新型雙臂菱形壓電柔性機(jī)構(gòu)理論設(shè)計(jì)與建模

蔣 州 曹軍義 凌明祥,2 曾明華 林 京

1.西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，西安，7100492.中國工程物理研究院總體工程研究所，綿陽，621900

新型雙臂菱形壓電柔性機(jī)構(gòu)理論設(shè)計(jì)與建模

蔣 州1曹軍義1凌明祥1,2曾明華1林 京1

1.西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，西安，7100492.中國工程物理研究院總體工程研究所，綿陽，621900

針對目前傳統(tǒng)菱形位移放大機(jī)構(gòu)的輸出剛度、固有頻率和位移放大比無法同時(shí)提高的問題，提出了一種雙臂復(fù)合菱形柔性機(jī)構(gòu)，并介紹了其理論設(shè)計(jì)與建模方法?；跉W拉-伯努利梁理論和卡氏第二定理，推導(dǎo)出雙臂復(fù)合菱形柔性機(jī)構(gòu)的位移放大比和剛度解析模型，利用拉格朗日方程建立了該柔性機(jī)構(gòu)的固有頻率解析模型，并通過商業(yè)有限元軟件驗(yàn)證了解析模型的準(zhǔn)確性。根據(jù)理論計(jì)算結(jié)果，通過電火花切割工藝加工出復(fù)合柔性機(jī)構(gòu)，并與相同尺寸參數(shù)的傳統(tǒng)菱形位移放大機(jī)構(gòu)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)比較研究。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，壓電雙層臂柔性機(jī)構(gòu)的固有頻率為1330 Hz，位移放大比為4.2，同時(shí)提高了固有頻率和放大比。此外，所建立的位移放大比和固有頻率力學(xué)解析模型可以為新型壓電柔性機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供理論指導(dǎo)。

壓電執(zhí)行器；微位移放大；柔性鉸鏈；三角形位移放大機(jī)構(gòu)

0 引言

近年來，隨著微電子[1]、光學(xué)微裝配以及超精密加工[2]等領(lǐng)域的迅猛發(fā)展，人們對精密定位技術(shù)提出了越來越高的要求。壓電陶瓷具有分辨率高、驅(qū)動(dòng)力大、響應(yīng)速度快等優(yōu)點(diǎn)，成為精密定位平臺中使用最廣泛的驅(qū)動(dòng)器件[3]。此外，壓電陶瓷在振動(dòng)主動(dòng)控制、精密閥、精密泵等領(lǐng)域也得到了廣泛的關(guān)注和應(yīng)用[4]。但是，壓電陶瓷最大的不足是輸出位移小，正常工作狀態(tài)下輸出位移僅是其自身尺寸的0.1%～0.2%。為實(shí)現(xiàn)亞毫米級的微位移輸出，工程實(shí)踐中常采用柔性位移放大機(jī)構(gòu)來滿足實(shí)際需求[5]。

微位移放大機(jī)構(gòu)的常用放大原理有杠桿放大、壓曲放大、液壓放大、三角形放大等[6]。張建瓴等[7]基于差式杠桿原理設(shè)計(jì)了微位移放大機(jī)構(gòu)，并對該機(jī)構(gòu)放大倍數(shù)和靜態(tài)剛度進(jìn)行理論建模。杠桿放大機(jī)構(gòu)的缺點(diǎn)是尺寸較大，輸出剛度和固有頻率較低。壓曲放大機(jī)構(gòu)利用薄板或較薄殼體受外力而產(chǎn)生的彎曲變形來進(jìn)行位移放大，放大倍數(shù)與薄板的曲率以及薄板間的夾角有關(guān)，放大倍數(shù)較小[8]。液壓放大機(jī)構(gòu)利用液體等體積原理，通過驅(qū)動(dòng)活塞運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)位移放大，主要應(yīng)用于精密伺服閥[9]。三角形放大機(jī)構(gòu)利用三角形三邊之間的幾何關(guān)系，通過改變長直角邊的位移來實(shí)現(xiàn)短直角邊位移的放大。在眾多位移放大機(jī)構(gòu)中，三角形位移放大機(jī)構(gòu)因其放大倍數(shù)大、結(jié)構(gòu)緊湊、固有頻率高、位移輸入輸出之間具有良好的線性關(guān)系等優(yōu)點(diǎn)，在科學(xué)研究和工程實(shí)際中得到廣泛應(yīng)用。

三角形位移放大機(jī)構(gòu)以菱形[3]、橋式(bridge-type)[10]、Moonie型[11]、Cymbal型[12]等為代表。目前，傳統(tǒng)的菱形位移放大機(jī)構(gòu)的輸出剛度、固有頻率和位移放大比三者之間無法同時(shí)達(dá)到最優(yōu)，設(shè)計(jì)時(shí)一般是在這些指標(biāo)中進(jìn)行折中處理。為此，本文提出了一種雙層菱形柔性機(jī)構(gòu)，其特點(diǎn)是結(jié)構(gòu)緊湊，在保持位移放大比的同時(shí)提高了機(jī)構(gòu)的輸出剛度和固有頻率，并采用卡氏第二定理和拉格朗日方程進(jìn)行靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)解析建模和理論分析，最后加工出實(shí)驗(yàn)樣機(jī)，并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

1 新型雙臂菱形壓電柔性機(jī)構(gòu)

傳統(tǒng)的菱形位移放大機(jī)構(gòu)由于結(jié)構(gòu)緊湊，位移放大倍數(shù)高，抗干擾能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)得到了工程界的認(rèn)可。但受限于菱形機(jī)構(gòu)放大比與固有頻率無法同時(shí)提高的缺陷，目前菱形放大機(jī)構(gòu)主要應(yīng)用于輸出剛度較小、頻響較低的工況。本文提出了一種具有雙臂的復(fù)合菱形位移放大機(jī)構(gòu)，在保持較大位移放大比的同時(shí)，可以提高系統(tǒng)輸出剛度和固有頻率，其具體結(jié)構(gòu)如圖1所示。

(a)雙臂菱形柔性機(jī)構(gòu)實(shí)物圖

(b)雙臂菱形柔性機(jī)構(gòu)原理圖圖1 雙臂菱形柔性機(jī)構(gòu)Fig.1 Rhombus-type compliant mechanism with double flexible beams

整個(gè)機(jī)構(gòu)與傳統(tǒng)的菱形放大機(jī)構(gòu)構(gòu)型相似，上下、左右對稱布局，但是放大機(jī)構(gòu)的柔性臂采用雙層結(jié)構(gòu)。壓電陶瓷通過一定預(yù)緊力安裝在位移放大機(jī)構(gòu)水平對角線之間，在一定的輸入電壓下，壓電陶瓷輸出驅(qū)動(dòng)力和水平位移，在其驅(qū)動(dòng)作用下，菱形雙臂發(fā)生形變而使位移放大機(jī)構(gòu)產(chǎn)生豎直方向的輸出位移。合理優(yōu)化機(jī)構(gòu)參數(shù)，可得到被放大的豎直方向位移輸出。機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過程中保持菱形構(gòu)型不變，與傳統(tǒng)同參數(shù)的菱形放大機(jī)構(gòu)相比，雙臂菱形放大機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過程中幾何關(guān)系不變，大角度位移放大比幾乎不變；由單臂變?yōu)殡p臂結(jié)構(gòu)，提高了機(jī)構(gòu)的輸出剛度和固有頻率。

2 新型柔性機(jī)構(gòu)的解析模型

2.1位移放大比模型

如圖2所示，假設(shè)壓電陶瓷輸出力和負(fù)載分別為FPZT和FN，其他幾何參數(shù)定義見圖1。當(dāng)壓電陶瓷在正電壓作用下，位移放大機(jī)構(gòu)水平方向伸長2Δx時(shí)，其豎直方向?qū)⒖s減2Δy。由于機(jī)構(gòu)具有對稱性，取柔性位移放大機(jī)構(gòu)的1/4進(jìn)行力學(xué)分析,則有如下關(guān)系式成立：FPZT=4fx;FN=4fy。如圖2所示，柔性雙臂機(jī)構(gòu)由柔性臂AB和柔性臂CD組成，因柔性臂AB與柔性臂CD的力學(xué)邊界條件以及幾何參數(shù)完全相同，為簡化力學(xué)分析過程，以柔性臂AB為例，對雙臂菱形位移放大機(jī)構(gòu)進(jìn)行受力分析?？紤]柔性臂的固定邊界條件：A、B兩點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)角度相等，A點(diǎn)作水平移動(dòng)，B點(diǎn)作豎直運(yùn)動(dòng)。由于受到A、B兩點(diǎn)的約束，柔性臂AB將受到2Mr力矩的作用，根據(jù)力平衡方程和力矩平衡方程，有

fAx=fBx=fx=FPZT/4

(1)

fAy=fBy=fy=FN/4

(2)

2Mr=fxlasinθ+fylacosθ

(3)

圖2 雙臂菱形機(jī)構(gòu)受力分析Fig.2 Force analysis of rhombus-type displacement amplifier

對簡化后的柔性臂AB進(jìn)行受力分析。沿柔性臂方向，AB受到拉力的作用；垂直于柔性臂方向，AB受到一對力偶的作用，且A、B兩點(diǎn)的約束還導(dǎo)致AB存在力矩2Mr的作用，這將使柔性臂在運(yùn)動(dòng)過程中發(fā)生彎曲，進(jìn)而輸出放大的位移。根據(jù)力和力矩平衡方程，沿AB長度方向、距A點(diǎn)距離為u的力和力矩分別為

(4)

基于歐拉-伯努利梁理論，柔性臂的總變形能為拉伸應(yīng)變能Vε1與彎曲應(yīng)變能Vε2之和，即

Vε=Vε1+Vε2

(5)

由卡氏第二定理，機(jī)構(gòu)沿x方向的位移

(6)

機(jī)構(gòu)沿y方向的位移

(7)

其中，EA和EI分別為柔性臂AB的抗拉剛度和抗彎剛度?；谑?6)和式(7)，位移放大機(jī)構(gòu)空載時(shí)(fy=0)的位移放大比

(8)

位移放大機(jī)構(gòu)的輸入剛度

(9)

2.2固有頻率解析模型

與實(shí)際應(yīng)用工況一致，建立固有頻率解析模型時(shí)，位移放大機(jī)構(gòu)的底部邊界條件是固定的，各柔性環(huán)節(jié)的質(zhì)量和坐標(biāo)選取如圖3所示。

圖3 雙臂菱形位移放大機(jī)構(gòu)及各部分質(zhì)量分布Fig.3 Mass distribution of the proposed mechanism

僅考慮柔性位移放大機(jī)構(gòu)豎直方向的輸出位移一個(gè)自由度，取廣義坐標(biāo)q=2Δy。由前文力學(xué)分析和理論建模結(jié)果可知，水平輸入位移Δx、柔性臂轉(zhuǎn)動(dòng)角度Δθ、柔性臂變形伸長量Δl與豎直輸出位移坐標(biāo)q之間分別滿足如下關(guān)系：

(10)

(11)

式中，Kl、Kθ分別為柔性臂AB、CD的抗拉剛度和抗彎剛度。

考慮到柔性臂的抗拉剛度和抗彎剛度，則系統(tǒng)的彈性勢能

(12)

系統(tǒng)的動(dòng)能

(13)

令拉格朗日函數(shù)L=T-V，對于自由振動(dòng)，將式(12)和式(13)代入拉格朗日方程：

(14)

忽略推導(dǎo)過程，根據(jù)拉格朗日方程，可以得到自由振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程：

(15)

雙臂菱形柔性機(jī)構(gòu)的固有頻率

(16)

3 有限元計(jì)算分析

3.1位移放大比仿真

為了驗(yàn)證本文力學(xué)解析模型的準(zhǔn)確性，保持雙臂菱形位移放大機(jī)構(gòu)的參數(shù)相同，將解析模型計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，并將有限元計(jì)算結(jié)果作為比較的基準(zhǔn)。位移放大機(jī)構(gòu)具體幾何參數(shù)見表1，有限元計(jì)算的網(wǎng)格劃分如圖4所示。

進(jìn)行位移放大比仿真計(jì)算時(shí)，完整約束圖4模型底部，柔性機(jī)構(gòu)水平對角線內(nèi)部兩側(cè)施加等大反向的驅(qū)動(dòng)力；計(jì)算位移放大比仿真結(jié)果時(shí)，柔性機(jī)構(gòu)的位移放大比即仿真結(jié)果的豎直輸出位移與水平輸入位移的比值。計(jì)算得到的雙臂菱形位移放大比的部分結(jié)果見表2。

圖4 有限元模型Fig.4 Finite element model

參量數(shù)值參量數(shù)值la(mm)16.8d(mm)10h(mm)1.0E(GPa)210t(mm)1.5ρ(kg/m3)7850

表2 位移放大比計(jì)算結(jié)果

由表2可以看出，本文基于卡氏第二定理推導(dǎo)出的解析模型在角度θ較大時(shí)與有限元結(jié)果接近，在角度θ較小時(shí)還存在一定的誤差。存在計(jì)算誤差的主要原因是本文的雙層柔性臂是中空結(jié)構(gòu)，在計(jì)算其彎矩時(shí)未考慮中空部分的影響。實(shí)際工程應(yīng)用中應(yīng)乘以工程系數(shù)進(jìn)行調(diào)整，這樣，解析模型計(jì)算結(jié)果將與有限元計(jì)算結(jié)果更加接近。

3.2固有頻率仿真

工作頻寬和輸出位移放大倍數(shù)是評價(jià)位移放大機(jī)構(gòu)性能的兩個(gè)重要參數(shù)，建立固有頻率與機(jī)構(gòu)幾何參數(shù)之間準(zhǔn)確的解析力學(xué)模型是結(jié)構(gòu)優(yōu)化的前提。為了驗(yàn)證本文建立的雙臂菱形位移放大機(jī)構(gòu)固有頻率解析模型的準(zhǔn)確性，基于ANASYS軟件對同一模型進(jìn)行了有限元模態(tài)分析，有限元計(jì)算的網(wǎng)格劃分如圖4所示，具體結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1，其中，柔性機(jī)構(gòu)的角度θ為10°。

雙臂菱形位移放大機(jī)構(gòu)的前6階模態(tài)如圖5所示，其中，第1階模態(tài)描述了雙臂菱形位移放大機(jī)構(gòu)的平面外搖擺變形，頻率約1179 Hz；第2階模態(tài)為機(jī)構(gòu)繞Z軸扭轉(zhuǎn)變形，頻率約1257 Hz；第4階模態(tài)為機(jī)構(gòu)繞上下定點(diǎn)的扭轉(zhuǎn)變形，頻率約3806 Hz；第3階模態(tài)為位移放大機(jī)構(gòu)輸出位移方向的變形振型，頻率為1411.4 Hz，理論計(jì)算出該階固有頻率為1292.91 Hz，兩者的相對誤差為9.2%，誤差在工程許可范圍內(nèi)。

圖5 菱形位移放大機(jī)構(gòu)的前6階振型Fig.5 The first six vibration modes of the proposed mechanism

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

按表1中的參數(shù)加工出雙臂菱形柔性機(jī)構(gòu)和傳統(tǒng)菱形柔性機(jī)構(gòu)，其中，柔性機(jī)構(gòu)的角度θ為10°。雙臂菱形柔性機(jī)構(gòu)在傳統(tǒng)菱形柔性機(jī)構(gòu)的基礎(chǔ)上改進(jìn)，除增加雙臂結(jié)構(gòu)外，其他尺寸參數(shù)與傳統(tǒng)菱形機(jī)構(gòu)相同。搭建實(shí)驗(yàn)測試系統(tǒng)進(jìn)行比較與驗(yàn)證(圖6)。實(shí)驗(yàn)中，由信號發(fā)生器(AFG 300)產(chǎn)生激勵(lì)信號，經(jīng)功率放大器放大后輸入壓電陶瓷，在壓電陶瓷激勵(lì)下，柔性機(jī)構(gòu)輸出微位移，該微位移由激光位移傳感器進(jìn)行測量，位移傳感器所測位移和功率放大器輸出信號由示波器(Agilent，探頭內(nèi)阻為10 MΩ)進(jìn)行同步采集。壓電陶瓷功率放大器型號為PI-E-482，電壓放大倍數(shù)為100；所用傳感器型號為HL-G103-A，分辨力為0.5 μm。

圖6 實(shí)驗(yàn)測試系統(tǒng)Fig.6 Experimental set up

對壓電陶瓷施加正弦線性掃頻激勵(lì)，頻率范圍為1～2000 Hz，掃頻時(shí)間100 s，輸入電壓幅值20 V。實(shí)際輸入輸出曲線如圖7所示，可以看出在掃頻激勵(lì)67 s后，放大機(jī)構(gòu)出現(xiàn)共振現(xiàn)象。

圖7 掃頻輸入輸出信號Fig.7 Input and output sweep-frequency signal

放大機(jī)構(gòu)豎直方向的位移輸出由激光位移傳感器測得，分析放大機(jī)構(gòu)的輸入輸出得到系統(tǒng)的伯德圖(圖8)。實(shí)測雙臂菱形位移放大機(jī)構(gòu)固有頻率為1330 Hz，由有限元仿真分析對應(yīng)該階固有頻率為1411.4 Hz，誤差為5.77%，仿真與實(shí)驗(yàn)誤差較小，表明仿真模型比較準(zhǔn)確，可信度比較高。由圖8可以看出，本文提出的雙臂菱形柔性機(jī)構(gòu)與傳統(tǒng)的菱形機(jī)構(gòu)相比，固有頻率有了一定的提高；雙臂菱形柔性機(jī)構(gòu)的固有頻率為1330 Hz，傳統(tǒng)菱形機(jī)構(gòu)固有頻率為1140 Hz，機(jī)構(gòu)固有頻率提高了16.7%，輸出剛度增大了一倍，而位移放大比幾乎不變，充分表明了本文所設(shè)計(jì)機(jī)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)。

圖8 位移放大機(jī)構(gòu)掃頻分析伯德圖Fig.8 Bode diagram of different amplification mechanisms

5 結(jié)語

實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果表明，該雙臂菱形柔性機(jī)構(gòu)的固有頻率比傳統(tǒng)機(jī)構(gòu)提高16.7%，輸出剛度增大一倍，位移放大比為4.2，與傳統(tǒng)機(jī)構(gòu)接近。此外，基于本文建模方法所建立的位移放大比和固有頻率等力學(xué)解析模型可以準(zhǔn)確預(yù)測位移放大機(jī)構(gòu)的靜動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，揭示雙臂菱形柔性位移放大機(jī)構(gòu)各幾何參數(shù)對機(jī)構(gòu)靜、動(dòng)力學(xué)行為的影響，可為機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)和控制設(shè)計(jì)提供較為準(zhǔn)確的依據(jù)。

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TheoreticalDesignandModelingofaNovelPiezo-drivenRhombicFlexureMechanismwithDoubleBeams

JIANG Zhou1CAO Junyi1LING Mingxiang1,2ZENG Minghua1LIN Jing1

1.School of Mechanical Engineering，Xi’an Jiaotong University，Xi’an，710049 2.Institute of System Engineering，China Academy of Engineering Physics，Mianyang，Sichuan，621900

Design and modeling of a new diamond micro-displacement mechanism with double flexible beams was presented to overcome the issue that the output stiffness, natural frequency and displacement amplification ratio of the traditional diamond displacement amplification mechanism might not be improved at the same time. The static analysis model of displacement amplification ratio and input/output stiffness of the mechanism were derived based on Castigliano’s second theorem. Analytical model of natural frequency was also deduced by further employing the Lagrange equation .The finite element analysis was used to verify the accuracy of the analytical models. A prototype of the proposed compliant mechanism was machined by means of electric spark cutting processes and the performance measurement was performed for comparative analysis with the traditional mechanism with the same dimensions. Experimental results show that the natural frequency of the composite compliant mechanism is as 1330 Hz and displacement amplification ratio is as 4.2. In addition, the modeling method and the corresponding theoretical formula proposed herein may provide a useful reference for the optimal design and development of similar displacement amplification mechanisms.

piezoelectric actuator; displacement amplification; flexure hinge; triangle displacement amplification mechanism

TH113.2；TN384

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.21.007

2016-12-05

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51575426，51421004)

(編輯陳勇)

蔣州，男，1993年生。西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。主要研究方向?yàn)閴弘娭悄芙Y(jié)構(gòu)建模與振動(dòng)控制。E-mail：jiangzhou_xy@163.com。曹軍義，男，1977年生。西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院副教授、博士研究生導(dǎo)師。凌明祥，男，1986年生。西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院博士研究生,中國工程物理研究院總體工程研究所工程師。曾明華，男，1993年生。西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。林京，男， 1971年生。西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。