GeoGebra在解決原始物理問題中的應(yīng)用

殷正徐

摘 要：GeoGebra是一套功能強(qiáng)大的教學(xué)軟件，可以深入探討原始物理問題，有助于優(yōu)化物理模型和拓展原始物理問題的解集，盡可能地發(fā)揮原始物理問題的教育教學(xué)價(jià)值。

關(guān)鍵詞：GeoGebra；原始物理問題；物理模型；物理習(xí)題

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2017）10-0055-4

1 原始問題及其解決過程

所謂原始問題，是指自然界及社會(huì)生活、生產(chǎn)中客觀存在且未被加工的物理問題。[1]如：“據(jù)報(bào)道，1980年一架美國超音速戰(zhàn)斗機(jī)在威克夫地區(qū)上空與一只禿鷹相撞，飛機(jī)墜毀。試估算禿鷹對(duì)飛機(jī)的沖撞力?！痹紗栴}來源于學(xué)生生活的現(xiàn)實(shí)世界，是自然中真切發(fā)生的事件，使學(xué)生倍感親切而有趣，容易激發(fā)其好奇心和求知欲。同時(shí)，原始問題源于生活，本質(zhì)與非本質(zhì)相互交織，形式與內(nèi)容撲朔迷離，需要經(jīng)過分解、簡化、抽象等思維加工才能建立模型，常常伴隨著直覺、想象等非線性思維，既能培養(yǎng)學(xué)生的常規(guī)思維又能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，既能培養(yǎng)學(xué)生的認(rèn)知能力又能培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，從根本上杜絕“高分低能”的不正常教育現(xiàn)象。

傳統(tǒng)物理問題通常將實(shí)際問題進(jìn)行了人為加工、簡化與抽象，使之成為理想化的抽象問題，由于經(jīng)過簡化與抽象，使之成為理想化的抽象問題，即研究理想的物理模型、理想的物理過程。[2]

圖1既包含了原始物理問題和物理習(xí)題的關(guān)系，也包含了原始物理問題的兩個(gè)解決過程。第一過程是對(duì)物理原始問題的概括與抽象，即對(duì)原始問題模型化。在此過程中，需要從物理現(xiàn)象的描述中概括出物理原始問題，通過分解、簡化、抽象、分類、理想化以及聯(lián)想、直覺等思維建立物理和數(shù)學(xué)模型。還需要結(jié)合具體情景和生活經(jīng)驗(yàn)設(shè)置相應(yīng)的參量，運(yùn)用相關(guān)知識(shí)和規(guī)律進(jìn)行初步分析，對(duì)得到的模型進(jìn)行簡并和優(yōu)化。由于學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和經(jīng)驗(yàn)存在差異，對(duì)問題概括、認(rèn)知深度和模型建立存在差異，這是原始問題的發(fā)散性造成的，有利于不同層次學(xué)生實(shí)現(xiàn)差異化學(xué)習(xí)。此過程也就是將原始物理問題轉(zhuǎn)化為物理習(xí)題的過程。第二個(gè)過程就是物理問題的解決過程，學(xué)生通過聯(lián)系所學(xué)的物理知識(shí)，利用數(shù)學(xué)工具和信息技術(shù)對(duì)抽象出來的物理問題進(jìn)行分析、推導(dǎo)、演繹和計(jì)算并得出結(jié)論。

2 GeoGebra在解決物理原始問題中的可行性分析

2.1 GeoGebra簡介

GeoGebra 是一套結(jié)合幾何、代數(shù)、數(shù)據(jù)表、圖形、統(tǒng)計(jì)和計(jì)算的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，同時(shí)具有處理代數(shù)與幾何的功能。一方面，GeoGebra 是一個(gè)動(dòng)態(tài)的幾何軟件，可以在上面畫點(diǎn)、線段、直線、向量、多邊形、圓錐曲線，甚至是函數(shù)，并且可以改變它們的屬性；另一方面，可以直接輸入函數(shù)和點(diǎn)坐標(biāo)，GeoGebra 也有處理變量的能力（這些變量可以是一個(gè)數(shù)字、角度、 向量或點(diǎn)坐標(biāo)），它也可以對(duì)函數(shù)作微分與積分，找出方程式的根或計(jì)算函數(shù)的極大、極小值等。這些特性，解決了傳統(tǒng)教學(xué)的難點(diǎn)，可以充分發(fā)揮教師的教學(xué)思想。GeoGebra具有操作簡單、開發(fā)課件速度快的特點(diǎn)，它能創(chuàng)造適當(dāng)?shù)奈锢砬榫埃瑤椭鷮W(xué)生深刻理解物理規(guī)律，有效突破教學(xué)難點(diǎn)。

2.2 可行性分析

（1）有利于物理模型的建立

原始問題源于實(shí)際，但學(xué)生未必了解具體情景，學(xué)生只有清晰情景才有可能正確建立模型，如果僅靠傳統(tǒng)的“粉筆+黑板”就顯得力不從心。GeoGebra具有良好的圖形顯示功能和動(dòng)畫功能，可以為課堂提供豐富、生動(dòng)的教學(xué)情境，可以把原始物理問題中各種復(fù)雜的物理過程（多種條件都在變化）實(shí)時(shí)地展現(xiàn)出來，學(xué)生通過觀察運(yùn)動(dòng)的物理過程建立相應(yīng)的過程圖景，學(xué)生容易從中鑒別哪些是主要因素，哪些是次要因素，從而有助于物理模型的建立。

（2）有利于物理習(xí)題的解答

在原始物理問題中，需要處理的數(shù)據(jù)一般比較繁多。若采用手工計(jì)算和作圖，不僅費(fèi)時(shí)費(fèi)力而且誤差較大。此外，因操作者及外界因素的影響，即使不同操作者在同一時(shí)間或者同一操作者在不同時(shí)間處理同一組數(shù)據(jù)時(shí)，得到的結(jié)果也是有差異的。此時(shí)，如利用GeoGebra圖形化、直觀化、易操作性等特性，以及數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)、計(jì)算和曲線擬合的功能，則能使物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理更加科學(xué)、規(guī)范、準(zhǔn)確、便捷。

3 應(yīng)用實(shí)例

下面以“據(jù)報(bào)道，1980年一架美國超音速戰(zhàn)斗機(jī)在威克夫地區(qū)上空與一只禿鷹相撞，飛機(jī)墜毀。試估算禿鷹對(duì)飛機(jī)的沖撞力?！睘槔?，闡述GeoGebra在原始物理問題教學(xué)中的應(yīng)用。

3.1 建立模型

模型化是解決原始問題的關(guān)鍵所在。所謂建立模型，就是對(duì)原始問題進(jìn)行科學(xué)的抽象化處理，抓住主要因素，忽略次要因素，得到一種能反映原物體本質(zhì)特性的理想物質(zhì)。在本例中，通過分析和綜合，借助直覺、聯(lián)想可得：禿鷹撞上飛機(jī)以后，飛機(jī)以幾乎不變的速度繼續(xù)飛行，而禿鷹被撞“扁”而緊貼在飛機(jī)上，由此建立飛機(jī)與禿鷹非彈性碰撞的過程模型。飛機(jī)受力復(fù)雜，可以轉(zhuǎn)換禿鷹為研究對(duì)象。由牛頓第三定律可知，禿鷹對(duì)飛機(jī)的沖撞力等于飛機(jī)對(duì)禿鷹的沖撞力，則F=m，其中Δv為禿鷹的速度變化，Δt為碰撞時(shí)間，則Δv=v+v，Δt=。

如果此處忽略禿鷹的速度，則Δv=v，Δt=，問題可以進(jìn)一步簡化，更能彰顯模型的抽象意義。禿鷹的速度遠(yuǎn)小于飛機(jī)的速度，從直覺判斷可以不計(jì)禿鷹的速度，但能否忽略還必須以不影響問題實(shí)質(zhì)為依據(jù)，否則估算就容易變成胡猜了，我們可以借助GeoGebra來分析。

由牛頓定律可知沖撞力F=m，考慮禿鷹速度時(shí)F=m，不計(jì)禿鷹速度時(shí)F'=m，兩者由于禿鷹速度影響而導(dǎo)致的絕對(duì)偏差ΔF=F-F'=m，相對(duì)偏差為=，其與禿鷹的質(zhì)量和身長無關(guān)，只與飛機(jī)和禿鷹的速度有關(guān)。不妨設(shè)飛機(jī)速度v=500 m/s，由GeoGebra作出-v的圖像（如圖2），由圖可得隨著禿鷹速度的增加，相對(duì)偏差幾乎呈線性增加。由于禿鷹的速度一般不超過15 m/s，即使達(dá)到20 m/s，其相對(duì)偏差也不到8%，可見本題確實(shí)可以忽略禿鷹的速度。但是，這種忽略與之前的忽略有本質(zhì)的差別，之前的忽略是“跟著感覺走”——如果當(dāng)年開普勒忽視8′的角度偏差，就不會(huì)發(fā)現(xiàn)行星運(yùn)動(dòng)的三大定律——本題現(xiàn)在的“忽略”則有堅(jiān)實(shí)的數(shù)據(jù)支撐，是經(jīng)過科學(xué)評(píng)估后的忽略。這樣的處理既培養(yǎng)了學(xué)生的質(zhì)疑精神和證據(jù)意識(shí)，也可以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度，將新課程“核心素養(yǎng)”落到實(shí)處。endprint

3.2 問題解答

經(jīng)過上文分析，有的論文將上述原始問題表征為：一架以300 m/s速率飛行的飛機(jī)，與一只身長為20 cm、質(zhì)量為0.5 kg的飛鳥相撞。設(shè)碰撞后，飛鳥尸體與飛機(jī)具有相同的速度，而原來飛鳥相對(duì)于地面的速率甚小，可忽略不計(jì)。試估計(jì)飛鳥對(duì)飛機(jī)的沖擊力（碰撞時(shí)間可用飛鳥身長被飛機(jī)速率除來估算）[3]。

物體模型和運(yùn)動(dòng)模型的建立是很好的，但是將禿鷹的質(zhì)量和身長賦予一個(gè)確然的數(shù)字，筆者覺得不太妥帖。原始問題來自真實(shí)的生活情境，具有生態(tài)性、開放性和非線性等特點(diǎn)，如果賦予單一的數(shù)值會(huì)使原始問題狹窄化，失去它的開放性和趣味性，學(xué)生的思維也將從發(fā)散回到集中、從非平衡態(tài)回到平衡態(tài)，大大削弱原始問題的教育教學(xué)價(jià)值。真實(shí)的世界是復(fù)雜的，為了體現(xiàn)真實(shí)世界的多樣性和保留原始問題的原汁原味，飛機(jī)的飛行速度和禿鷹的身長應(yīng)在符合實(shí)際的情況下取一定區(qū)間的值，而禿鷹的質(zhì)量則由禿鷹的身長來決定，即m∝l3，如果取禿鷹為立方體模型，則m=ρl3，其中ρ=1×103 kg/m3（地球上動(dòng)物密度都約為水的密度），由此可得：

F=m=ρl3=ρl2v2

可以看出沖撞力既與鳥的身長有關(guān)，又與飛機(jī)的飛行速度有關(guān)。當(dāng)飛機(jī)速度一定時(shí)，禿鷹的身長越大，沖撞力F越大；當(dāng)禿鷹的身長一定時(shí)，飛機(jī)的飛行速度越大，沖撞力F也越大。單獨(dú)考慮任何單一變量都是不全面的，事實(shí)上兩者都在變，那是什么情形呢？由于涉及一個(gè)量關(guān)于兩個(gè)量的變化，所得關(guān)系是三維圖像，中學(xué)生缺乏相應(yīng)的認(rèn)知，我們可以借助GeoGebra的3D繪圖功能來解決。

在GeoGebra軟件中打開3D繪圖區(qū)和表格區(qū)，為飛機(jī)飛行速度和禿鷹身長賦予一系列特殊的值，利用GeoGebra中表格區(qū)計(jì)算功能可得對(duì)應(yīng)的沖撞力（如表1所示），選擇身長、速度和沖撞力三列數(shù)據(jù)，創(chuàng)建“點(diǎn)列”，即可在3D視圖中描出對(duì)應(yīng)點(diǎn)，顯示沖撞力F隨v和l的變化情況（如圖3）。為了展示此原始問題的全貌，利用GeoGebra的“曲面”命令，在指令欄輸入：“曲面[u， v， 103 u2 v2， u， 0.2， 1， v， 500， 800]”，得到?jīng)_撞力隨v和l的變化3D曲面，如圖4所示，拖動(dòng)圖像旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，從另一視角觀察圖像，得到圖5。得到的曲面可以全方位立體式地呈現(xiàn)沖撞力與身長和速度之間的關(guān)系，在模型化以后仍然保持了原始問題的“血肉”，培養(yǎng)學(xué)生從多角度多層次動(dòng)態(tài)認(rèn)識(shí)問題的能力，體會(huì)客觀世界的紛繁復(fù)雜和物體之間的相互聯(lián)系。

4 小結(jié)與感悟

原始物理問題較之物理習(xí)題的突出優(yōu)點(diǎn)在于，它能夠打破學(xué)生思維中的平衡狀態(tài)，深化學(xué)生的思維，使之始終處于非平衡狀態(tài)，提高學(xué)生的直覺、想象、抽象等非邏輯和比較、分析、綜合、抽象等邏輯思維能力。但筆者發(fā)現(xiàn)大部分相關(guān)論文只是將原始物理問題降階為傳統(tǒng)習(xí)題及在此過程對(duì)學(xué)生思維的培養(yǎng)作用，生成傳統(tǒng)習(xí)題以后的處理與傳統(tǒng)方式完全一致，失去了原始物理問題的部分“原始”味，其根本原因是教育技術(shù)的缺席。微課、慕課、翻轉(zhuǎn)課堂等研究層出不窮，可見教學(xué)研究者并非不重視教育技術(shù)的應(yīng)用，只是不愿在習(xí)題教學(xué)中應(yīng)用。由于人們對(duì)“題海戰(zhàn)術(shù)”的學(xué)習(xí)方式感到厭惡，因此對(duì)物理習(xí)題的教學(xué)研究的好感也逐漸降低，而竭盡能事地大書特書“概念課”“規(guī)律課”教學(xué)，似乎上好這些課物理習(xí)題就能自動(dòng)解決，這是對(duì)習(xí)題教學(xué)的輕視與誤解。本文借助GeoGebra教學(xué)軟件，豐富了原始問題的解決過程，在模型化的同時(shí)保留了問題的開放性和生態(tài)性，提高了原始物理問題的教學(xué)價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

[1]刑紅軍.論原始物理問題的教育價(jià)值及其啟示[J].課程·教材·教法，2005（1）：56-61.

[2]耿宜宏，楊國慶.基于IYPT培養(yǎng)學(xué)生物理學(xué)科核心素養(yǎng)的實(shí)踐與思考[J].物理之友，2016（5）：1-5.

[3]王靜.高中學(xué)生解決力學(xué)原始問題與物理習(xí)題的比較研究[D].北京：首都師范大學(xué)碩士學(xué)位論文，2005.

（欄目編輯 王柏廬）endprint