模式穩(wěn)定層次高 外表樸實內涵深*
——2017年江蘇省數(shù)學高考試題評析與教學啟示

●

(大廠高級中學,江蘇 南京 210044)

模式穩(wěn)定層次高外表樸實內涵深*
——2017年江蘇省數(shù)學高考試題評析與教學啟示

●余建國

(大廠高級中學,江蘇 南京 210044)

2017 年江蘇省數(shù)學高考試題延續(xù)往年的“江蘇模式”，穩(wěn)中有變，整卷難度均衡，考查全面，設計新穎． 試題很好地體現(xiàn)了數(shù)學計算、抽象概括、直觀想象、推理論證、數(shù)學建模、數(shù)據分析等核心素養(yǎng)，較好地實現(xiàn)了區(qū)分功能，對高中數(shù)學教學具有良好的導向作用．

數(shù)學高考; 江蘇卷; 試題評析; 教學啟示

2017年的江蘇卷在《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》的框架內，從考試內容、形式和文理區(qū)分等方面，堅持特色鮮明的“江蘇模式”，很好地貫徹了《考試說明(江蘇卷)》的“保持相對穩(wěn)定，命題穩(wěn)中有新；堅持以人為本，確保社會穩(wěn)定”和“科學性、規(guī)范性、公平性、穩(wěn)定性、選拔性、導向性”的命題要求，延續(xù)了數(shù)學高考江蘇卷的一貫風格．筆者結合自己的高三教學實踐，對此談一些粗淺的認識，請批評指正．

1 特點分析

1．1 延續(xù)模式，穩(wěn)中有變

文獻[1]介紹了“江蘇模式”，2017年試題延續(xù)了江蘇卷自主命題的一貫風格，即卷Ⅰ共6個解答題：第15，16題是三角函數(shù)與向量、立體幾何平行和垂直證明；第17，18題是應用題、圓錐曲線；第19，20題分別是函數(shù)與導數(shù)、數(shù)列綜合．稍微變化的是：1)立體幾何證明題10年來第一次與三角和向量解答題交換順序，變?yōu)榈谝坏澜獯痤}，事實上這兩道題都比較簡單，是否需要交換順序無關緊要；2)應用題以立體幾何為背景考查求大小，而不是最常見、考生最習慣的求最值類問題(下文詳述)，避免了基本不等式或導數(shù)的反復考查；3)在卷Ⅱ第22，23題(這兩道題理科考生必做)中，一改空間向量與概率分布“輪流坐莊”的模式，第22題考查空間向量、異面直線所成角和二面角等基礎知識，考查運用空間向量解決問題的能力，第23題將計數(shù)原理、排列組合與二項式定理、離散型變量的概率分布結合起來考查，這樣理科的兩個重點內容首次在同一張試卷中都考到，對教學起到了良好的導向作用．

1.2 回歸教材，不偏不怪

2017年的江蘇卷總體難度穩(wěn)定．卷Ⅰ滿分160，其中填空題平均分為51.88，解答題平均分為44.84，省平均分為96.72，難度系數(shù)0.605；卷Ⅱ滿分40，省平均分為23.67,與前幾年基本相當．

基本題均改編或來源于教材，能迅速消除考生的緊張情緒，有利于考生較快拿到基本分，為其較好地進入答題狀態(tài)作好鋪墊．例如，填空題前10題，考查最基本的概念，運算簡單，有的心算便可完成；解答題前兩道題涉及的是一些常用方法，與教材上相關章節(jié)的練習題型類似、難度相當．

例1某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總儲存費用為4x萬元．要使一年的總運費與總儲存費用之和最小，則x的值是______．

(2017年江蘇省數(shù)學高考試題第10題)

分析本題直接來源于課本，也是學生耳熟能詳?shù)念}目，經過適當改編，主要考查學生應用基本不等式求最值和數(shù)學建模能力(此為C級考點)．筆者認為，應用基本不等式求最值雖說是“必考點”，但對繁、難的配湊技巧要有度的把握．有的模擬試卷過分強調配湊技巧，是片面理解教學要求．

中等題主要考查考生對數(shù)學概念和性質的了解情況以及基本運算能力，如填空題的倒數(shù)第3題和第4題以及解答題的中間兩道題，雖有一定的運算量，但所用的方法都是課本上最常見的，中等及以上程度的考生應能順利作答．

圖1

( 2017年江蘇省數(shù)學高考試題第12 題)

分析如圖1，以OC為對角線，構造以OA1，OB1為鄰邊的OA1CB1．在△OA1C中，∠OCA1=∠COB1=,由tanα=7，得

由正弦定理，得

所以

m+n=3.

1.3 應用變臉，核心算理

數(shù)學模型是數(shù)學與現(xiàn)實世界、其他學科聯(lián)系的橋梁．數(shù)學建模的教學有利于學生感悟數(shù)學與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，養(yǎng)成從整體的角度看待和思考的習慣，積累運用數(shù)學語言表達現(xiàn)實問題、運用數(shù)學知識解決實際問題的經驗，從而提升數(shù)學應用意識和創(chuàng)新能力．數(shù)學建模是數(shù)學核心素養(yǎng)之一，江蘇卷基本都在第17，18題的位置安排應用題．與以往都是“建立目標函數(shù)求最值”型不同的是，2017年應用題以立體幾何為背景“求長度”．

圖2 圖3

1)將l放在容器Ⅰ中，l的一端置于點A處，另一端置于側棱CC1上，求l沒入水中的長度；

2) 將l放在容器Ⅱ中，l的一端置于點E處，另一端置于側棱GG1上，求l沒入水中的長度．

( 2017年江蘇省數(shù)學高考試題第18 題)

分析對于第2)小題，大部分學生想到解三角形(詳見參考答案)，或建立坐標系．筆者用解析法試做后發(fā)現(xiàn)：求點N(玻璃棒l與棱GG1的交點)的坐標(x，y)時，要解方程

25x2-16×28x+16×142-1 600×9=0，

即便算出Δ=1 327 104，開方也是個難題．如何改進解析法呢？

以E為坐標原點、EG所在直線為x軸建立如圖4所示的直角坐標系，則G(14，0)，G1(38，32)．設玻璃棒l與水面的交點為M，則EM為所求.易知EN=40，可設N(40cosα，40sinα)，因為點G，N，G1共線，所以

又(30sinα-40cosα)2+(30cosα+40sinα)2=502，

(2)

將式(1)代入式(2)，得

(30cosα+40sinα)2=482，

從而 30cosα+40sinα=48,

(3)

聯(lián)立式(1)和式(3)，得

故

由此可見，簡化運算的核心是式(2)．數(shù)學運算是數(shù)學核心素養(yǎng)之首，運算準確是基本，算理正確是核心．在高強度的考試氛圍中，選擇合理的運算路徑基本靠“感覺”，一般很難做到好中選優(yōu)．筆者在QQ群中有幸見到南京師范大學單墫老先生“曬的墨寶”，寥寥幾行，輕松揮就，不愧為數(shù)學解題專家．

圖4 圖5

如圖5，四邊形E1EGG1是等腰梯形，過點G1作高G1Q⊥EG于點Q，則

G1Q=32=8×4.

又作NR⊥EQ,垂足為R,則

在Rt△GG1Q中，

GG1=8×5=40(勾三股四弦五).

因為G1Q∥NR，在Rt△GNR中，可設NR=4x，GR=3x,在Rt△ENR中，

EN2=ER2+NR2，

即

402=(14+3x)2+(4x)2，

所以

4x=24(x=6)， 14+3x=32 ．

過點M作MP⊥EQ，垂足為P，則MP=12，再由相似可得

1.4 函數(shù)零點，耳目一新

高中代數(shù)知識與方法涉及集合、邏輯知識、函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、概率統(tǒng)計等眾多分支，但就代數(shù)的歷史發(fā)展而言，方程與函數(shù)應成為高中代數(shù)的核心．因此要仔細研究方程與函數(shù)中的思想與方法，使之成為代數(shù)推理的“工具包”．例如，填空題第14題以方程解的個數(shù)為背景，通過轉化、化歸為函數(shù)問題，滲透數(shù)形結合的思想，既有直觀形象，又有精細刻畫；推理方法既包含直接推理，也包含間接推理，對學生的代數(shù)推理能力提出了較高的要求．

(2017年江蘇省數(shù)學高考試題第14 題)

此式左邊是10的整數(shù)次冪，右邊是非整數(shù)，這是矛盾的．而此時(x-k)2為有理數(shù)，從而lgx=(x-k)2無解．也就是說，交點屬于每個周期x?D的部分，且在x=1處，

因此在x=1附近僅有一個交點．

本題作為填空壓軸題，集中體現(xiàn)了數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)，是難得一見的好題．因此，高三復習教學不能盲目地做題，也不能在無多大數(shù)學意義的變式上浪費時間，復習的真諦應是進一步理解數(shù)學的本質，螺旋上升，發(fā)展學生的數(shù)學思維能力．

1.5 多題把關，思維嚴謹

把關題題目設計親切，每個小題由易到難，層層推進，既能使不同層次的考生拿到分，又較好地體現(xiàn)了高考的選拔功能．如解答題的最后兩道題，考查的是最簡單的等差數(shù)列和三次函數(shù)，第1)小題考生應該感到很容易上手，后面的小題設計比較新穎，雖有一定的思維量，但涉及的都是中學數(shù)學中基本的知識點和方法，如有時間仔細思考，應該都能找到解題的思路和方法，會發(fā)現(xiàn)其方法都是平時知道的，無需特別的技巧和方法．

例5已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+1(其中a>0，b∈R)有極值，且導函數(shù)f′(x)的極值點是f(x)的零點(極值點是指函數(shù)取得極值時對應的自變量的值)．

1)求b關于a的函數(shù)關系式，并寫出定義域；

2)證明：b2>3a；

(2017年江蘇省數(shù)學高考試題第20 題)

對于第2)小題，由第1)小題可知

要證b2>3a，只要證

在定義域a∈(3，+∞)的前提下，這個“雙三次”不等式不難證明.

對于第3)小題，理解題設不難，難在代數(shù)式的變形．

第19題數(shù)列綜合題、第20題函數(shù)與導數(shù)題集中反映了嚴謹思維、推理論證的要求．代數(shù)推理既包括演繹推理，也包括合情推理，因此特殊化和一般化也成為代數(shù)推理的一項基本技能，這在第19題中體現(xiàn)得淋漓盡致.因篇幅所限，本文不再贅述．

2 教學啟示

縱觀2017年江蘇省數(shù)學高考卷，延續(xù)了2008年以來的模式，知識點分布、考查要求與近幾年的江蘇卷基本一致.我們從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，服務教學，提高高三數(shù)學復習效率，在減輕學生學習負擔的同時，也減輕教師自己的負擔，在發(fā)展學生的數(shù)學思維和核心素養(yǎng)上多下功夫．

2.1 培養(yǎng)運算能力

運算求解是核心素養(yǎng)之首，也是數(shù)學考試的必備技能．準確是運算的最基本要求，但只有清晰、合理的算理才能產生效益．解題訓練中需注重算理的培養(yǎng)，包括理解運算對象、掌握運算法則、探究運算方向、選擇運算方法、設計運算程序、求得運算結果．平時指導學生注意運算與推理的結合，利用算理簡化運算過程或尋找更為合理的運算程序，教師絕不能越俎代庖，思路代替不了運算．

2．2 夯實“四基三會”

從“雙基”到“四基”是提高學生素質、發(fā)展學生能力的需要，史寧中先生積極倡導的“會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”(即“三會”)更是高度概括了學生數(shù)學思維發(fā)展的方向．教材是學生學習基礎知識、形成基本技能的“藍本”，是數(shù)學思想方法的載體，是開展數(shù)學基本活動的劇本．教材的例習題都具有一定的典型性，無論是平時教學，還是總復習，都要緊扣《考試說明》，吃透教材，用好教材，充分發(fā)揮教材的基礎與示范作用[3]．

2.3 培養(yǎng)核心素養(yǎng)

正如前文所分析，試題全面體現(xiàn)了數(shù)學運算、抽象概括、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模、數(shù)據分析等核心素養(yǎng)．高考題具有導向性，在即將全面推開的新的課程改革中，數(shù)學教學需要站在更新、更高的角度，把發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)作為數(shù)學教育的終極目標，在平時的教學中，教師應有針對性地對學生進行訓練、培養(yǎng)和發(fā)展．

[1] 余建國．提升模式層次 創(chuàng)新模式內涵——2016 年江蘇省數(shù)學高考試題評析[J]．中學教研(數(shù)學)，2016(10)：32-24．

[2] 劉定定．三次函數(shù)的圖像與性質[J]．中學生數(shù)學，2012(2)：7-8．

[3] 董榮森．“四基三能”并重 凸顯數(shù)學核心素養(yǎng)——2016年高考數(shù)學江蘇卷評析與啟示[J]．數(shù)學通訊，2016(8)：1-5．

2017-08-01

余建國(1965-)，男，江蘇南京人，江蘇省特級教師.研究方向：高中數(shù)學解題與課堂教學．

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