數(shù)學(xué)思想方法助你“飛”得更高

孔德良

有人把數(shù)學(xué)中的“知識技能”與“思想方法”比喻為鳥之雙翼，如果說扎實的數(shù)學(xué)知識和基本技能能夠幫助你在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“飛”得更遠，那么，數(shù)學(xué)思想方法就能夠幫助你“飛”得更高.從“代數(shù)式”這一章內(nèi)容開始，數(shù)學(xué)思想方法將在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中扮演越來越重要的角色，起著越來越重要的作用.下面就選擇本章中主要的幾種數(shù)學(xué)思想方法，通過例題就其在解決問題的過程中的作用予以分析.

一、特殊到一般思想

例1 下面是小朋友用火柴棒拼出的一組圖形：

仔細觀察，找出規(guī)律，解答下列各題：

（1）第四個圖中共有 根火柴，第六個圖中共有 根火柴；

（2）按照這樣的規(guī)律，第n個圖形中共有 根火柴（用含n的代數(shù)式表示）；

（3）按照這樣的規(guī)律，第2 017個圖形中共有多少根火柴？

解析：（1）13；19；（2）3n+1；（3）6052.

總結(jié)：從特殊到一般是數(shù)學(xué)中重要的思維方式之一，也是重要的數(shù)學(xué)思想方法，其特征是通過對特殊現(xiàn)象的認(rèn)識，利用歸納、類比、猜想等方法，探索、發(fā)現(xiàn)一般性結(jié)論.本題通過觀察現(xiàn)有特殊圖形，把形的規(guī)律轉(zhuǎn)化為數(shù)的規(guī)律，再利用數(shù)的一般性結(jié)論，解決形的問題.

二、整體思想

例2 若x2-2x=3，則5x2-10x+1= .

解析：因為x2-2x=3，所以5x2-10x=15，原式=16.

例3 若當(dāng)x=1時，px3+qx+6的值為2013，則當(dāng)x=-1時，px3+qx+6的值為 .

解析：當(dāng)x=1時，得p+q+6=2013，所以p+q=2007，當(dāng)x=-1時，px3+qx+6=-p-q+6，所以，原式=-（p+q）+6=-2007+6=-2001.

例4 已知a+b=3，ab=6，求2a+2b+ab的值.

解析：原式=2（a+b）+ab=12.

總結(jié)：上述三個問題都是求代數(shù)式的值的問題，它們有一個共同的特征——在已知條件中無法求出每個字母的確定值，當(dāng)遇到這種情況時，通常我們可以把一個代數(shù)式看作一個整體，求出它相對應(yīng)的值，再把這個代數(shù)式整體代入所要求值的代數(shù)式中，這就是整體代入、整體求解的數(shù)學(xué)思想方法.希望同學(xué)們在解題時心中有整體意識，用心體會整體思想，并能適時運用.

三、方程思想

例5 若關(guān)于x的多項式（2m-2）x5-3xn+2x-1是三次三項式，求m，n的值.

解析：因為代數(shù)式是關(guān)于x的多項式，所以m、n都是待定字母，由多項式的次項定義得到2m-2=0，從而m=1，n=3.

例6 若兩個關(guān)于x、y的單項式8x3-by3b-3與-axyb+a是同類項，則a+b的值為 .

解析：根據(jù)同類項的定義可以得3-b=1，3b-3=b+a，從而b=2，a=1.

總結(jié)：我們根據(jù)定義列出一個等式，而這個等式中含有字母時，正好就變成了一個方程，從方程中就可以求出這個字母的值.事實上，數(shù)學(xué)中很多的定義都含有相等關(guān)系，我們可以利用方程思想進行求解.

（作者單位：江蘇省無錫市吳風(fēng)實驗學(xué)校）