橢圓柱與橢圓錐幾何性質(zhì)的探究

董紅衛(wèi)

摘 要 將圓錐體與圓柱體的底面變換為橢圓，那么橢圓錐的體積還會(huì)是其等底等高橢圓柱體積的三分之一嗎？橢圓柱與橢圓錐的側(cè)面展開圖的面積又是多少？通過定積分計(jì)算中的微元法可以證明橢圓錐的體積是其等底等高橢圓柱體積的三分之一，接下來討論了橢圓柱與橢圓錐側(cè)面展開圖面積的相關(guān)性質(zhì)。

關(guān)鍵詞 橢圓柱 橢圓錐 體積 面積

中圖分類號：018 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2017.09.023

The Geometric Properties of Elliptic Column and Elliptical Cone

DONG Hongwei

（Yili Secondary Vocational Normal School， Yining， Xinjiang 835000）

Abstract By changing the base of a cone and a cylinder into an ellipse， then the volume of the ellipse cone is 1/3 of the volume of its high elliptical column such as the bottom What is the area of the unfolded side of an elliptic column and an elliptic cone By means of the infinitesimal method in definite integral calculation， it can be proved that the volume of elliptical cone is 1/3 of the volume of its high volume elliptical cylinder. Then， the properties of the area of the ellipse and ellipse cone are discussed.

Keywords elliptic cylinder； elliptic cone； volume； area

微積分初步已經(jīng)成為高中數(shù)學(xué)的選修內(nèi)容，這就為我們廣大師生探究某些趣味數(shù)學(xué)知識(shí)提供了一個(gè)有力工具。下面我們就運(yùn)用微積分的知識(shí)探究橢圓柱與橢圓錐的相關(guān)幾何性質(zhì)。首先給出橢圓柱與橢圓錐的定義。

定義1：如圖1，向量 垂直于橢圓，橢圓 沿向量 平移后所得到的圖形稱為橢圓柱。 其中橢圓、橢圓稱為橢圓柱的底面。

定義2：如圖2，向量 垂直于橢圓，點(diǎn)與橢圓 上的點(diǎn)的連線所形成的側(cè)面與 橢圓圍成的幾何體稱為橢圓錐。 其中 橢圓稱為橢圓錐的底面，稱為橢圓錐的頂點(diǎn)。

圖1 圖2

受到等底等高圓柱的體積與圓錐體積關(guān)系的啟發(fā)，我們可以猜想下面的性質(zhì)：

性質(zhì)1：橢圓錐的體積等于同底等高橢圓柱體積的三分之一。

證明：設(shè)底面橢圓的面積為，高為，于是橢圓柱的體積。

下面求橢圓錐的體積。由于橢圓錐不是旋轉(zhuǎn)體，微積分中旋轉(zhuǎn)體的體積公式對此失效。這里我們使用微元法，以橢圓錐的頂點(diǎn)為原點(diǎn)， 為軸，如圖3。用去截橢圓錐所得橢圓截面的面積為（），于是可得：

圖3

由微元法可得：橢圓錐的體積

，于是，即橢圓錐的體積等于同底等高橢圓柱體積的三分之一。

盡管不是所有的橢圓都相似，但由上面的性質(zhì)我們很容易得到：等底等高的橢圓錐的體積都相等。

定義3：用平行于橢圓錐底面的截面去截橢圓錐后，余下的臺(tái)體部分稱為橢圓臺(tái)。

性質(zhì)2：設(shè)橢圓臺(tái)的上底面為，下底面為

，高為，則橢圓臺(tái)的體積

。

證明：由圖4可得：橢圓臺(tái)的高，由性質(zhì)1的證明過程我們可以得到圓臺(tái)的體積

由，得式子

=

于是性質(zhì)2成立。

接下來討論橢圓錐側(cè)面積的相關(guān)問題，由于橢圓錐不是旋轉(zhuǎn)體，其側(cè)面展開圖又不是扇形，這就給橢圓錐側(cè)面積的計(jì)算帶來極大的困難。橢圓錐的側(cè)面積至今尚無精確值的計(jì)算方法，在這里我們給出一個(gè)橢圓錐側(cè)面積的取值范圍。

性質(zhì)3：設(shè)橢圓錐的側(cè)面積為，則：

為了方便大家理解，我們先來證明：

設(shè)橢圓錐底面的方程為：，由圖5可得這個(gè)橢圓外切于以短軸為直徑的圓，稱為；同時(shí)這個(gè)橢圓內(nèi)切于以長軸為直徑的圓，稱為，這樣我們就可以得出橢圓錐的側(cè)面面積在以為 底面的圓錐與以為底面的同高圓錐的側(cè)面面積之間。

相仿的可以得到。 于是有：。

通過上面的過程你會(huì)發(fā)現(xiàn)，這個(gè)估計(jì)的范圍誤差比較大，原因是底面周長有縮放、參數(shù)又有縮放，就造成了整體縮放的范圍較大。為了減小這個(gè)縮放，使得不等式的估計(jì)范圍縮小。我們可以用截面周長的真實(shí)值來代替圓的周長作為積分微元。于是得到：

化簡得：

通過上面的分析計(jì)算我們得到了的一個(gè)更合理的取值范圍，而橢圓錐的側(cè)面積的精確值更接近哪個(gè)值，則取決于底面橢圓的離心率，當(dāng)離心率接近于1時(shí)，接近于；當(dāng)離心率接近于0時(shí)，接近于， 更具體的定量關(guān)系，有興趣的讀者可以做進(jìn)一步的探究。

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