振動(dòng)篩系統(tǒng)雙Hopf分岔的反控制

張思進(jìn)+杜偉霞+殷珊

摘 要：振動(dòng)篩系統(tǒng)是一類非光滑度很高的多參數(shù)非線性動(dòng)力系統(tǒng)，傳統(tǒng)的分岔準(zhǔn)則無法直接適用，這里采用了新的不依賴于特征值計(jì)算的顯式分岔臨界準(zhǔn)則，以實(shí)現(xiàn)振動(dòng)篩系統(tǒng)雙Hopf分岔的反控制.首先，根據(jù)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程得到Poincaré映射在不動(dòng)點(diǎn)處的線性化矩陣；然后，對系統(tǒng)施加線性反饋控制器，得到受控后的Poincaré映射，根據(jù)分岔臨界準(zhǔn)則求得雙Hopf分岔的顯式臨界條件；最后，通過模態(tài)疊加法對兩類系統(tǒng)分別進(jìn)行了數(shù)值模擬.結(jié)果顯示，在相同的系統(tǒng)參數(shù)下線性反饋控制器通過調(diào)整控制參數(shù)，可以有效地實(shí)現(xiàn)雙Hopf分岔的反控制.雙Hopf分岔可以提高一些振動(dòng)機(jī)械的工作效率，具有一定的實(shí)際意義.

關(guān)鍵詞：雙Hopf分岔反控制；非光滑；顯式分岔臨界準(zhǔn)則；線性反饋控制器

中圖分類號：O322； TH113 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Anti-control of Double Hopf Bifurcation of VibrationRating Griddle System

ZHANG Sijin，DU Weixia， YIN Shan

（College of Mechanical and Vehicle Engineering，Hunan University，Changsha 410082，China）

Abstract：The vibrating griddle system is a kind of nonlinear multi-parameter dynamical system with high non-smoothness，and traditional bifurcation criterion cant be applied directly. Therefore，a new explicit bifurcation criterion independent on eigenvalue calculation was adopted to achieve the anti-control of double Hopf bifurcation for vibrating griddle system. Firstly，the Poincaré mapping at the fixed point was obtained according to the motion equation of the system. Then，a linear feedback controller was applied to the system to obtain the controlled Poincaré mapping，and the explicit critical condition of double Hopf bifurcation was obtained according to the bifurcation critical criterion. Finally，numerical simulation of the two types of systems was carried out by the modal superposition method. The results show that the linear feedback controller can effectively achieve the anti-control of double Hopf bifurcation by adjusting the control parameters under the same system parameters. Double Hopf bifurcation can improve the working efficiency of some vibration machinery，so it has certain practical significance.

Key words：double Hopf bifurcation anti-control；non-smooth；explicit critical criterion of bifurcation；linear feedback controller

近幾十年來，由于振動(dòng)篩結(jié)構(gòu)簡單、處理能力強(qiáng)、工作可靠，得到了很快的發(fā)展，并廣泛應(yīng)用在煤炭、采礦、建筑、冶金等多種行業(yè).對于振動(dòng)篩的研究基本上是以生產(chǎn)實(shí)際為導(dǎo)向，力求提高篩分效率，提高產(chǎn)品質(zhì)量，降低能源消耗.文獻(xiàn)[1-2]采用數(shù)值分析與試驗(yàn)相結(jié)合的方法對其動(dòng)態(tài)特性和內(nèi)部應(yīng)力進(jìn)行了分析，結(jié)果表明振動(dòng)篩固有頻率和工作頻率保持在合理范圍內(nèi)可避免共振.文獻(xiàn)[3-4]運(yùn)用多軸疲勞分析的臨界平面法對大型直線振動(dòng)篩進(jìn)行了疲勞壽命數(shù)值分析，運(yùn)用應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型對其可靠性進(jìn)行了預(yù)測.文獻(xiàn)[5]記錄了振動(dòng)篩的研究進(jìn)展情況，提出了盡管研究已經(jīng)進(jìn)展得很好，但是還有很多未解決的問題，像物料與篩面碰撞中的分岔、混沌等非線性現(xiàn)象.

由于振動(dòng)篩的強(qiáng)非線性和非光滑性，使得振動(dòng)篩的動(dòng)力學(xué)行為相當(dāng)復(fù)雜，因此振動(dòng)篩的分岔和混沌行為成了近年來非線性動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域的熱門研究課題.白亮亮等[6]對振動(dòng)篩系統(tǒng)的非線性響應(yīng)進(jìn)行了分析，在進(jìn)行仿真后，發(fā)現(xiàn)了其存在Flip分岔、Neimark-Sacker分岔、環(huán)面倍化分岔以及Hopf-Hopf分岔，并向混沌演化，提出了當(dāng)振動(dòng)篩與物料有相同的振動(dòng)頻率時(shí)，物料的分離效果最佳.張永祥等[7]基于Poincaré 映射研究了系統(tǒng)的余維三分岔和非常規(guī)的混沌演化過程，在分岔點(diǎn)附近發(fā)現(xiàn)了三角形吸引子、“五角星型”、“輪胎型”概周期吸引子.雖然近年來不少

研究者開始研究分岔的反控制[8-13]，但是有關(guān)振動(dòng)篩的分岔反控制研究還是很少，文獻(xiàn)[14-15]研究了二自由度振動(dòng)落砂機(jī)周期倍化分岔的反控制.endprint

本文通過振動(dòng)篩的力學(xué)模型，對物料與篩面碰撞中的分岔進(jìn)行了探究，并把文獻(xiàn)[11]提出的反控制理論應(yīng)用在振動(dòng)篩上，通過數(shù)值計(jì)算，得出原系統(tǒng)在線性反饋控制器的作用下通過調(diào)節(jié)控制參數(shù)得到雙Hopf分岔解，實(shí)現(xiàn)了雙Hopf分岔的反控制.對于一些振動(dòng)系統(tǒng)像落砂機(jī)、篩分機(jī)、振動(dòng)棒、攪拌機(jī)等，雙Hopf分岔產(chǎn)生的環(huán)面概周期運(yùn)動(dòng)可以提高該類系統(tǒng)的工作效率，比如可以使攪拌機(jī)攪拌得更均勻，使篩分機(jī)篩分得更快，因此，實(shí)現(xiàn)雙Hopf分岔的反控制具有一定的實(shí)際意義.

1 運(yùn)動(dòng)方程以及Poincaré映射

振動(dòng)篩系統(tǒng)的力學(xué)簡化模型如圖1所示，質(zhì)量為M1和M2的振子分別由剛度為K1和K2的兩個(gè)線性彈簧以及阻尼系數(shù)為C1和C2的線性阻尼器相連接，振子只在垂直方向上運(yùn)動(dòng)，對M1施加簡諧激振力Psin（Ωt+τ）.質(zhì)量塊M3在重力作用下從上方落下并與M1產(chǎn)生碰撞，改變速度后以新的初值運(yùn)動(dòng)，如此往復(fù).設(shè)該模型里的阻尼是Rayleigh型比例阻尼，碰撞恢復(fù)系數(shù)為R.

振動(dòng)篩系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程是：

M11+（C1+C2）1-C22+（K1+K2）q1-K2q2=Psin（ΩT+τ），

M22-C21+C22-K2q1+K2q2=0，3=-g.（1）

式中：q1，q2，q3分別是振子M1，M2，M3的位移；M1和M3之間的間隙是e.

將以上微分運(yùn)動(dòng)方程無量綱化為：

100m12+2ζ1+c-c-kk12

+1+k-k-kkx1x2=10sin（ωt+τ），3=-l（2）

其中無量綱量為：

m=M2/M1，k=K2/K1，c=C2/C1，

ζ=C1/（2M1ωn1），ωn1=K1/M1，

xi=qiK1/P，ω=ΩM1K1，t=TK1M1，

l=M1gP，δ=eK1/P，γ=M3/M1，

（i=1，2，3）

當(dāng)q1-q3=e時(shí)，即x1-x3=δ，系統(tǒng)將發(fā)生碰撞.由碰撞前后系統(tǒng)動(dòng)量守恒和恢復(fù)系數(shù)的定義，振子M1與M3碰撞前后的速度關(guān)系為：

1-+γ3-=1++γ3+，

1+-3+=-R（1--3-），（3）

式中：1-，1+和3-，3+分別表示振子M1，M3碰撞前后的瞬時(shí)速度；R表示碰撞恢復(fù)系數(shù).

設(shè)振子碰撞前的瞬時(shí)為0時(shí)刻，則下一次振子碰撞前的瞬時(shí)為2nπ/ω，n∈Z.系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的初始條件是：

x1（0）=x3（0）=x1（2nπ/ω）

=x3（2nπ/ω）=x10，

x2（0）=x2（2nπ/ω）=x20，

2（0）=2（2nπ/ω）=20，

1（0）=1-γR1+γ1（2nπ/ω）+

γ（1+R）1+γ3（2nπ/ω）=10，

3（0）=1+R1+γ1（2nπ/ω）+

γ-R1+γ3（2nπ/ω）=30（4）

下面對系統(tǒng)進(jìn)行解耦，得到其周期解的表達(dá)式.方程（2）可以表示成如下形式：

M+C+Kx=Fsin（ωt+τ），

3=l.（5）

式中：M=[1 0；0 m]，C=2ζK，F(xiàn)=[1；0]，

K=[1+k -k；-k k].

令Ψ表示方程（5）的正則模態(tài)矩陣，ω1，ω2表示系統(tǒng)的固有頻率，經(jīng)坐標(biāo)變換得：

x=Ψξ，ξ=[ξ1 ξ2]T，（6）

將（6）式代入（5）式，解耦得：

[I]+2ζ[Λ]+[Λ]ξ=sin（ωt+τ），

3=-l.（7）

式中：2ζΛ=diag[2ζω21，2ζω22]，=ΨTF，

Λ=diag[ω21，ω22].

由模態(tài)疊加法可得方程（7）的通解：

xi=∑2j=1Ψij（e-ηjt（ajcosωdjt+bjsinωdjt）+

Ajsin（ωt+τ）+Bjcos（ωt+τ）），

i=∑2j=1Ψij（e-ηjt（（bjωdjt-ηjaj）cosωdjt-

（ηjbj+ajωdj）sinωdjt）+ωAjcos（ωt+τ）-

Bjω（sin（ωt+τ）），（i=1，2），

x3=C2+C1t-l2t2，

3=C1-lt.（8）

式中：Ψij是正則模態(tài)矩陣Ψ的元素；

ηj=ζω2j，ωdj=ω2j-η2j；aj，bj是積分常數(shù)，由系統(tǒng)的初始條件和模態(tài)參數(shù)確定；Aj，Bj是振幅常數(shù)：

Aj=ω2j-ω2（ω2j-ω2）2+（2ηjω）2j，

Bj=-2ηjω（ω2j-ω2）2+（2ηjω）2j.（9）

這里j=∑2k=1Ψkjfk0，f10=F1，f20=0.

選擇以下截面：

∑={（x1，1，x2，2，x3，3，θ）∈R6×

S1|x1=x3，1=1+，3=3+}，

作為系統(tǒng)的Poincaré截面，其中θ=ωtmod（2π），則X*=（x10，10，x20，20，30，τ）T

表示系統(tǒng)在Poincaré 截面上的周期不動(dòng)點(diǎn).參考文獻(xiàn)[7]可建立Poincaré 映射：

Xk+1=f（μ，X*）（10）

式中：μ=（ζ，ω）為分岔參數(shù).

Poincaré 映射（10）在不動(dòng)點(diǎn)X*處的線性化矩陣為：

Df（μ，X*）=f（σμ，ΔX）ΔX|（μ，X*），（11）endprint

式中：ΔX為X的擾動(dòng)矢量.

2 系統(tǒng)的雙Hopf分岔反控制

2.1 反饋控制系統(tǒng)

對系統(tǒng)（2）施加線性反饋控制器：

M+C+Kx+β（-p）+

α（x-xp）=Fsin（ωt+τ），

3=-l（12）

1-+γ3-=1++γ3+，

1+-3+=-R（1--3-）（13）

式中：α和β是線性反饋控制增益矩陣.由于該控制方法并不改變原系統(tǒng)的周期解，所以xp=（x1p，x2p）T和p=（1p，2p）T仍然是原系統(tǒng)的周期解位移和速度.令y=x-xp，=-p，則（12）式可化為：

M*+C*+K*y=

F（sin（ωt+τ）-sin（ωt+τ0））（14）

式中：M*=M，C*=C+β，K*=K+α通過適當(dāng)?shù)淖儞Q可以得到（12）式的通解：

xi=∑2j=1Φij{（e-jt（jcosdjt+jsindjt）+

j[sin（ωt+τ）-sin（ωt+τ0）]+

j[cos（ωt+τ）-cos（ωt+τ0）]}+xip，

i=∑2j=1Φij{（e-jt[（jdjt-jj）cosdjt-

（jj+jdj）sindjt）]+

jω[cos（ωt+τ）-cos（ωt+τ0）]-

jω[sin（ωt+τ）-sin（ωt+τ0）]}+ip，

x3=C4+C3t-l2t2，

3=C3-lt.（15）

式中：Φij是方程（14）的正則模態(tài)矩陣；j=ζ2j，dj=2j-2j，j是受控系統(tǒng)的固有頻率；j，j，C3，C4，τ是積分常數(shù)，由系統(tǒng)的初始條件和周期性條件確定；j，j是振幅常數(shù)，由下式求出：

j=2j-ω2（2j-ω2）2+（2jω）2j，

j=-2jω（2j-ω2）2+（2jω）2j，

j=∑2k=1Φkjfk0.（16）

2.2 受控系統(tǒng)的Poincaré 映射

因?yàn)樵摲答伩刂品椒ú⒉桓淖冊到y(tǒng)的周期解，故選擇Poincaré 截面：

σ′={（x1，1，x2，2，x3，3，θ）∈R6×

S|x1=x3，1=1+，3=3+}，

式中：θ=ωtmod（2π）；S=Rmod（2π）；R表示實(shí)數(shù).基于原周期解可以建立Poincaré 映射為：

X′k+1=H（μ，ε，Xk），（17）

式中：Xk=（x1k，1k，x2k，2k，3k，τk）T，μ和ε=（k1，k2）分別是分岔參數(shù)和控制參數(shù).

2.3 受控系統(tǒng)產(chǎn)生雙Hopf分岔的顯式臨界條件

傳統(tǒng)分岔的臨界準(zhǔn)則，需要在參數(shù)空間內(nèi)逐點(diǎn)取值以求出特征值并驗(yàn)證該特征值是否滿足分岔的臨界準(zhǔn)則，以此來確定控制參數(shù)，這樣既盲目、具有不確定性又需要計(jì)算很長時(shí)間.而通過極點(diǎn)配置方法獲得的控制參數(shù)，其對于控制參數(shù)的物理意義、控制魯棒性和橫截條件存在機(jī)理不明確問題.所以，本文參考文獻(xiàn)[12]推導(dǎo)出不直接依賴于特征值計(jì)算的發(fā)生雙Hopf分岔的顯式臨界條件，以獲得符合條件的控制參數(shù).

設(shè)映射在不動(dòng)點(diǎn)X*=（x10，10，x20，20，30，τ0）T處的線性化矩陣為：

DXH（μ，ε，X*）=H（μ，ε，X*）X*=Q（μ，ε），（18）

其特征多項(xiàng)式有以下形式：

Pμ（λ）=λ6+m1λ5+m2λ4+m3λ3+m4λ2+m5λ+m6，（19）

式中：mi=mi（μ，ε）是與分岔參數(shù)μ和控制參數(shù)ε有關(guān)的實(shí)數(shù).

若映射（17）的雅可比矩陣的特征多項(xiàng)式（19）在分岔點(diǎn)處滿足如下條件：

（T1） 特征值條件

Pμ0（-1）>0，Pu0（1）>0，

Δ±n-1（μ0）=0，Δ±n-3（μ0）=0，

Δ±j（μ0）>0，

（j=n-2，n-4，…，1（or 2））

（T2）橫截條件

2Δ（μ）dμ2μ=μ0≠0，

（T3） 非共振條件

cos（2π/m）≠ψ，ψ=1-Pμ0（1）Δ-32Δ+4，

m=3，4，5，…，

式中：Pμ0（λ），Δ±j（μ0）的具體含義和表達(dá)式可參考文獻(xiàn)[12].

則映射在分岔點(diǎn)處發(fā)生非共振的雙Hopf分岔.則可得雙Hopf分岔的顯式臨界條件（具體條件可參考文獻(xiàn)[11]）：

1-m6-m4+m6m4+m1m5+m2m6-

m25-m26-m6+m21-m2m26+m6m1m5=0，（20a）

1-m2m1-m3m2-m4m3-m5m4-m6

-m31-m4m1-m5m2-m6m3

-m4-m51-m6m1m2

-m5-m601m1

-m60001=0.（20b）

3 振動(dòng)篩系統(tǒng)的數(shù)值模擬

3.1 原系統(tǒng)的數(shù)值模擬

選取振動(dòng)篩系統(tǒng)的一組參數(shù)為：

m=0.18，c=k=0.182，ζ=0.01，

R=064，l=0784，γ=0.16.

使用模態(tài)疊加法解耦得到系統(tǒng)的解析解以后直接編程計(jì)算，可得質(zhì)塊M1的速度1隨著ω變化的分岔圖如圖2所示：

由圖2可以看到系統(tǒng)隨著ω的減小發(fā)生了分岔，通過MATLAB求得精確分岔點(diǎn)是ω=4.911 1，這里探究分岔點(diǎn)ω=4.911 1附近的動(dòng)力學(xué)行為.endprint

通過計(jì)算可以得到該系統(tǒng)線性化矩陣的六個(gè)特征值分別為：

λ1，2=0.530 0±0.840 9i，λ3，4=0.031 9±

0.099 94i，

λ5，6=-0.465 8±0.418 3i，

其中|λ1，2|=0.994 0，|λ3，4|=1.000 0，|λ5，6|=0626 0，

可以看出有一對復(fù)共軛特征值位于單位圓上，系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔，形成擬周期碰振運(yùn)動(dòng).在分岔點(diǎn)ω=4.911 1處原系統(tǒng)的相平面圖如圖3所示，對應(yīng)的映射圖如圖4所示.

當(dāng)ω=4.9111時(shí)，映射圖為一吸引不變?nèi)?，通過觀察這兩個(gè)圖可以看出，質(zhì)塊M1最終趨于穩(wěn)定的擬周期運(yùn)動(dòng).

3.2 受控系統(tǒng)雙Hopf分岔的反控制

選取線性反饋增益矩陣為

α=[k1 -k2；-k2 k1]，β=2ζα，

式中：k1和k2是控制參數(shù).則由以上顯式臨界條件可以得到控制參數(shù)分岔圖，如圖5所示.

圖5中被黑色的粗實(shí)線圍成的白色區(qū)域里的點(diǎn)可以滿足條件中的每個(gè)不等式，白色區(qū)域里的兩條細(xì)黑實(shí)線是由（20a）和（20b）兩個(gè)等式得到的，通過MATLAB計(jì)算出兩條直線的交點(diǎn)，取其中一個(gè)交點(diǎn)為（0.835 9，0.668 67），在交點(diǎn)附近取一對控制參數(shù)（0.937，0.758 76），在該控制增益參數(shù)下可得列圖6.

可以看出在該控制參數(shù)下，映射圖6呈現(xiàn)出了“輪胎型”概周期吸引子，得到了原系統(tǒng)的雙Hopf分岔解.

以上對分岔點(diǎn)處的動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了分析和分岔反控制，接下來看非分岔點(diǎn)處的分岔反控制效果，在其它系統(tǒng)參數(shù)不變的情況下，取ω=4.96同樣可以得到6個(gè)特征值：

λ1，2=0.538 4±0.835 5i，λ3，4=0.047 5±

0.998 04i，

λ5，6=-0.466 0±0.419 1i，

其中|λ1，2|=0.994 0，|λ3，4|=0.999 1，|λ5，6|=0626 8，可以看出特征值都在單位圓內(nèi)，原系統(tǒng)處于穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，如圖7和圖8所示.

同樣可得控制參數(shù)分岔圖，如圖9所示.

通過MATLAB計(jì)算出兩個(gè)等式（20a）和（20b）的交點(diǎn)，在其中一個(gè)交點(diǎn)附近取一對控制參數(shù)（0876 3，0.698 8），在該控制增益參數(shù)下可得到圖10.

由圖可以看出，無論是在分岔點(diǎn)處還是非分岔點(diǎn)處，都可以得到原系統(tǒng)的雙Hopf分岔解，同時(shí)也體現(xiàn)了顯式分岔臨界準(zhǔn)則的優(yōu)越性和普適性.

4 結(jié) 論

本文建立了振動(dòng)篩的力學(xué)模型，得到分段系統(tǒng)的周期解表達(dá)式.通過建立Poincaré 映射，得到映射在不動(dòng)點(diǎn)處的線性化矩陣，通過分析可知該系統(tǒng)發(fā)生了Hopf分岔.然后應(yīng)用分岔的顯式臨界準(zhǔn)則對原系統(tǒng)進(jìn)行了雙Hopf分岔反控制的分析，通過調(diào)節(jié)控制增益得到了雙Hopf分岔解.該方法的優(yōu)點(diǎn)就是可以不需要直接計(jì)算系統(tǒng)雅克比矩陣的特征值.這一理論結(jié)果有助于今后對多自由度振動(dòng)篩系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，也有利于提高振動(dòng)篩系統(tǒng)的篩分效率，具有一定的實(shí)際意義.

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