基于三相量實(shí)現(xiàn)正弦信號(hào)非同步采樣的精確頻率測量

嚴(yán)結(jié)實(shí) 王文靜

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基于三相量實(shí)現(xiàn)正弦信號(hào)非同步采樣的精確頻率測量

嚴(yán)結(jié)實(shí)1王文靜2

（1. 西安西電自動(dòng)化控制系統(tǒng)有限責(zé)任公司，西安 710043；2. 西電通用電氣自動(dòng)化有限公司，西安 710018）

在電能質(zhì)量監(jiān)測和繼電保護(hù)裝置研制中，精確頻率測量是所有電參數(shù)精確測量的前提和基礎(chǔ)。對有限頻偏的正弦信號(hào)，為實(shí)現(xiàn)非同步采樣條件下精確頻率測量，應(yīng)用相量理論。本文首先提出三相量測量原理，給出理論推導(dǎo)和仿真驗(yàn)證；其次引用DFT變換，用各序列的實(shí)部、虛部進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算，同樣實(shí)現(xiàn)非同步采樣情況下的精確頻率測量。對比仿真驗(yàn)證結(jié)果表明，兩種方法仿真結(jié)果完全一致，印證了基于三相量實(shí)現(xiàn)非同步采樣精確測頻方法的正確性。此結(jié)論為電力測量裝置、保護(hù)裝置的研發(fā)提供了一條非常有意義的精確測頻方法。

相量；非同步采樣；DFT；頻率測量

在電能質(zhì)量監(jiān)測和繼電保護(hù)裝置研制中，保持對交流電信號(hào)的同步采樣是準(zhǔn)確獲得基礎(chǔ)數(shù)據(jù)的前提和必要條件，但實(shí)際的電網(wǎng)頻率會(huì)在基頻點(diǎn)上產(chǎn)生一定的偏差或擺動(dòng)。在信號(hào)離散化時(shí)，多數(shù)情況下是按基頻的整倍數(shù)進(jìn)行采樣，以此數(shù)據(jù)進(jìn)行電參數(shù)計(jì)算，但會(huì)因非同步采樣產(chǎn)生功率泄漏和柵欄效應(yīng)[1]，造成一定的誤差，有些誤差可以被允許，有些誤差會(huì)導(dǎo)致測量或保護(hù)的誤判，甚至造成事故。因此，當(dāng)今數(shù)字化裝置首先要精確測量的物理量就是交流電信號(hào)的頻率，以此精準(zhǔn)頻率為參考實(shí)現(xiàn)同步采樣，經(jīng)DFT求解相關(guān)電參數(shù)，如電流、電壓、相位、功率等，以及進(jìn)行電能質(zhì)量分析和保護(hù)算法的計(jì)算。

對頻率的測量有許多途徑和方法，如純硬件（含F(xiàn)PGA）測周測頻法[2]、經(jīng)DFT變化的單峰值插值法[3-4]或雙峰值插值法[5]、DFT變換中修正相角差測頻法[6]、DFT變換中修正正弦因子迭代法[7]、DFT變換中相量修正測頻法[8]、修正時(shí)域序列的DFT變換法[9-11]，其他方法[12-15]等，各種方法仿真都能實(shí)現(xiàn)較準(zhǔn)確測頻，測量誤差小于指定誤差，滿足工程應(yīng)用需求，但有一點(diǎn)是相同的，即都是基于非同步采樣下的DFT，且在實(shí)際測頻計(jì)算中，均采用了近似或逼近的計(jì)算方法。經(jīng)過研究分析，本文提出了基于三相量實(shí)現(xiàn)非同步采樣的精確測頻，并且假定在構(gòu)建向量采樣的時(shí)間區(qū)間內(nèi)，頻偏保持不變，即當(dāng)=50Hz+D時(shí)，D為常數(shù)，理論計(jì)算可以做到無誤差測頻。

1 三相量實(shí)現(xiàn)精確頻率原理

設(shè)被測信號(hào)為單頻正弦信號(hào)，其指數(shù)形式表示為

式中，為幅值；為初相；為信號(hào)頻率；待測。它會(huì)在基頻點(diǎn)50Hz附近，產(chǎn)生一定范圍的相對緩變的頻偏，例如D≤±5Hz。對此信號(hào)以間隔為s進(jìn)行等間隔采樣，s為采樣周期，設(shè)0為理想基頻，例如0=50Hz，單周期采樣點(diǎn)，取采樣頻率s= 1/s=·0，因?yàn)閷y量頻率，一般s≠·，所以此采樣屬于等間隔非同步采樣，對()進(jìn)行離散化，其序列為()，表示如下：

對離散序列()，分別右移1個(gè)s點(diǎn)和2個(gè)s點(diǎn)，構(gòu)建兩個(gè)新序列1()、2()，表示如下：

以式（5）做相量圖，用代表()、用代表1()、用代表2()。還假設(shè)在構(gòu)建離散序列()的兩個(gè)周期時(shí)間內(nèi)，頻偏保持不變，即=50Hz+D，D在兩個(gè)周期采樣時(shí)間內(nèi)保持不變，這個(gè)假設(shè)符合實(shí)際電網(wǎng)運(yùn)行情況，即在兩個(gè)周期時(shí)間內(nèi)認(rèn)為電網(wǎng)頻率保持不變，這樣，所構(gòu)建的3個(gè)相量的特點(diǎn)就是幅值相等，兩兩間相角差恒定，如圖1所示。

圖1 三相量圖

在圖1中，依據(jù)相量合成法則，求相量與相量之和，即+，其交點(diǎn)位于的延長線上，虛線表示，連接交于點(diǎn)，則四邊形為等邊菱形，如圖2所示。

圖2 相量合成圖

則有

與為同方向相量，D≌D

又∵ ||=||·cos

||=||兩相量幅值相等

與為同方向相量

∴=·cos

由式（6）可知，對于按式（2）、式（3）、式（4）構(gòu)建采樣序列，以相量表示，相量與相量之和的一半和相量為同方向相量，二者的比值必為標(biāo)量，其大小為相量夾角的余弦值。參考式（5），可以用1、2三相量代入式（6）得式（7），這樣將采樣序列()、1()、2()與被測頻率建立起直接函數(shù)表達(dá)，令

由式（7）、式（9）知，只要知道3個(gè)采樣序列，就可以準(zhǔn)確地計(jì)算出待測頻率，s為采樣頻率屬已知量。當(dāng)然信號(hào)采樣應(yīng)滿足采樣定理，進(jìn)行等間隔采樣，對是否滿足同步采樣不做要求，這點(diǎn)對實(shí)際應(yīng)用很有意義。

從上述論證中可以得到如下結(jié)論。

1）設(shè)定被測正弦信號(hào)含有緩變頻偏，即=0+D，0為理論基頻，對信號(hào)按s=·0進(jìn)行均勻采樣，一般s≠·，不滿足同步采樣，所以，這樣的采樣為均勻非同步采樣。

2）再設(shè)定在+2個(gè)采樣時(shí)間內(nèi)，D保持恒定，以此來構(gòu)建()、1()、2()采樣序列，應(yīng)用式（8）、式（9）可以求得所在+2采樣時(shí)間段的精確頻率。

3）按此思路，對+2之后每來一個(gè)采樣點(diǎn)，就能構(gòu)建3個(gè)新的采樣序列()、1()、2()，就能精確測量頻率一次，所以除第一次需要(2)s時(shí)間外，隨后每來一個(gè)采樣點(diǎn)都能精確測頻一次。

4）此方法最大特點(diǎn)是，將采樣序列與待測頻率建立起直接運(yùn)算關(guān)系，如式（8）、式（9），其次是頻偏大小不影響頻率測量精度。這為快速精確計(jì)算電網(wǎng)頻率提供一種很好的途徑。

2 實(shí)例仿真驗(yàn)證

設(shè)待測信號(hào)為

式中，=10，=p/6，=45.00～54.99Hz，理論基頻0=50Hz，采樣頻率為s=·0（Hz），為每周波采樣點(diǎn)數(shù)，取=64，參考式（2）、式（3）、式（4），構(gòu)建3個(gè)采樣序列()、1()、2()，取主周期序列表示如下：

通過Matlab[10]進(jìn)行仿真，不失一般性，頻點(diǎn)隨機(jī)設(shè)置，仿真結(jié)果見表1。

表1 三相量頻率測量仿真結(jié)果

從仿真結(jié)果說明，以基頻點(diǎn)為中心，給定一定范圍內(nèi)一定精度的任意頻率，通過構(gòu)建3個(gè)相量可準(zhǔn)確地求解出被測頻率，此結(jié)論為電力測量裝置、保護(hù)裝置的研發(fā)奠定了一條非常有意義的精確頻率測量的快速途徑。

表2 高精度顯示仿真結(jié)果

但是，依據(jù)式（8）、式（9）的求解，因兩種運(yùn)算會(huì)給實(shí)際應(yīng)用帶來較大工作量，影響到裝置的實(shí)時(shí)性、或者因需要高性能處理芯片增加成本，這兩種運(yùn)算一是相量相除（因較大），二是求反余弦。對求反余弦函數(shù)，在一定精度范圍內(nèi)，應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)也可以近似求解求反余弦函數(shù)，參看第4節(jié)；對相量相除或求逆運(yùn)算，因=64，運(yùn)算量較大，能否換一種思路，將獲得的采樣序列()、1()、2()經(jīng)DFT變換轉(zhuǎn)化成對應(yīng)的實(shí)部、虛部，再應(yīng)用式（8）、式（9）求解。

3 基于DFT求解測頻計(jì)算

參考三相量表達(dá)式（5）和三相量圖1，對離散信號(hào)()、1()、2()，取其主周期序列分別進(jìn)行基波頻率的DFT變換，則

對等間隔同步采樣，式（12）、式（13）、式（14）表示如下：

則式（8）可寫成

代入式（8）得

此時(shí)，令

將、代入上式得

從上述證明中，可以得到：①對帶有頻偏的正弦信號(hào)，只要均勻采樣，不管是否同步，按式（2）、式（3）、式（4）要求所構(gòu)建采樣序列，取其DFT變換的實(shí)部、虛部，代入式（8）求比值，其值恒為一常量；②其比值的大小等于相量旋轉(zhuǎn)角的余弦值，且此值不受是否同步采樣的影響，只要滿足均勻采樣即可，這點(diǎn)為工程應(yīng)用奠定了理論基礎(chǔ)；③用式（9）即可準(zhǔn)確求得信號(hào)頻率，此結(jié)果與相量計(jì)算結(jié)果相同，從理論上得到相互印證。所以，此方法先求三序列的DFT，并令

在求得值后，應(yīng)用式（9）即可求得待測頻率。這樣式（9）、式（27）將是工程化應(yīng)用的準(zhǔn)確計(jì)算頻率的核心公式。那么這兩種仿真計(jì)算的結(jié)果一致嗎?取表1的部分?jǐn)?shù)據(jù)重做仿真，仿真結(jié)果見表3，結(jié)果是兩者完全相同。

表3 基于DFT的三相量仿真結(jié)果

此仿真結(jié)果進(jìn)一步說明，對于非同步采樣構(gòu)建三相量應(yīng)用DFT求比值實(shí)現(xiàn)精確測頻方法的正確性。

4 小頻偏條件下的反余弦近似求解

（0＞＞D） （28）

對測量頻率分辨率小于0.1Hz的，采用一階泰勒級(jí)數(shù)展開，即

對測量頻率分辨率小于0.01Hz的，采用二階泰勒級(jí)數(shù)展開，即

一旦解算出，則待測頻率為

對式（30）、式（31）、式（32）驗(yàn)證較為簡單，在此不做闡述。

5 結(jié)論

本文從相量分析的角度，提出了構(gòu)建三相量序列實(shí)現(xiàn)非同步采樣情況下精確頻率測量，應(yīng)用Matlab給出了各種高精度頻偏的仿真驗(yàn)證，其結(jié)果與理論分析完全一致；其次引用非同步采樣條件下的DFT變換，用各自序列的實(shí)部、虛部進(jìn)行推導(dǎo)和計(jì)算，同樣實(shí)現(xiàn)了非同步采樣情況下精確頻率測量，此結(jié)論為電力設(shè)備智能化研制中的測頻技術(shù)提供了非常有價(jià)值的解決方案，也為精準(zhǔn)計(jì)算電參數(shù)奠定了可借鑒的理論基礎(chǔ)；本文最后結(jié)合實(shí)際工程應(yīng)用，提出了應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)近似求解反余弦函數(shù)的快速方法，也具有一定的實(shí)用意義。

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Nonsynchronous Sampling Precise Frequency Measurement for Sine Signal based on Three-phase Sequence

Yan Jieshi1Wang Wenjing2

(1. Xi’an XD Automated Control System Co., Ltd, Xi’an 710043;2. XD-GE Automation Co., Ltd, Xi’an 710018)

The development of power quality monitoring and relay protection device，precise frequency measurement is the prerequisite and basis for accurate measurement of all electrical parameters. The thesis uses sequence theory to realizeprecise frequency measurement at nonsynchronous sampling condition for limited frequency deviation sine signal. Firstly, elucidated three-phase sequence measurement theory, gave theoretical derivation and simulation verification. Secondly, used DFT transform, calculated with real and imaginary parts of the three-phase sequence, also completedprecise frequency measurement at nonsynchronous sampling condition. Compared the simulation and verification. The two simulation resultsare the same. This conclusion shows that nonsynchronous samplingbase on three-phase sequence for precise frequency measurement is right. This conclusion provides a very meaningful method of precise frequency measurement for the research and development of electric power measuring device and protection device.

phase sequence; nonsynchronous sampling; DFT; frequency measurement

嚴(yán)結(jié)實(shí)（1963-），男，碩士研究生，高級(jí)工程師，主要從事電力控制與保護(hù)方面的研究和技術(shù)管理工作。

陜西省重大科技創(chuàng)新專項(xiàng)（2016ZKC01-20）