基于正交最小二乘法既有線平面線形擬合

石培澤

(西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院， 四川成都 610031)

基于正交最小二乘法既有線平面線形擬合

石培澤

(西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院， 四川成都 610031)

文章為了提高既有線平面線形擬合的精度，探討基于正交最小二乘法擬合線形的方法。首先根據(jù)軌檢小車配合全站儀對(duì)既有線進(jìn)行復(fù)測(cè)得到其坐標(biāo)，并通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換得既有線左右軌的高程，利用計(jì)算所得的既有線線路高程的變化，進(jìn)行平面分界點(diǎn)的判斷分段。根據(jù)分段結(jié)果，分別選取直線、圓曲線上的測(cè)點(diǎn)，利用正交最小二乘法的基本原理，以撥距量的平方和最小為目標(biāo)，擬合直線方程以及圓曲線的曲線半徑和圓心坐標(biāo)。通過實(shí)例驗(yàn)算，利用正交最小二乘法進(jìn)行平面線形擬合，計(jì)算結(jié)果能夠滿足精度要求，且正交最小二乘法的計(jì)算易通過計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)，有較強(qiáng)的適用性。

既有線； 正交最小二乘法； 曲線擬合； 線形分段

鐵路既有線在受到自然環(huán)境以及行車荷載的反復(fù)作用，引發(fā)線路幾何形位的不斷變化，導(dǎo)致曲線地段鋼軌磨耗變形會(huì)不斷的累積，線路的技術(shù)參數(shù)會(huì)不斷的發(fā)生變化[1]。

在曲線地段，軌道經(jīng)過一段時(shí)間的運(yùn)營(yíng)，其平面曲線線形會(huì)發(fā)生較大的變化，嚴(yán)重影響列車運(yùn)營(yíng)的安全、平穩(wěn)和旅客的舒適性，所以需要定期地對(duì)既有線進(jìn)行復(fù)測(cè)，并根據(jù)測(cè)得點(diǎn)的坐標(biāo)，對(duì)曲線進(jìn)行擬合。目前，擬合理論較為成熟的方法有牛頓多項(xiàng)式插值擬合、拉格朗日多項(xiàng)式插值擬合、埃爾米特差值擬合、最小二乘法擬合等。相比于最小二乘法，其他幾種方法計(jì)算量大，且不易計(jì)算，而最小二乘法容易通過計(jì)算機(jī)的簡(jiǎn)單程序?qū)崿F(xiàn)，且能達(dá)到較好的效果。

1 最小二乘法擬合鐵路既有線平面線形的可行性

由擬合的數(shù)學(xué)定義可知：擬合是求得一個(gè)簡(jiǎn)單的，且計(jì)算量小的函數(shù)f(x)，并可以用f(x)近似替代以離散數(shù)據(jù)形式給定的函數(shù)[2]。按最小二乘法的數(shù)學(xué)定義：對(duì)于給定的測(cè)量數(shù)據(jù)p1(x1,y1)、p2(x2,y2)…pn(xn,yn),存在唯一的多項(xiàng)式pn(x)=a0+a1x+…+anxn，且要求多項(xiàng)式盡可能接近給定的數(shù)據(jù)，即：

由最小二乘法的數(shù)學(xué)定義可知，最小二乘法是求一連續(xù)函數(shù)f(x)，使得各離散點(diǎn)到函數(shù)f(x)的距離平方和達(dá)到最小。而鐵路線路在進(jìn)行重構(gòu)時(shí)，是以軌道調(diào)整量總體上達(dá)到最小為最優(yōu)方案，這與最小二乘法的原理，即擬合的各點(diǎn)到函數(shù)距離平方和最小目標(biāo)相同。所以，以最小二乘法擬合鐵路平面曲線是可行的。

2 平面線形分段

鐵路既有線平面由直線、圓曲線和曲率不斷變化的緩和曲線三部分組成。想要根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)擬合出使得既有線線撥距量最小的線形，首先要根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)判斷平面上分界點(diǎn)的位置，即確定直緩(ZH)點(diǎn)、緩圓(HY)點(diǎn)、圓緩(YH)點(diǎn)、緩直(HZ)點(diǎn)的坐標(biāo)位置。

李紅艷[3]通過坐標(biāo)法測(cè)取并計(jì)算各測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)，而后進(jìn)行正矢值的計(jì)算，可根據(jù)正矢值的變化，確定分界點(diǎn)ZH點(diǎn)、HY點(diǎn)的位置。選取圓曲線上的點(diǎn)，擬合其圓心坐標(biāo)以及曲線半徑。但是因?yàn)闇y(cè)量中存在誤差，正矢值不斷的發(fā)生變化，進(jìn)而很難判斷分界點(diǎn)。

陳海軍[4]根據(jù)測(cè)得的測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算出相鄰測(cè)點(diǎn)之間的斜率，并求得相鄰斜率差，根據(jù)斜率差的變化特點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了平面的概略分段，然后通過迭代的方法，不斷逼近分段點(diǎn)的準(zhǔn)確位置，而后分段進(jìn)行擬合。但是，對(duì)于既有線鐵路，由于列車運(yùn)行后，線形已偏離設(shè)計(jì)線位置，且測(cè)量誤差的存在，使得對(duì)分界點(diǎn)的判斷產(chǎn)生誤差。

對(duì)于線路的超高，可根據(jù)軌檢小車配合全站儀對(duì)既有線進(jìn)行復(fù)測(cè)，并通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換得既有線左右軌的高程，利用計(jì)算所得的既有線線路高程的變化，能夠較好較直觀地區(qū)別既有線各特征點(diǎn)[5]。

3 正交最小二乘擬合鐵路平面圓曲線

3.1 求解圓曲線參數(shù)的概略值

式中：x0、y0和R0分別為圓曲線圓心坐標(biāo)和半徑的概略值。

3.2 圓曲線擬合殘差方程推導(dǎo)

假設(shè)某檢測(cè)點(diǎn)pi(xi,yi)到圓曲線(x-X0)2+(y-Y0)2=R2的距離公式為Si，則：

(1)

式中：Si為最小二乘法擬合中pi點(diǎn)的擬合誤差。

設(shè)圓心坐標(biāo)(X0,Y0)概略值為(x0,y0),曲線半徑R的概略值為R0，則：

X0=x0+δx,Y0=y0+δy,R=R0+δR

(2)

將式(2)代入(1)式，并用si代替Si，可得圓曲線在擬合時(shí)的殘差方程；

(3)

將式(3)按泰勒級(jí)數(shù)展開，并保留前兩項(xiàng)，得：

si(x+δx,y+δy,R+δR)=si(x,y,R)+

簡(jiǎn)化上式得：

(4)

式中：

將上述四式代入式(4)得：

(5)

簡(jiǎn)化式(5)，得：

Sy=Aδl-B

其中：

(6)

4 正交最小二乘擬合鐵路平面直線

4.1 求解直線參數(shù)的概略值

根據(jù)線形分段結(jié)果，選取直線上的兩點(diǎn)p1(x1,y1)、pm(xm,ym)，計(jì)算直線的概略方程：y=a0x+b0，其中：

式中：a0、b0分別為直線參數(shù)的概略值。

4.2 直線擬合殘差方程推導(dǎo)

假設(shè)某檢測(cè)點(diǎn)pi(xi,yi)到直線y=ax+b的距離公式為Si，則：

(7)

設(shè)a概略值為a0,b的概略值為b0，則：

a=a0+δa，b=b0+δb

(8)

將式(8)代入式(7)，并用si代替Si，可得直線在擬合時(shí)的殘差方程；

(9)

將式(9)按泰勒級(jí)數(shù)展開，并保留前兩項(xiàng)，得：

簡(jiǎn)化上式得：

(10)

其中：

將上述四式代入式(10)得：

(11)

簡(jiǎn)化式(11)，得：

Sz=Aδl-B

(12)

其中：

式(12)為直線擬合殘差方程，可計(jì)算未知參數(shù)的法方程，從而求得基于正交最小二乘法確定圓曲線的方程：y=ax+b。

5 緩和曲線的確定

緩和曲線是曲率不斷變化的特殊曲線，是連接直線和圓曲線的特殊曲線，當(dāng)圓曲線和直線確定了以后，與之相匹配的緩和曲線是唯一的，具體的計(jì)算見參考文獻(xiàn)[4]，此處不再贅述。

6 擬合精度評(píng)價(jià)

由前文可知，由于軌道變形的原因，實(shí)際測(cè)量結(jié)果與擬合結(jié)果存在偏移量，通常稱擬合殘差。而由數(shù)理統(tǒng)計(jì)與多元統(tǒng)計(jì)可知，誤差方差σ2=Var(s)可以看作是實(shí)測(cè)軌道線形與擬合線形偏差的一種度量[6]。故將殘差方差的大小作為衡量實(shí)測(cè)線形與擬合線形的標(biāo)準(zhǔn)。誤差方差的無偏估計(jì)量：

(13)

式中：n為參與擬合點(diǎn)的個(gè)數(shù)；t為擬合計(jì)算時(shí)的必要測(cè)點(diǎn)數(shù)，直線時(shí)取2，圓曲線時(shí)取3。

7 算例

參照上述計(jì)算，以圓曲線擬合為例，對(duì)上述計(jì)算進(jìn)行驗(yàn)證。以某既有線實(shí)測(cè)曲線數(shù)據(jù)為依據(jù)，實(shí)測(cè)坐標(biāo)如表1所示。

表1 測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)

將上述測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)代入式(6)，并利用MATLAB進(jìn)行編程，計(jì)算可得圓曲線圓心坐標(biāo)為(943.382,606.983)，圓曲線半徑R為799.607 m。則圓曲線的方程為：

(x-943.382)2+(y-606.983)2=799.6072

擬合精度的計(jì)算，如式(13)所示：

(13)

將表1中的坐標(biāo)代入式(13)可計(jì)算得：

σ2=0.057

由數(shù)理統(tǒng)計(jì)與多元統(tǒng)計(jì)可知，σ2越小，殘差平方和S也會(huì)越小[6]，通過計(jì)算σ2=0.057，可知?dú)埐钇椒胶秃苄?，證明圓曲線方程可以很好地?cái)M合測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)。

8 結(jié)論

本文推導(dǎo)以距離殘差平方和最小為原則的圓曲線最小二乘擬合計(jì)算的數(shù)學(xué)模形，通過擬合的方式確定的軌道線形能夠在保證線路平順、規(guī)范的前提下使既有線線路上軌道調(diào)整量整體上達(dá)到最小，從而降低了線路運(yùn)營(yíng)維護(hù)的成本和工作量。

[1] 易思蓉.鐵路選線設(shè)計(jì)[M].成都：西南交通大學(xué)出版社,2004.

[2] 徐躍良.數(shù)值分析[M].成都：西南交通大學(xué)出版社,2004.

[3] 李紅艷,陳治亞,邢誠(chéng).鐵路既有線曲線復(fù)測(cè)計(jì)算方法[J].中國(guó)鐵道科學(xué),2009,30(2).

[4] 陳海軍.既有線線有砟軌道優(yōu)化現(xiàn)行算法研究計(jì)取軟件研制[D].西南交通大學(xué),2013.

[5] 陳峰,楊岳.鐵路既有線復(fù)測(cè)平面曲線優(yōu)化方法[J].鐵道科學(xué)與工程學(xué)報(bào),2012,9(9)：55-57.

[6] 何平.數(shù)理統(tǒng)計(jì)與多元統(tǒng)計(jì)[M].成都:西南交通大學(xué)出版社,2007.

U216.3

A

[定稿日期]2017-06-06

石培澤(1991～)，男，碩士研究生，研究方向?yàn)殍F路既有線重構(gòu)。

住房城鄉(xiāng)建設(shè)部關(guān)于加強(qiáng)歷史建筑保護(hù)與利用工作的通知

建規(guī)[2017]212號(hào)

各省、自治區(qū)住房城鄉(xiāng)建設(shè)廳，海南省規(guī)劃委員會(huì)，直轄市規(guī)劃局(規(guī)劃國(guó)土委、規(guī)劃國(guó)土局)，新疆建設(shè)兵團(tuán)建設(shè)局：

黨中央、國(guó)務(wù)院歷來重視歷史建筑保護(hù)工作。習(xí)近平總書記指出，要保護(hù)弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，延續(xù)城市歷史文脈，保留中華文化基因。要保護(hù)好前人留下的文化遺產(chǎn)，包括文物古跡、歷史文化名城名鎮(zhèn)名村、歷史文化街區(qū)、歷史建筑、工業(yè)遺產(chǎn)以及非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，既要保護(hù)古代建筑，也要保護(hù)近代建筑，既要保護(hù)單體建筑，也要保護(hù)街巷街區(qū)、城鎮(zhèn)格局。為貫徹落實(shí)習(xí)近平總書記系列重要講話精神，進(jìn)一步做好歷史建筑的保護(hù)和利用工作，現(xiàn)通知如下：

一、充分認(rèn)識(shí)保護(hù)歷史建筑的重要意義

歷史建筑是指經(jīng)城市、縣人民政府確定公布的具有一定保護(hù)價(jià)值，能夠反映歷史風(fēng)貌和地方特色，未公布為文物保護(hù)單位，也未登記為不可移動(dòng)文物的建筑物、構(gòu)筑物，是城市發(fā)展演變歷程中留存下來的重要?dú)v史載體。加強(qiáng)歷史建筑的保護(hù)和合理利用，有利于展示城市歷史風(fēng)貌，留住城市的建筑風(fēng)格和文化特色，是踐行新發(fā)展理念、樹立文化自信的一項(xiàng)重要工作。

二、加強(qiáng)歷史建筑的保護(hù)與利用

(一)做好歷史建筑的確定、掛牌和建檔。各地要加快推進(jìn)歷史建筑的普查確定工作，摸清家底，多保多留不同時(shí)期和不同類型的歷史建筑。要注重改革開放前城市近現(xiàn)代建筑遺產(chǎn)的保護(hù)，做到應(yīng)保盡保。建立歷史建筑保護(hù)清單和歷史建筑檔案，對(duì)歷史建筑予以掛牌保護(hù)。

(二)最大限度發(fā)揮歷史建筑使用價(jià)值。支持和鼓勵(lì)歷史建筑的合理利用。要采取區(qū)別于文物建筑的保護(hù)方式，在保持歷史建筑的外觀、風(fēng)貌等特征基礎(chǔ)上，合理利用，豐富業(yè)態(tài)，活化功能，實(shí)現(xiàn)保護(hù)與利用的統(tǒng)一，充分發(fā)揮歷史建筑的文化展示和文化傳承價(jià)值。積極引導(dǎo)社會(huì)力量參與歷史建筑的保護(hù)和利用。鼓勵(lì)各地開展歷史建筑保護(hù)利用試點(diǎn)工作，形成可復(fù)制可推廣的經(jīng)驗(yàn)。同時(shí)探索建立歷史建筑保護(hù)和利用的規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范和管理體制機(jī)制。

(三)不拆除和破壞歷史建筑。各地應(yīng)加強(qiáng)對(duì)歷史建筑的嚴(yán)格保護(hù)，嚴(yán)禁隨意拆除和破壞已確定為歷史建筑的老房子、近現(xiàn)代建筑和工業(yè)遺產(chǎn)，不拆真遺存，不建假古董。

(四)不在歷史建筑集中成片地區(qū)建高層建筑。在歷史文化街區(qū)以及其他歷史建筑集中成片地區(qū)，禁止在對(duì)其歷史風(fēng)貌產(chǎn)生影響的范圍內(nèi)建設(shè)高層建筑和大洋怪的建筑。新建建筑應(yīng)與歷史建筑及其歷史環(huán)境相協(xié)調(diào)，保護(hù)好歷史建筑周邊地區(qū)的歷史肌理、歷史風(fēng)貌，嚴(yán)格按照保護(hù)規(guī)劃要求控制建筑高度。

各省(區(qū)、市)住房城鄉(xiāng)建設(shè)規(guī)劃主管部門要加強(qiáng)指導(dǎo)和監(jiān)督檢查，2017年底前將本通知落實(shí)情況報(bào)我部，我部將適時(shí)組織督查。

摘自中華人民共和國(guó)住房和城鄉(xiāng)建設(shè)部網(wǎng)站