告訴你“代數(shù)式”背后的故事

曹燕

如果我問(wèn)你，在這個(gè)世界上，你最熟悉的人是誰(shuí)，你肯定會(huì)告訴我，當(dāng)然是媽媽，其次是爸爸.可為什么媽媽是你最熟悉的那個(gè)人呢？可能你會(huì)說(shuō)出很多的理由.但根本原因是，人們?cè)谡J(rèn)識(shí)人物和事物的時(shí)候，總是從最特殊的開(kāi)始，而媽媽就是你最特殊的那一個(gè)，在認(rèn)識(shí)特殊的基礎(chǔ)上再逐步認(rèn)識(shí)一般的.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，同樣如此.從特殊到一般是認(rèn)識(shí)事物的一般規(guī)律，在數(shù)學(xué)上稱之為歸納.“代數(shù)式”的內(nèi)容作為數(shù)學(xué)中非常重要的知識(shí)，我們也要遵循“從特殊到一般，再?gòu)囊话慊氐教厥狻钡囊?guī)律來(lái)認(rèn)識(shí)它.

一、從特殊到一般

我們?cè)诘诙聦W(xué)習(xí)的有理數(shù)，屬于“數(shù)”的范疇，接著學(xué)習(xí)的第三章代數(shù)式，屬于“式”的范疇，從數(shù)到式就是“從特殊到一般”規(guī)律的體現(xiàn).

小學(xué)里我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的面積公式，三角形的面積等于底乘以高除以2.所以，你只要告訴我一個(gè)三角形的底是多少，高是多少，我就可以利用上面的公式計(jì)算出此三角形的面積.如一個(gè)三角形的底為5，高為4，那么這個(gè)三角形的面積為[12]×5×4=10.顯然，三角形有無(wú)數(shù)個(gè)，每次都要根據(jù)不同的底與高進(jìn)行不同的計(jì)算表達(dá)，不是我們數(shù)學(xué)所希望出現(xiàn)的和追求的.因?yàn)閿?shù)學(xué)講究的是最優(yōu)、最簡(jiǎn)、最美.此時(shí)，字母代替數(shù)，也就是我們所說(shuō)的代數(shù)式“粉墨登場(chǎng)”了，不同三角形的底的長(zhǎng)度是一個(gè)具體的數(shù)，我們可以用一個(gè)一般的字母a來(lái)表示，不同三角形的高的長(zhǎng)度是一個(gè)具體的數(shù)，我們可以用一個(gè)一般的字母h來(lái)表示，于是三角形的面積就等于[12]ah，這個(gè)代數(shù)式就可以代表所有三角形的面積值，如果用S來(lái)表示三角形的面積，那么S=[12]ah就是所有三角形的面積計(jì)算公式.可見(jiàn)字母表示數(shù)，是用一個(gè)代數(shù)式代替無(wú)數(shù)個(gè)具體的數(shù)的計(jì)算式子，從特殊走向一般，簡(jiǎn)潔明了，作用非常巨大.

在有理數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們需要驗(yàn)證小學(xué)里算術(shù)中學(xué)習(xí)的加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法對(duì)加法的分配律對(duì)有理數(shù)是否仍然適用，你還記得是如何驗(yàn)證的嗎？如有理數(shù)范圍內(nèi)加法的交換律，我們是通過(guò)5+3=？，3+5=？，5+（-3）=？，（-3）+5=？，（-5）+3=？，3+（-5）=？，（-5）+（-3）=？，（-3）+（-5）=？這幾組特殊的算式逐一進(jìn)行計(jì)算，發(fā)現(xiàn)兩種不同的算法得到的結(jié)果5+3=3+5，5+（-3）=（-3）+5，（-5）+3=3+（-5），（-5）+（-3）=（-3）+（-5）是一樣的，通過(guò)從特殊到一般的歸納，我們就得到了加法交換律a+b=b+a.其他的運(yùn)算律也用相同的方法獲得.

可見(jiàn)，從特殊到一般不僅是日常生活中認(rèn)識(shí)事物的一般規(guī)律，同樣是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的一般規(guī)律，這種方法需要同學(xué)們引起高度的重視.在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，當(dāng)你研究了一些特殊的問(wèn)題之后，不妨想想能不能把這個(gè)特殊情況推廣到一般的情形，這叫特殊問(wèn)題一般化.從上面的研究我們可以看出，從特殊走向一般是一次質(zhì)的飛越，許多規(guī)律和發(fā)明創(chuàng)造就孕育其中.

二、從一般回到特殊

如果說(shuō)用字母表示數(shù)產(chǎn)生代數(shù)式是從特殊的數(shù)到一般的式的飛躍，那么，從代數(shù)式到代數(shù)式的值就是從一般再回到特殊.

例 已知，用下圖中所示的字母表示陰影部分的面積為

解析：圖形由正方形與圓組成，圓半徑為R，正方形邊長(zhǎng)為a，已經(jīng)完成了用一般字母表示具體數(shù)的飛躍，所以，第一個(gè)問(wèn)題就可以直接用一般的代數(shù)式表示出陰影部分的面積為πR2-a2.很顯然，由于半徑用R來(lái)表示，是不確定的值，滿足圓半徑R的值有無(wú)數(shù)個(gè)；同樣，邊長(zhǎng)用a來(lái)表示，也是不確定的值，滿足正方形邊長(zhǎng)a的值也有無(wú)數(shù)個(gè)，代數(shù)式πR2-a2表示的就是一個(gè)大圓中挖去一個(gè)小正方形余下的陰影部分的面積.而下一個(gè)問(wèn)題告訴我們，R=5，a=3，都是具體特殊的數(shù)，說(shuō)明圓的大小與正方形的大小都是唯一確定的，此時(shí)要求陰影部分的面積，實(shí)際上就是求當(dāng)R=5，a=3時(shí)，代數(shù)式πR2-a2的值，只要把R=5，a=3代入代數(shù)式，就可以求出其值為69.5.從上面的分析過(guò)程可以看出，當(dāng)代數(shù)式中字母的具體數(shù)值確定的時(shí)候，求代數(shù)式的值本質(zhì)上就是用具體的數(shù)代替代數(shù)式中的字母，進(jìn)而變成數(shù)的計(jì)算問(wèn)題，這樣，式的問(wèn)題又回到了數(shù)的問(wèn)題.可見(jiàn)，求代數(shù)式的值實(shí)際上就是從一般回到特殊.通過(guò)字母表示數(shù)產(chǎn)生代數(shù)式，從特殊到一般，當(dāng)字母的值確定后，從代數(shù)式回到代數(shù)式的值，又從一般到特殊，正好完成了“特殊——一般——特殊”的循環(huán).

在今后的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中，當(dāng)你遇到要研究一個(gè)一般的問(wèn)題，你又無(wú)法解決時(shí)，不妨先從特殊的情況入手進(jìn)行嘗試，從一般回到特殊，也叫一般問(wèn)題特殊化考慮，相信你會(huì)有更大的收獲.

最后需要告訴同學(xué)們的是：“從特殊到一般，從一般到特殊”是認(rèn)識(shí)生活問(wèn)題、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題非常重要的一種方法.初中階段我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才剛剛開(kāi)始，在今后的學(xué)習(xí)中，同學(xué)們一定要牢記這種方法，并在認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、解決問(wèn)題的過(guò)程中不斷去嘗試和掌握，相信這種方法會(huì)讓你終身受益！

（作者單位：江蘇省宜興市陶都中學(xué)）