悟透導數本質 探析物理變化率問題

(湖北省武漢市黃陂區(qū)教學研究室，湖北 武漢 430300)

悟透導數本質探析物理變化率問題

唐克明

(湖北省武漢市黃陂區(qū)教學研究室，湖北 武漢 430300)

通過高中數學導數知識的學習，強化了學生的數學能力，豐富了物理問題解決的途徑。本文闡釋了導數本質、幾何意義、物理意義，并應用求導的數學工具，簡單明了、形象直觀地探討一些物理現象和實例，總結物理學中變化率問題的處理思路，這有益于高三復習中的數理學科綜合，有益于培養(yǎng)學生應用數學知識解決物理問題的能力。

導數；變化率；數學知識；物理問題

1 引言

導數的知識已納入高中數學教材，在數學高考中已作為必考內容，這是新課改的一大亮點，為高中生解決物理問題增添了有力的數學工具。鑒于這部分知識是在高二下學期學完，那么在高三的一輪復習中，可以有意識地指導學生利用導數知識重新認識物理概念，同時培養(yǎng)學生應用導數分析物理問題的能力。

2 導數知識的回顧

17世紀力學、航海、天文等方面取得了突飛猛進的發(fā)展，這些發(fā)展對數學提出了新的要求，其中“根據物體的路程關于時間的函數求速度和加速度、求已知曲線的切線”這兩類問題直接導致了導數的產生。

2.1 導數的定義

2.2 導數的本質與幾何意義

由導數的定義可知“導數表示函數在某一點處由于自變量變化所引起的函數變化的快慢程度，即表示函數變化的變化率，但在數學上一般都稱為導數”，我們可以認為導數的本質就是函數的變化率。

圖1

2.3 導數的物理意義

關于導數的物理意義沒有一個統(tǒng)一的說法，對于不同的物理問題有不同的意義，凡是在物理問題中，涉及物理量的變化率的問題，一般都是利用導數來解決。

在導體中，通過橫截面的電量Q是時間t的函數，即Q(t)，則Q(t)對時間t的導數，就是電流強度I(t)=Q′(t)，即是電量對時間的變化率。

3 問題例析

3.1 探討“氣球膨脹率”

生活中很多人都看到過這樣一個物理現象：在給氣球打氣的過程中，發(fā)現隨著氣球內空氣容量的增加，氣球的半徑增加得越來越慢。這一現象稱之為“氣球膨脹率”,即半徑隨容積變化的快慢，從物理學的角度可以定性分析，但要定量描述這一現象，還需要借助數學工具來探討。若對這一物理現象作如下的導數分析，能啟迪學生的思維，有益于學生“應用數學知識解決物理問題能力”的培養(yǎng)，分析如下。

圖2

3.2 探討“萬有引力隨物體離地高度h增大，減少得越來越慢”

圖3

圖4

3.3 探討“高臺跳水，速度的變化”

3.4 探討“簡諧運動，速度隨位移的變化快慢”

圖5

圖6

拓展探究：振子m的動能Ek，隨時間t的變化快慢；隨位移x的變化快慢。

圖7

4 小結

在物理學中，要探討物理量的變化率問題，可用物理規(guī)律建立兩者間的函數關系，用計算機作出它們的函數圖像，用導數的幾何意義或原函數一階導數的單調性來判斷解決，這是我們解決物理學中關于變化率問題的思路。

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