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    從“算術(shù)”到“代數(shù)”的飛躍

    2017-11-09 11:35:00浦?jǐn)⒌?/span>
    初中生世界·七年級(jí) 2017年10期
    關(guān)鍵詞:單項(xiàng)式同類(lèi)項(xiàng)算術(shù)

    浦?jǐn)⒌?/p>

    在小學(xué)數(shù)學(xué)里,我們主要學(xué)習(xí)了數(shù)、圖形與數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)三方面的知識(shí),在數(shù)的研究上,重點(diǎn)是數(shù)的認(rèn)識(shí)和計(jì)算,所以小學(xué)數(shù)學(xué)的這塊內(nèi)容可以簡(jiǎn)稱(chēng)為“算術(shù)”.進(jìn)入初中后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),知識(shí)板塊由原來(lái)的三個(gè)變成代數(shù)、幾何、統(tǒng)計(jì)與概率四個(gè),在數(shù)的研究上,從小學(xué)的算術(shù)數(shù)上升到了初中的代數(shù).初中代數(shù)需要經(jīng)歷三次飛躍,其中,第一次是從小學(xué)的算術(shù)數(shù)引進(jìn)負(fù)數(shù)變成有理數(shù),完成數(shù)擴(kuò)充的飛躍,第二次是從小學(xué)具體的數(shù)引進(jìn)抽象的字母,用字母代替數(shù),從特殊到一般,完成數(shù)到式的飛躍,所以初中數(shù)學(xué)的這塊內(nèi)容可以簡(jiǎn)稱(chēng)為“代數(shù)”.由此可以看出,第3章《代數(shù)式》是小學(xué)算術(shù)與初中代數(shù)的分水嶺,也是同學(xué)們?cè)诔踔写鷶?shù)學(xué)習(xí)中必須跨越的第二道坎.那么如何才能學(xué)好本章內(nèi)容呢?

    一、掌握概念本質(zhì)是基礎(chǔ)

    本章中涉及如下幾個(gè)重要概念:一是“代數(shù)式”;二是“單項(xiàng)式”“多項(xiàng)式”與“整式”;三是“代數(shù)式的值”;四是“同類(lèi)項(xiàng)”.

    用加、減、乘、除、乘方等運(yùn)算符號(hào)把數(shù)與表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子叫做代數(shù)式,單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式.從這個(gè)定義中可以看出,在式子中只能出現(xiàn)“數(shù)”“字母”“運(yùn)算符號(hào)”三者,一旦出現(xiàn)等于號(hào)或不等號(hào),就不是代數(shù)式.

    單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱(chēng)為整式.整式是屬于代數(shù)式中的比較簡(jiǎn)單的一類(lèi),整式一定是代數(shù)式,但代數(shù)式不一定是整式,代數(shù)式與整式是一般與特殊的關(guān)系.

    只有數(shù)與字母的積組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式,單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式;幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式都屬于整式,它們與整式也是特殊與一般的關(guān)系,單項(xiàng)式是最簡(jiǎn)單的代數(shù)式.對(duì)于單項(xiàng)式有系數(shù)與次數(shù)的概念;對(duì)于多項(xiàng)式有項(xiàng)、次數(shù)的概念,因?yàn)槎囗?xiàng)式的項(xiàng)是一個(gè)單項(xiàng)式,所以還有項(xiàng)的系數(shù)與項(xiàng)的次數(shù)的概念.

    用具體數(shù)值代替代數(shù)式中的字母,計(jì)算所得的結(jié)果叫做代數(shù)式的值.用字母表示數(shù)就產(chǎn)生了代數(shù)式,讓“數(shù)”的問(wèn)題走向“式”的問(wèn)題,包括“式的認(rèn)識(shí)”與“式的計(jì)算”;而代數(shù)式的值是讓字母回歸到具體的數(shù).代數(shù)式與代數(shù)式的值正好完成了“從特殊到一般”,再“從一般回到特殊”的完整過(guò)程.

    所含字母相同,并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)叫做同類(lèi)項(xiàng).項(xiàng)是針對(duì)多項(xiàng)式而言的,實(shí)際上就是幾個(gè)單項(xiàng)式,所以,同類(lèi)項(xiàng)只會(huì)出現(xiàn)在多項(xiàng)式中.需要注意的是兩個(gè)“相同”的條件必須同時(shí)滿(mǎn)足,才能確定為同類(lèi)項(xiàng).

    二、掌握思想方法是關(guān)鍵

    本章中隱含了許多非常重要的思想方法.用字母表示數(shù)本身就是“字母代數(shù)”思想,又體現(xiàn)了“從特殊到一般”的思想;由于引進(jìn)了字母,字母具有一般性,所以在研究代數(shù)式的問(wèn)題中,往往需要“分類(lèi)討論”;在求解代數(shù)式的值時(shí),有時(shí)需要用到“整體思想”,包含整體代入、整體求解等方法;在研究單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、同類(lèi)項(xiàng)時(shí),往往需要用到“方程思想”.

    例1 我們知道:1+3=4=22;1+3+5=9=32;1+3+5+7=16=42;1+3+5+7+9=25=52…根據(jù)前面各式規(guī)律,可以猜測(cè):1+3+5+7+9+…+(2n-1)= .(其中n為自然數(shù)).

    【分析】本題是一個(gè)規(guī)律探索題,在前面的學(xué)習(xí)中多次遇到,在本章再來(lái)研究,可以加深對(duì)“字母表示數(shù)”的理解.我們發(fā)現(xiàn)等號(hào)的左邊全是連續(xù)奇數(shù)相加的式子,右邊正好是奇數(shù)個(gè)數(shù)的平方,這樣用字母表示數(shù),從特殊到一般,所求左邊式子是n個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和,就可以得出右邊式子是n2的結(jié)論.

    例2 已知a、b互為相反數(shù),c、d互為倒數(shù),[x]=1,求代數(shù)式a+b+x2-cdx的值.

    【分析】因?yàn)閍、b互為相反數(shù),所以a+b=0,因?yàn)閏、d互為倒數(shù),所以cd=1,因?yàn)閇x]=1,這里的x可正可負(fù),需要進(jìn)行分類(lèi)討論,x=±1,所以代數(shù)式a+b+x2-cdx的值為0或者2.

    例3 已知代數(shù)式3x2-4x+6的值為9,求x2-[43]x+6的值.

    【分析】因?yàn)?x2-4x+6=9,從等式中無(wú)法直接求出x的值,所以可以從整體的角度思考,得到3x2-4x=3,從而x2-[43]x=1,把這個(gè)式子整體代入x2-[43]x+6,求出代數(shù)式x2-[43]x+6的值為7.

    例4 關(guān)于x的多項(xiàng)式(m-2)x4-xn+x-1是二次三項(xiàng)式,求m,n的值.

    【分析】這里是關(guān)于x的代數(shù)式,所以,應(yīng)該把m、n作為待定字母.由多項(xiàng)式的項(xiàng)與次數(shù)的定義可知,m-2=0,并且n=2,此處根據(jù)定義得出m-2=0就體現(xiàn)了方程思想,所以m=2,n=2.

    三、掌握解題策略是保障

    本章中的題目類(lèi)型主要有如下幾類(lèi).

    第一類(lèi)是列代數(shù)式.此類(lèi)問(wèn)題本質(zhì)上是把通用的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)獨(dú)有的符號(hào)語(yǔ)言,在列代數(shù)式的過(guò)程中,要遵循先讀先寫(xiě)的原則,并且嚴(yán)格按照代數(shù)式的書(shū)寫(xiě)規(guī)定進(jìn)行,此處不再舉例.

    第二類(lèi)是關(guān)于單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、整式、代數(shù)式等相關(guān)概念的認(rèn)識(shí).

    例5 如果關(guān)于x,y的單項(xiàng)式2mxay與

    -5nx2a-3y的差是一個(gè)單項(xiàng)式.

    (1)求(7a-22)2017的值;(2)若2mxay-5nx2a-3y=0,求(2m-5n)2018的值.

    【分析】關(guān)于x,y的單項(xiàng)式2mxay與-5nx2a-3y的差是一個(gè)單項(xiàng)式,說(shuō)明這兩個(gè)單項(xiàng)式是同類(lèi)項(xiàng),可以合并進(jìn)行整式減法運(yùn)算.根據(jù)同類(lèi)項(xiàng)的定義,得2a-3=a,所以a=3.(1)由a=3,知(7a-22)2017=(-1)2017=-1;(2)因?yàn)?mxay-5nx2a-3y=0,說(shuō)明這兩項(xiàng)是同類(lèi)項(xiàng),可以合并進(jìn)行減法運(yùn)算,所以2m-5n=0,故(2m-5n)2018=0.

    第三類(lèi)是利用直接代入法或間接代入法(整體)求代數(shù)式的值.此類(lèi)問(wèn)題只要嚴(yán)格按照解題步驟,特別需要注意把哪個(gè)式子作為一個(gè)整體,如上面的例3.

    第四類(lèi)是根據(jù)同類(lèi)項(xiàng)的概念,利用去括號(hào)等步驟合并同類(lèi)項(xiàng),進(jìn)行整式的加減運(yùn)算.這類(lèi)問(wèn)題是程序性操作問(wèn)題,課本上都有規(guī)范的解決問(wèn)題的例子,只要嚴(yán)格按照先去括號(hào)、再根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)的法則合并同類(lèi)項(xiàng),直到整式中沒(méi)有同類(lèi)項(xiàng)可以合并就可以了.

    (作者單位:江蘇省無(wú)錫市新吳區(qū)教師發(fā)展中心)endprint

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