工業(yè)鉑熱電阻全量程檢測恒溫槽偏離值的求解算法及測量結(jié)果的不確定度評定

黃元津 杜文嵐

臺州市計量技術(shù)研究院,浙江臺州 318000

一、引言

工業(yè)鉑熱電阻具有測溫范圍寬、測溫精度高、穩(wěn)定性好、便于實(shí)現(xiàn)溫度控制等優(yōu)點(diǎn)，在各行業(yè)中有著極為廣泛的應(yīng)用。

我們在工業(yè)鉑熱電阻的日常檢定工作中，主要依據(jù)JJG229-2010《工業(yè)鉑、銅熱電阻檢定規(guī)程》對其進(jìn)行檢定/校準(zhǔn)。隨著檢定技術(shù)的不斷發(fā)展和成熟，出現(xiàn)了各式各樣針對工業(yè)鉑熱電阻的自動檢定裝置，不過這些計算機(jī)軟件大多數(shù)都只是針對0℃、100℃這兩個點(diǎn)，但是在實(shí)際工作中很多客戶需要檢測特殊溫度點(diǎn)。對這些特殊點(diǎn)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理是件十分頭疼的問題，不但計算過程復(fù)雜，而且還很容易出錯，一旦出錯會給客戶帶來極大的麻煩。傳統(tǒng)計算方法為了解決這個問題，往往需要計算W(t)、dW(t)/dt，而計算W(t)的理論值程序比較復(fù)雜，尤其在負(fù)溫段需采用隱函數(shù)，無法直接得到W(t)的計算表達(dá)式，只能采用“逐次逼近計算”的方法計算得到[1]。

本文從差值函數(shù)出發(fā)，結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)鉑電阻溫度計的溫標(biāo)內(nèi)插公式的反函數(shù)，推導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)鉑電阻的溫度與電阻之間的函數(shù)關(guān)系式，并同時研究標(biāo)準(zhǔn)鉑電阻溫度計的溫標(biāo)內(nèi)插公式與其反函數(shù)之間的誤差值，并進(jìn)一步修正標(biāo)準(zhǔn)鉑電阻的溫度與電阻之間關(guān)系的表達(dá)式，從而將測出的恒溫槽溫度的電阻值代入表達(dá)式得到恒溫槽的實(shí)際溫度，繼而得到恒溫槽實(shí)際溫度偏離名義溫度的溫度值。而在實(shí)際操作中，由于本文采用FULKE 1529四通道便攜測溫儀，內(nèi)嵌算法，只要輸入二等標(biāo)準(zhǔn)鉑電阻溫度計相關(guān)的溫度系數(shù)，可直接顯示溫度值，則可認(rèn)為該溫度值即為實(shí)際溫度值，再減去恒溫槽的名義溫度，即可得恒溫槽偏離溫度值。該過程避免了計算不同溫度下的W(t)、和dW(t)/dt。

二、二等標(biāo)準(zhǔn)鉑電阻溫度計的計算

1、參考函數(shù)以及反函數(shù)

溫度范圍(-189.3442～+0.01)℃下溫標(biāo)定義的參考函數(shù)為：

其反函數(shù)為：

偏差函數(shù)為：

溫度范圍(0.01～419.527)℃下的溫標(biāo)定義的參考函數(shù)為：

其反函數(shù)為：

偏差函數(shù)為：

在式（1）～（6）中A0、Ai、B0、Bi、C0、Ci、D0、Di為溫標(biāo)內(nèi)插公式的常數(shù),可查閱參考文獻(xiàn)[2]；a4、b4、a8、b8為二等標(biāo)準(zhǔn)鉑電阻溫度計的相關(guān)技術(shù)參數(shù)，可根據(jù)檢定證書得到，本文的二等標(biāo)準(zhǔn)鉑電阻溫度計的技術(shù)參數(shù)如表1所示；T表示熱力學(xué)溫度，單位為K；t表示攝氏溫度，單位為℃。

表1 標(biāo)準(zhǔn)鉑電阻溫度計的相關(guān)技術(shù)參數(shù)

2、反函數(shù)與參考函數(shù)的函數(shù)偏差計算

因?yàn)闄z定二等標(biāo)準(zhǔn)鉑電阻溫度計時固定點(diǎn)的Wr(t)值是通過式（1）和式（4）計算出來的，而本文后續(xù)的計算方法采用的公式為式（2）、式（5），為了確保其精度，故此對式（1）與式（2）以及式（4）與式（5）的函數(shù)偏差進(jìn)行研究分析。

首先將各標(biāo)稱溫度下式（1）的計算結(jié)果Wr(T)代入式（2），可得到相應(yīng)的T，再減去標(biāo)稱溫度即可得式（1）與式（2）的函數(shù)偏差，如圖1所示。同理結(jié)合式（4）與式（5）可得到式（4）與式（5）函數(shù)偏差情況如圖2所示。

從結(jié)果中可發(fā)現(xiàn)在溫度范圍為(-189.3442～+0.01)℃的溫標(biāo)反函數(shù)與參考函數(shù)的偏差中絕對值最大為9.561×10-5℃，而在溫度范圍為(0.01～419.527)℃的溫標(biāo)反函數(shù)與參考函數(shù)的偏差中絕對值最大為7.684×10-5℃，對工業(yè)鉑電阻的檢定結(jié)果的影響很小，可忽略。

三、工業(yè)鉑熱電阻恒溫槽偏離值計算

1、恒溫槽偏離值計算

假設(shè)二等標(biāo)準(zhǔn)鉑電阻溫度計測得的電阻值為R，則W(t)=R/Rtp，再結(jié)合設(shè)定溫度情況可將W(t)代入式（3）或式（6）中，得到相應(yīng)的Wr(t)的值，再將所得的Wr(t)的值代入式（2）或式（5）中得到恒溫槽的實(shí)際溫度，減去恒溫槽的標(biāo)稱溫度，即為恒溫槽偏離值。

整個計算過程看似繁瑣，包含了多系數(shù)的求和，然而由于本文采用的是FLUKE生產(chǎn)的型號為Fluke 1529的四通道便攜測溫儀，其內(nèi)嵌ITS-90轉(zhuǎn)換方式，只要將檢定證書內(nèi)標(biāo)準(zhǔn)鉑電阻的Rtp以及相關(guān)系數(shù)(如表1所示)輸入，可將測得的電阻值直接計算出溫度值，顯示在面板上。而又考慮到相同條件下用上級證書Rtp值的檢定結(jié)果不確定度比自測Rtp值時小得多[3]，故本文直接采用四通便攜測溫儀顯示的溫度值作為恒溫槽的實(shí)際溫度值，則可得恒溫槽偏離值的計算公式如下：

其中，Δt*—恒溫槽實(shí)際溫度偏離設(shè)定溫度的溫度值，℃；

t—標(biāo)準(zhǔn)鉑電阻溫度計測得恒溫槽溫度通過四通道便攜測溫儀的顯示值，℃；

tnomi—恒溫槽的名義溫度，℃

2、四通道便攜測溫儀內(nèi)嵌算法實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

上述恒溫槽偏離值的計算公式基于該測溫儀測量電阻精度滿足要求以及內(nèi)嵌算法準(zhǔn)確的基礎(chǔ)上得到的。測量電阻的精度是否滿足要求，可通過相應(yīng)檢定得到，在此不再累述。而為了進(jìn)一步研究其內(nèi)嵌算法的準(zhǔn)確性，本文利用(-80～+95)℃的制冷恒溫槽以及(50～550)℃的標(biāo)準(zhǔn)黑體爐作為源，將二等標(biāo)準(zhǔn)鉑電阻溫度計（相關(guān)技術(shù)參數(shù)如表1所示）插入其中，在溫度變化過程中，利用相機(jī)拍下四通道顯示值（包括電阻值R以及溫度值t），利用測得的電阻值R根據(jù)恒溫槽偏離值計算方法可計算出所對應(yīng)的計算溫度t2，同時結(jié)合二等標(biāo)準(zhǔn)鉑電阻溫度計反函數(shù)與參考函數(shù)的函數(shù)偏差計算方法，可計算出反函數(shù)與參考函數(shù)之間的函數(shù)誤差Δf(t)，如表2所示。

表2 各電阻下的顯示值與計算值

從表2中可發(fā)現(xiàn)，函數(shù)誤差Δf(t)很小，對于分辨力為0.001℃的4通道便攜測溫儀的影響基本可忽略，故此時計算溫度t2即可作為理論實(shí)際溫度，而從表中發(fā)現(xiàn)顯示溫度t與計算溫度t2溫度一致，該四通道便攜測溫儀的內(nèi)置算法滿足使用要求，算法誤差控制在±0.001℃內(nèi)。

四、工業(yè)鉑熱電阻測量結(jié)果不確定度評定

本文提出工業(yè)鉑熱電阻的檢定方法，與JJG 229-2010《工業(yè)鉑、銅熱電阻檢定規(guī)程》一致，只是在恒溫槽偏離值的方法上有所區(qū)別，為了判別本文的偏離值的計算是否滿足工業(yè)鉑熱電阻的檢定要求，故對改進(jìn)方法的工業(yè)鉑熱電阻測量結(jié)果不確定度進(jìn)行評定。

1、測量模型

（1）測量模型

根據(jù)上述工業(yè)鉑熱電阻的檢定方法，則可得到工業(yè)鉑熱電阻的測量模型：

其中：Δt—工業(yè)鉑熱電阻的測量誤差，℃；

R—工業(yè)鉑熱電阻測得的電阻值，Ω；

Rscale—工業(yè)鉑熱電阻在檢定溫度點(diǎn)下的分度表對應(yīng)的電阻值，Ω；

dR/dt—工業(yè)鉑熱電阻在檢定溫度下的電阻值對溫度的變化率，Ω/℃。

（2）靈敏度系數(shù)

式（8）中dR/dt的不確定度很小，可忽略，而R、t雖然是同一臺四通道便攜測溫儀測量，但考慮到2個量值的測量屬于該設(shè)備獨(dú)立的2個通道，且獨(dú)立顯示電阻值，可認(rèn)為相互獨(dú)立處理，則可得靈敏度系數(shù)如下：

2、由輸入量R引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(R)

主要有以下不確定來源：測量重復(fù)性、恒溫槽均勻性、恒溫槽波動性、電測設(shè)備誤差以及測量電流引起的自熱。

（1）測量重復(fù)性引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(R1)

對工業(yè)鉑熱電阻作10次獨(dú)立重復(fù)測量，以0℃為例，其測量結(jié)果如下，單位為℃：100.2147，100.2156，100.2163，100.2158，100.2173，100.2169，100.2153，100.2164，100.2142，100.2153，則可得到實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差s如下：

實(shí)際測量中采用6次測量的平均值，則有：

（2）恒溫槽均勻性引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(R2)

（3）恒溫槽的波動性引入的不確定度u(R3)

恒溫槽的溫度波動度不超過±0.01℃/30min，取其半寬為0.01℃，服從均勻分布，，則有：

（4）電測設(shè)備誤差引入的不確定度u(R4)

本文使用的四通道便攜測溫儀在(0～20)Ω時準(zhǔn)確度為±0.0005Ω；(20～400)Ω時準(zhǔn)確度為±25ppm of RGD。則在0℃時該設(shè)備的最大允許誤差為±0.0026Ω，取其半寬為0.0026Ω，服從均勻分布，，則有：

（5）自熱引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(R5)

電測設(shè)備提供感溫元件的測量為1mA，根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)感溫元件有約2mΩ的影響，可作均勻分布處理，，則有：

（6）計算u(R)

考慮到各個分量之間相互獨(dú)立，則可得到：

3、由輸入量t引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(t)

主要有以下不確定來源：標(biāo)準(zhǔn)鉑電阻溫度計的溯源以及周期性復(fù)現(xiàn)性、電測設(shè)備測量誤差、電測設(shè)備內(nèi)嵌算法誤差、測量電流引起的自熱。

（1）標(biāo)準(zhǔn)鉑電阻溫度計溯源引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(t1)

使用的標(biāo)準(zhǔn)鉑電阻溫度計的不確定度為2mK，k=2，則：

（2）標(biāo)準(zhǔn)鉑電阻溫度計的周期性復(fù)現(xiàn)引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(t2)

按規(guī)程要求，水三相點(diǎn)處為U99=5mK，k=2.58，因此有：

（3）電測設(shè)備測量誤差引入的不確定度u(t3)

如前所述，本文采用的四通道測量儀在0℃時最大允許誤差為±0.000734Ω，則近似可看作(25.3631±0.000734)Ω，利用恒溫槽偏離值計算方法可分別算出上、下限的溫度為0.01726℃、0.00274℃，取兩者與0.01℃偏差大者作為半寬，則半寬為0.00726℃，服從均勻分布，，則有：

（4）電測設(shè)備內(nèi)嵌算法誤差引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(t4)

如前所述，經(jīng)過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，得到本文使用的電測設(shè)備內(nèi)嵌算法準(zhǔn)確度為±0.001℃，則取半寬為0.001℃，服從均勻分布，，則有：

（5）測量電流自熱引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(t5)

二等標(biāo)準(zhǔn)鉑電阻溫度計自熱最大不超過4mK，可作均勻分布處理，，則有：

（6）計算u(t)

考慮到各個分量之間相互獨(dú)立，則可得到：

4、合成不確定度

由于各個分量相互之間獨(dú)立，則不確定度合成為：

5、擴(kuò)展不確定度

取k=2檢定0℃時，本文采用的改進(jìn)方法測量結(jié)果的擴(kuò)展不確定度為：U=k·uc(Δt)=22mK

同理可得100℃時，本文采用的改進(jìn)方法測量結(jié)果的擴(kuò)展不確定度為：U=31mK,k=2

五、結(jié)論

本文利用FLUKE 1529四通道便攜測溫儀實(shí)現(xiàn)了工業(yè)鉑熱電阻全量程檢測恒溫槽偏離值簡化求解。為了驗(yàn)證該方法的正確性，計算了溫度范圍(-189.3442～+419.527)℃二等標(biāo)準(zhǔn)鉑電阻溫度計的溫度與電阻之間的關(guān)系，并計算各溫度范圍內(nèi)反函數(shù)與參考函數(shù)的函數(shù)誤差，同時通過實(shí)驗(yàn)值與計算值得到了該測溫儀內(nèi)嵌算法的準(zhǔn)確度，并進(jìn)一步結(jié)合實(shí)際對測量結(jié)果不確定度進(jìn)行了評定，測量結(jié)果擴(kuò)展不確定度滿足要求。該方法大大簡化了工業(yè)鉑電阻檢定/校準(zhǔn)過程中的計算，大大提高了工業(yè)鉑熱電阻檢測效率。