則該債券在投資者B心目中的價值為：

故投資者B最多愿意支付94.85元購買該債券。另外，如果該債券的真實(shí)市場價等于市場理論價100元，那么投資者A愿意購買，因?yàn)樗J(rèn)為該債券價值應(yīng)當(dāng)是102.72元；而投資者B愿意以100元拋售該債券，因?yàn)樵贐的心目中該債券只值94.85元。

疑問3： 公式（1）中的y是債券持有人在n年內(nèi)的年平均收益率嗎？

在前面兩個問題中已經(jīng)說明了y可以理解成市場收益率或者投資者所要求的必要報酬率。那么y是否就是投資者在n年內(nèi)的年平均回報率呢？ 不妨對公式（1）兩邊同時乘以（1+y）n，可以得到：

P（1+y）=rF（1+y）n-1+…+rF（1+y）+rF+Cn………（2）

公式（2）的等號左邊表示P按照利率y復(fù)利n年的累積值，等號右邊表示債券持有人將所有的債券利息都按照年利率y復(fù)利累積到n時刻。由此可見，債券持有人要想在n年內(nèi)的年平均收益率剛好是y，那就需要在市場上尋找其他投資機(jī)會，將每期獲得的債券利息進(jìn)行再投資，并且再投資利率也恰好是y，否則論斷不成立。比如每期獲得的債券利息不作再投資，那么到n年末的總財富應(yīng)當(dāng)是 nrF+Cn，顯然小于公式（2）中的右式。此時計算出來的n年內(nèi)年平均回報率一定小于y。反之，如果每期債券利息按照某個大于y的利率進(jìn)行再投資，那么n年內(nèi)年平均回報率一定大于y。為使問題更加直觀，下面舉例說明。endprint

例2：某債券面值為F=1000，該債券每年付息一次，息票率為r=6%，市場利率y=5%，下次付息在1年后。該債券3年后到期，到期償還值為面值。請回答如下問題：

（1）如果每期債券利息按照5%的年利率進(jìn)行再投資，那么3年內(nèi)債券持有人的年平均收益率是多少？

（2）如果每期債券利息按照3%的年利率進(jìn)行再投資，那么3年內(nèi)債券持有人的年平均收益率是多少？

（3）如果每期債券利息按照8%的年利率進(jìn)行再投資，那么3年內(nèi)債券持有人的年平均收益率是多少？

解：（1）因?yàn)樵搨⒌陌凑誽=5%進(jìn)行再投資，根據(jù)公式（2）可知該債券3年內(nèi)年平均收益率恰好是5%。

（2）由題意可知，每期債券利息是60元。到第3年年末債券持有人的總財富是 60（1+3%）2+60（1+3%）+60+1000=1185.45元，由例1知該債券價格是1027.20元。如果記年平均回報率為x，那么

1027.20（1+x）3=1185.45

計算可知，x=4.89%，它小于y=5%。

（3）類似與（2），記年平均回報率為z，那么

1027.20（1+z）3=60（1+7%）2+60（1+7%）+60（1+7%）+60+1000

可解得z=5.11%，它大于y=5%。

疑問4 考慮違約可能性時應(yīng)如何對債券進(jìn)行定價？

任何一種債券都有一定的違約可能性，信用風(fēng)險始終存在。一旦發(fā)生違約，債券發(fā)行者就可能按照發(fā)行條款按約還本付息。換句話說，由于信用風(fēng)險的存在，債券未來的現(xiàn)金流不是固定的而是存在一定的隨機(jī)性，這種不確定性給定價帶來了巨大的挑戰(zhàn)。嚴(yán)格地來講，應(yīng)該對債券未來隨機(jī)現(xiàn)金流進(jìn)行貼現(xiàn)求出隨機(jī)價格，然后再求期望值獲得該債券的理論價值。為了便于讀者和學(xué)生理解，圖2給出考慮違約可能性的債券現(xiàn)金流示意圖。圖2中τ表示債券違約發(fā)生時刻，它是一個隨機(jī)變量；[τ]表示對τ取整，它是數(shù)軸上離τ最近且比τ小的正整數(shù)；T=[τ]∧n表示債券違約時刻τ取整值與到期時間n中較小的那一個數(shù)，它是最后一次正常支付利息rF的時刻； Cτ∧n表示τ∧n時刻的償還值，它通常小于面值F。顯然，τ≥n意味著債券在到期日之前沒有違約，此時τ∧n=n，圖2退化成圖1形式；τ

類似公式（1），定價原理是當(dāng)前債券價格P應(yīng)當(dāng)是未來現(xiàn)金流的貼現(xiàn)。但是，由于隨機(jī)的違約事件，未來現(xiàn)金流的現(xiàn)值也是一個隨機(jī)變量，所以應(yīng)當(dāng)對未來隨機(jī)現(xiàn)金流現(xiàn)值求期望。所以，相應(yīng)的定價公式應(yīng)當(dāng)是：

P=E…………………（3）

公式（2）涉及到違約時刻、違約時償還值等隨機(jī)變量，這些數(shù)值需要借助歷史經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計、模擬。顯然，公式（2）的計算十分復(fù)雜，在本科階段一般不采用這種隨機(jī)定價的方法，而是采用基本公式（1）中較為簡單的方式進(jìn)行定價。該公式的思路是先假定未來現(xiàn)金流固定即不考慮違約的可能性，而是采用利率y來反映包括信用風(fēng)險在內(nèi)的各種風(fēng)險?？梢园涯繕?biāo)債券的收益率y用無風(fēng)險利率y0表示出來，即y=y0+δ，這里δ≥0被稱之為利差，它反映了該債券的信用風(fēng)險、流動性風(fēng)險、提前贖回風(fēng)險、稅收待遇等，它是對債券持有人承擔(dān)這些風(fēng)險的一種補(bǔ)償。風(fēng)險越高δ越大，從而導(dǎo)致債券理論價格P越小，那么債券持有人就可以用較為便宜的價格購買該債券，同時也承擔(dān)了較高的風(fēng)險。公式（1）使債券定價問題得到大大簡化，更為復(fù)雜的定價方法要留待研究生階段學(xué)習(xí)。盡管公式（2）的具體計算對學(xué)生不作要求，但是它的定價思想可以向?qū)W生介紹。從作者教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來看，它能夠起到激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的作用。

2 相關(guān)教學(xué)探索

能否分析債券定價中的實(shí)際問題是檢驗(yàn)學(xué)生對知識掌握程度的重要標(biāo)準(zhǔn)。在債券定價理論教授完畢之后可結(jié)合我國債券市場實(shí)務(wù)進(jìn)行探索性教學(xué)，實(shí)質(zhì)性提高學(xué)生分析實(shí)際金融問題的能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

（1）分析我國債券發(fā)行情況。要求學(xué)生搜集資料，分組梳理我國政府債、金融債、企業(yè)債等發(fā)行歷史，討論各自的發(fā)行特點(diǎn)、是否附息、常見條款，銷售方式等。讓學(xué)生全面了解我國各類債券的發(fā)行情況。

（2）構(gòu)建我國債券收益率曲線。對學(xué)生進(jìn)行分組，要求每組學(xué)生搜集一段時間窗口內(nèi)不同種類的信息，包括到期時間、付息情況、到期時間等，匯集成表格。然后根據(jù)公式（1）計算不同種類債券的到期收益率，并構(gòu)建收益率曲線。具體包括中債國債曲線，中債地方政府債曲線、中債城投債曲線、中債商業(yè)銀行債券曲線等。要求每組學(xué)生代表在課堂上展示債券收益率計算細(xì)節(jié)，并將自己計算出的結(jié)果與中國債券信息網(wǎng)所公布的曲線圖對比差異，查找原因。

（3）分析近年來我國債券違約情況。要求學(xué)生搜集整理近年來我國債券違約情況，制作統(tǒng)計圖表。要求學(xué)生追蹤熱點(diǎn)債券違約事件，重點(diǎn)分析這些債券的違約原因。具體工作包括：債券發(fā)行時風(fēng)險評級；債券發(fā)行時的價格和收益率；債券發(fā)行人在違約前的經(jīng)營情況；違約前的市場價格和收益率波動情況；違約損失程度；違約發(fā)生后的處置方案及產(chǎn)生的影響等。

【參考文獻(xiàn)】

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