平面問(wèn)題中主應(yīng)變測(cè)量不確定度評(píng)定

朱學(xué)旺，張思箭，劉青林，農(nóng)紹寧

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平面問(wèn)題中主應(yīng)變測(cè)量不確定度評(píng)定

朱學(xué)旺，張思箭，劉青林，農(nóng)紹寧

（中國(guó)工程物理研究院 總體工程研究所，四川 綿陽(yáng) 621999）

實(shí)現(xiàn)平面場(chǎng)中主應(yīng)變的測(cè)量不確定度評(píng)定。首先建立主應(yīng)變的是非線(xiàn)性傳播測(cè)量模型，然后應(yīng)用基于二階TAYLOR級(jí)數(shù)展開(kāi)理論的不確定度傳播方法（LPU方法），開(kāi)展平面問(wèn)題中主應(yīng)變的測(cè)量不確定度評(píng)定。針對(duì)二種常用的應(yīng)變花，建立以主應(yīng)變?yōu)檩敵隽?、以?yīng)變花之三個(gè)方向測(cè)量應(yīng)變?yōu)檩斎肓康臏y(cè)量模型，并將二階LPU方法應(yīng)用于該模型。設(shè)計(jì)數(shù)值計(jì)算算例，以說(shuō)明主應(yīng)變不確定度的評(píng)定過(guò)程和方法，并與一階LPU結(jié)果進(jìn)行了比較。當(dāng)應(yīng)變花三個(gè)方向的應(yīng)變測(cè)量結(jié)果相近時(shí)，文中方法與一階LPU方法獲得的主應(yīng)變的不確定度評(píng)定結(jié)果存在明顯的差異，主應(yīng)變不確定度評(píng)定結(jié)果在數(shù)值上都大于應(yīng)變花測(cè)量的不確定度。當(dāng)應(yīng)變花三個(gè)方向的應(yīng)變測(cè)量結(jié)果相差較大時(shí)，文中方法和一階LPU方法獲得的主應(yīng)變測(cè)量不確定度評(píng)定結(jié)果相差不大。特定情況下，主應(yīng)變的測(cè)量不確定度值遠(yuǎn)大于應(yīng)變花測(cè)量的不確定度，且與一階LPU方法的評(píng)定結(jié)果有顯著差異，二者可相差一倍。

主應(yīng)變；測(cè)量不確定度；二階LPU方法；應(yīng)變花；應(yīng)變狀態(tài)理論

當(dāng)主應(yīng)變作為實(shí)驗(yàn)應(yīng)變測(cè)量的結(jié)果提供時(shí)，應(yīng)該同時(shí)提供其測(cè)量不確定度，這是GUM（Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement[1]），GJB 3756—1999[2]和 JJF 1059—1999[3]的通用要求。一般情況下，主應(yīng)變并不能直接測(cè)量獲得，除非主應(yīng)變方向事先已知。工程中，應(yīng)變花常用于結(jié)構(gòu)表面任意一點(diǎn)的主應(yīng)變測(cè)量，此時(shí)，利用應(yīng)變花直接測(cè)量獲得該點(diǎn)在三個(gè)方向的應(yīng)變，應(yīng)用應(yīng)變狀態(tài)空間理論計(jì)算得出該點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)，進(jìn)而得出該點(diǎn)的主應(yīng)變。因此，主應(yīng)變的測(cè)量不確定度評(píng)定是不確定度的傳播分析的一種應(yīng)用，其測(cè)量模型為主應(yīng)變的計(jì)算公式，測(cè)量模型的輸入是應(yīng)變花三個(gè)方向的應(yīng)變測(cè)量量。

針對(duì)應(yīng)變的直接測(cè)量，其不確定度評(píng)定已有很多研究結(jié)論公布。簡(jiǎn)單地，應(yīng)變測(cè)量的不確定度影響因素源自應(yīng)變片的不確定度[4—5]和應(yīng)變測(cè)量系統(tǒng)的不確定度[6—7]。按照標(biāo)準(zhǔn)推薦的方法，不難合成這兩個(gè)因素的影響而獲得應(yīng)變花每個(gè)方向應(yīng)變測(cè)量的不確定度。

盡管主應(yīng)變測(cè)量模型會(huì)依據(jù)應(yīng)變花的不同結(jié)構(gòu)型式而具有不同的數(shù)學(xué)公式，但是他們具有一個(gè)共同特點(diǎn)：主應(yīng)變的計(jì)算公式都是關(guān)于應(yīng)變花各個(gè)方向應(yīng)變測(cè)量量的非線(xiàn)性函數(shù)。這樣，主應(yīng)變的不確定度傳遞分析便不能直接應(yīng)用GUM，GJB 3756和 JJF 1059等推薦的LPU方法，因?yàn)樵摲椒▋H適用于測(cè)量模型為線(xiàn)性或近似線(xiàn)性的導(dǎo)出測(cè)量量的不確定度傳遞分析。

對(duì)于非線(xiàn)性測(cè)量模型的導(dǎo)出測(cè)量量的不確定度分析，一般可以采用以下三種方法之一，即解析法、MC方法和高階LPU方法[8]。文中嘗試應(yīng)用二階LPU方法對(duì)平面問(wèn)題中的主應(yīng)變測(cè)量不確定度進(jìn)行評(píng)定分析，主應(yīng)變由應(yīng)變花測(cè)量獲得的應(yīng)變直接測(cè)量量導(dǎo)出，而應(yīng)變直接測(cè)量量的不確定度作為已知量處理。首先回顧了平面問(wèn)題的主應(yīng)變測(cè)量模型，給出了兩種不同型式的應(yīng)變花測(cè)量時(shí)的主應(yīng)變計(jì)算公式。其次，介紹了基于二級(jí)Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)理論的LPU方法（簡(jiǎn)稱(chēng)二階LPU方法），并將其應(yīng)用與直角型應(yīng)變花和三角形應(yīng)變花測(cè)量平面應(yīng)變時(shí)的主應(yīng)變分析模型。然后設(shè)計(jì)數(shù)值計(jì)算算例，說(shuō)明文中方法的應(yīng)用并比較主應(yīng)變和應(yīng)變花直接測(cè)量應(yīng)變的不確定度評(píng)定結(jié)果以及一階LPU方法的不確定度評(píng)定結(jié)果。

1 平面問(wèn)題中主應(yīng)變測(cè)量模型

根據(jù)應(yīng)變狀態(tài)理論，無(wú)論是平面應(yīng)力狀態(tài)還是平面應(yīng)變狀態(tài)，結(jié)構(gòu)外表面上任意一點(diǎn)的任意方向的正應(yīng)變（線(xiàn)應(yīng)變）都可以采用規(guī)定坐標(biāo)系下該點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)參數(shù)ε，ε，γ來(lái)描述[9-10]：

應(yīng)用三角公式，式（1）還可以寫(xiě)成：

從式（1）或（2）不難發(fā)現(xiàn)，同一點(diǎn)在不同方向上的正應(yīng)變是不同的，其中存在著正應(yīng)變最大（最?。┑姆较?，這個(gè)最大（最小）的正應(yīng)變稱(chēng)為主應(yīng)變，該方向?yàn)橹鞣较颉?/p>

主應(yīng)變的大小為方程（3）的兩個(gè)解：

將式（1）或（2）代入方程（3），不難獲得主應(yīng)變的值：

對(duì)于直角應(yīng)變花（三個(gè)方向分別為0，45，90，對(duì)應(yīng)的應(yīng)變分別計(jì)為ε1，ε2，ε3），其主應(yīng)變?yōu)椋?/p>

對(duì)于三角形應(yīng)變花（三個(gè)方向分別為0，60，120，對(duì)應(yīng)的應(yīng)變分別計(jì)為ε1，ε2，ε3）, 其主應(yīng)變大小為：

式（5）、（6）為平面問(wèn)題中主應(yīng)變的測(cè)量模型（只列出了兩種應(yīng)變花型式，當(dāng)采用其他型式的應(yīng)變花時(shí)，可寫(xiě)出相應(yīng)的測(cè)量模型）。顯而易見(jiàn)，這些測(cè)量模型是非線(xiàn)性的，當(dāng)進(jìn)行不確定度評(píng)定時(shí)，基于一階Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)的LPU方法是不適用的，以下引入二階LPU方法。

2 二階LPU方法[11—12]

設(shè)導(dǎo)出測(cè)量量是個(gè)直接測(cè)量量（1，2，…，X）作用于測(cè)量模型的輸出，如圖1所示，則測(cè)量模型（測(cè)量函數(shù)）可以表述為：

如果用測(cè)量函數(shù)的二階Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)來(lái)近似表示導(dǎo)出測(cè)量量，則有：

式中：x是直接測(cè)量量X的期望值（均值）。

若個(gè)直接測(cè)量量（1，2，…，X）均為統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，則對(duì)式（2）兩邊進(jìn)行期望值計(jì)算，得到：

式中：(x)為直接測(cè)量量X的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度。

將式（8）和（9）的兩邊分別相減后取平方，然后計(jì)算相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望，有：

式中：γ和κ分別為直接測(cè)量量X的偏度和峭度，分別用三階和四階中心矩定義：

式（9）—（11）組成了基于LPU方法的不確定度傳遞的二階計(jì)算公式。當(dāng)測(cè)量模型為線(xiàn)性關(guān)系或近似線(xiàn)性關(guān)系時(shí)，式（9）和式（10）的右邊僅保留有第一項(xiàng)非0，其余各項(xiàng)均為0，這樣便簡(jiǎn)化為一階LPU計(jì)算公式。

如果作為測(cè)量模型輸入的直接測(cè)量量統(tǒng)計(jì)特性已知或可以假設(shè)，那么式（11）描述的偏度和峭度便容易求得，這樣便可以由公式（10）評(píng)定導(dǎo)出測(cè)量量的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度。對(duì)于式（5）和式（6）描述的測(cè)量模型，其直接測(cè)量量均為應(yīng)變花各個(gè)方向的應(yīng)變測(cè)量量，假設(shè)其滿(mǎn)足正態(tài)分布是合理的一種工程考慮，這樣其偏度和峭度為0和3[13]，于是式（10）簡(jiǎn)化為：

3 二階LPU方法在主應(yīng)變測(cè)量不確定度評(píng)定的應(yīng)用

將式（5）、（6）描述的主應(yīng)變測(cè)量模型分別應(yīng)用于式（10）或式（12），便可以獲得主應(yīng)變的不確定度評(píng)定結(jié)果。

直角應(yīng)變花測(cè)量時(shí)的主應(yīng)變不確定度為：

三角形應(yīng)變花的結(jié)果為：

式中：

4 算例及分析

算例1，應(yīng)變花三個(gè)方向應(yīng)變測(cè)量均值相當(dāng)，三個(gè)方向應(yīng)變測(cè)量的測(cè)量不確定度相同，其主應(yīng)變的均值和不確定度評(píng)定結(jié)果列入表1、表2中。其中，表1為直角應(yīng)變花的主應(yīng)變?cè)u(píng)定結(jié)果，表2 為三角形應(yīng)變花的相關(guān)結(jié)果。為了比較，表1、表2中同時(shí)也列出了一階LPU方法相應(yīng)的評(píng)定結(jié)果。

算例2，當(dāng)應(yīng)變花三個(gè)方向的應(yīng)變測(cè)量均值相差較大時(shí)，三個(gè)方向應(yīng)變測(cè)量的測(cè)量不確定度相同，對(duì)應(yīng)的主應(yīng)變的不確定度評(píng)定結(jié)果列入表3和表4中。其中，表3為直角應(yīng)變花的主應(yīng)變?cè)u(píng)定結(jié)果，表4為三角形應(yīng)變花的相關(guān)結(jié)果。同樣的，表3、表4中同時(shí)也列出了一階LPU方法相應(yīng)的評(píng)定結(jié)果。

觀察表1—4的數(shù)據(jù)不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)應(yīng)變花三個(gè)方向的應(yīng)變測(cè)量結(jié)果相近時(shí)，文中方法與一階LPU方法獲得的主應(yīng)變的不確定度評(píng)定結(jié)果存在明顯的差異，兩種應(yīng)變花測(cè)量情況下都有這種現(xiàn)象。這表明，在特定情況時(shí)，一階LPU方法不適合于主應(yīng)變的不確定度評(píng)定（盡管文中討論不足以說(shuō)明二階LPU方法獲得的不確定度一定是精確的，但是其比一階LPU方法具有更高的精度是不容置疑的）。另外，主應(yīng)變的不確定度與應(yīng)變花各測(cè)量方向應(yīng)變的不確定度之間則沒(méi)有明顯大小關(guān)系。當(dāng)應(yīng)變花三個(gè)方向的應(yīng)變測(cè)量結(jié)果相近時(shí)，主應(yīng)變不確定度評(píng)定結(jié)果在數(shù)值上都大于應(yīng)變花測(cè)量的不確定度。

表1 應(yīng)變測(cè)量值相近時(shí)主應(yīng)變不確定度（με）評(píng)定（直角應(yīng)變花）

表2 應(yīng)變測(cè)量值相近時(shí)主應(yīng)變不確定度（με）評(píng)定（三角形應(yīng)變花）

表3 應(yīng)變測(cè)量值相差時(shí)主應(yīng)變不確定度（με）評(píng)定（直角應(yīng)變花）

表4應(yīng)變測(cè)量值相差時(shí)主應(yīng)變不確定度（με）評(píng)定（三角形應(yīng)變花）

當(dāng)應(yīng)變花三個(gè)方向的應(yīng)變測(cè)量結(jié)果相差較大時(shí)，文中方法和一階LPU方法獲得的主應(yīng)變測(cè)量不確定度評(píng)定結(jié)果相差不大，這時(shí)，可以采用一階LPU方法來(lái)評(píng)定其主應(yīng)變測(cè)量不確定度。簡(jiǎn)單對(duì)式（13）、（14）中的系數(shù)進(jìn)行量級(jí)分析，不難發(fā)現(xiàn)：當(dāng)應(yīng)變花三個(gè)方向的應(yīng)變分別相差一個(gè)量級(jí)時(shí)，系數(shù)都是一個(gè)小量，因此其主應(yīng)變測(cè)量不確定度的二階LPU評(píng)定結(jié)果與一階結(jié)果相差不大。

5 結(jié)語(yǔ)

文中采用基于Taylor級(jí)數(shù)二階展開(kāi)理論的LPU方法，實(shí)現(xiàn)了平面問(wèn)題中主應(yīng)變的標(biāo)準(zhǔn)不確定度評(píng)定。幾種典型測(cè)量數(shù)據(jù)的算例表明，當(dāng)應(yīng)變花的三個(gè)方向測(cè)量值相近時(shí)，二階LPU方法與一階LPU方法所得出的主應(yīng)變不確定度評(píng)定結(jié)果有明顯的差異，而當(dāng)應(yīng)變花三個(gè)方向測(cè)量值相差較大時(shí)，兩種方法獲得的主應(yīng)變不確定度評(píng)定結(jié)果相差不大。

文中討論是在假設(shè)應(yīng)變花三個(gè)方向的應(yīng)變測(cè)量量均為正態(tài)變量時(shí)得出的，這種假設(shè)一般情況下是能夠滿(mǎn)足的。當(dāng)需要考慮應(yīng)變測(cè)量量的其他概率分布影響時(shí)，依然能夠采用類(lèi)似分析來(lái)討論主應(yīng)變的不確定度評(píng)定，只是這時(shí)需要根據(jù)式（11）先求出其偏度與峭度參數(shù)。

文中討論沒(méi)有涉及主應(yīng)變的擴(kuò)展不確定度，是因?yàn)榧词箿y(cè)量量是正態(tài)分布變量，但是其主應(yīng)變的概率分布依然是復(fù)雜的，因此其擴(kuò)展因子的確定并不容易。

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Estimation of Measurement Uncertainty for Principal Strains in Plane Field

ZHU Xue-wang, ZHANG Si-jian, LIU Qing-lin, NONG Shao-ning

(Institute of Systems Engineering, CAEP, Mianyang 621999, China)

To assess the measurement uncertainties of principal strain in plane field.A measurement model of nonlinearity transmission was established for the principle strain. The Law of Propagation of Uncertainty (LPU) approach based on second order Taylor expansion was applied to analyze the measurement uncertainty of the principle strain. The measurement models were established for two typical strain rosettes with the principle strain as the output, the values measured in the three directions of the strain rosettes as the input and the LPU was applied to the models. Numerical examples were designed to illuminate the procedures and methods of assessment and to compare with the first order LPU estimations.When strain rosette strain measurements were close in three directions, uncertainty estimation results of the principal strain obtained through this method and the method of first-order LPU had obvious difference. That of the principal strain was greater than that of the strain rosette in numerical value. When strain rosette strain measurements differ in three directions, the results obtained through this method and the first-order LPU method has little difference.In special circumstances, the uncertainty value of principal strain is higher than those in any direction of rosette and different from the first order evaluations by one time.

principal strain; measurement of uncertainty; second order LPU approach; strain rosette; strain state theory

10.7643/ issn.1672-9242.2017.10.018

TJ01；O211.9

A

1672-9242(2017)10-0092-06

2017-05-01；

2017-05-21

朱學(xué)旺（1963—），男，湖北鄂州人，研究員，主要研究方向?yàn)閺?fù)雜結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)及振動(dòng)環(huán)境試驗(yàn)。