常見(jiàn)最值問(wèn)題與恒成立、存在性問(wèn)題探究

范 林，李 艷

(寶應(yīng)縣氾水高級(jí)中學(xué)，江蘇 寶應(yīng) 225819)

常見(jiàn)最值問(wèn)題與恒成立、存在性問(wèn)題探究

范 林，李 艷

(寶應(yīng)縣氾水高級(jí)中學(xué)，江蘇 寶應(yīng) 225819)

高一函數(shù)值域后續(xù)內(nèi)容有最值問(wèn)題，尤其是高二命題和導(dǎo)數(shù)中常見(jiàn)用參數(shù)分離求最值的題目。教學(xué)時(shí)要重點(diǎn)講清、講透這類問(wèn)題的解題方法，讓學(xué)生從本質(zhì)上理解這類問(wèn)題的知識(shí)根源和解決方法。

函數(shù)單調(diào)性；函數(shù)最值；恒成立；存在性問(wèn)題

求函數(shù)最值或不等式恒成立、存在性問(wèn)題是高考的重點(diǎn)，也是高中學(xué)生感到有難度的內(nèi)容。教學(xué)時(shí)要重點(diǎn)講清、講透這類問(wèn)題的解題方法，讓學(xué)生從本質(zhì)上理解這類問(wèn)題的知識(shí)根源和解決方法。

1 第一類問(wèn)題： 二次函數(shù)的最值問(wèn)題

二次函數(shù)的解題基本規(guī)律：1) 確定函數(shù)的單調(diào)性。2) 確定函數(shù)的最值點(diǎn)。

例1求函數(shù)y=x2+4x+1的最小值。

例2求函數(shù)y=x2+4x+1，x∈[-1，0]的最小值[1]。

錯(cuò)解： 由最值公式得

正解：y=x2+4x+1的對(duì)稱軸方程為x=-2，y=x2+4x+1在區(qū)間[-1，0]為單調(diào)增函數(shù)，所以

ymin=(-1)2+4×(-1)+1=1-4+1=-2。

求給定區(qū)間的函數(shù)最值，一般先判斷函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性，再確定函數(shù)的最值點(diǎn)。求含參數(shù)的二次函數(shù)給定區(qū)間的最值的方法相同。

例3求函數(shù)y=x2-2ɑx+1，x∈[1，2]的最大值與最小值[2]。

解y=x2-2ɑx+1的對(duì)稱軸方程為x=ɑ。

當(dāng)ɑ≤1時(shí)，y=f(x)在區(qū)間[1，2]為單調(diào)增函數(shù)，所以

f(x)min=f(1)=2-2ɑ，

f(x)max=f(2)=5-4ɑ。

當(dāng)1<ɑ<2時(shí)，

f(x)min=f(ɑ)=1-ɑ2。

f(x)max=f(2)=5-4ɑ；

f(x)max=f(1)=2-2ɑ。

當(dāng)ɑ≥2時(shí)，y=f(x)在區(qū)間[1，2]為單調(diào)減函數(shù)，故

f(x)max=f(1)=2-2ɑ，

f(x)min=f(2)=5-4ɑ。

通過(guò)討論函數(shù)的單調(diào)性，可以將函數(shù)的圖象大致畫出來(lái)，進(jìn)而直觀地判斷函數(shù)的最值點(diǎn)，利用對(duì)稱軸從左到右移動(dòng)產(chǎn)生于區(qū)間的位置關(guān)系可以做到不遺不漏，解題思路條理分明。

例4求y=x2-2x+1在區(qū)間[m，m+1]的最大值與最小值[3]。

這屬于“定軸動(dòng)區(qū)間”問(wèn)題，方法與例3一樣，按照對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系依次考慮函數(shù)的單調(diào)性來(lái)確定函數(shù)的最值。

解y=x2-2x+1的對(duì)稱軸方程為x=1。

當(dāng)m≥1時(shí)，y=f(x)在區(qū)間[m，m+1]為單調(diào)增函數(shù)，所以

f(x)min=f(m)=m2-2m+1，

f(x)max=f(m+1)=m2。

當(dāng)m<1

f(x)min=f(1)=0。

f(x)max=f(m+1)=m2；

f(x)max=f(m)=m2-2m+1。

當(dāng)m+1≤1，即m≤0時(shí)，y=f(x)在區(qū)間[m，m+1]為單調(diào)減函數(shù)，所以

f(x)min=f(m+1)=m2，

f(x)max=f(m)=m2-2m+1。

綜上，

二次函數(shù)問(wèn)題是初中和高中知識(shí)的連接點(diǎn)，也是初中知識(shí)在高中的拓深。

2 第二類問(wèn)題： 恒成立問(wèn)題和存在性問(wèn)題

恒成立問(wèn)題是求最值的一個(gè)運(yùn)用。

例5對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式x2-2ɑx+1>0恒成立，求實(shí)數(shù)ɑ的取值范圍[4]。

解1(最值法) 記f(x)=x2-2ɑx+1，因?yàn)?x∈R，f(x)>0恒成立，所以

f(x)min=f(ɑ)=1-ɑ2>0，

即-1<ɑ<1。

解2(圖象法) 記f(x)=x2-2ɑx+1，因?yàn)?x∈R，f(x)>0恒成立，所以y=f(x)的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，

△=4ɑ2-4<0，

即-1<ɑ<1。

最值法采用數(shù)學(xué)整體思想來(lái)解題。圖象法利用圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)解題，但只限二次函數(shù)且定義域是全體實(shí)數(shù)，若不是二次函數(shù)，必須大致畫出圖象。圖象不好畫出的函數(shù)，圖象法不是首選。

解3(參數(shù)分離法) 因?yàn)閤2-2ɑx+1>0，所以2ɑx

當(dāng)x=0時(shí)，0<1，成立，所以ɑ∈R。

當(dāng)x>0時(shí)，

記

所以ɑ

當(dāng)x<0時(shí)，

記

所以ɑ>g(x)min=1，即ɑ>-1。

綜上，-1<ɑ<1。

可以發(fā)現(xiàn)，參數(shù)分離法是求給定區(qū)間恒成立問(wèn)題和存在性問(wèn)題的重要方法。

例6對(duì)任意x∈[1，2]，x2-2ɑx+1>0恒成立，求實(shí)數(shù)ɑ的取值范圍[5]。

記f(x)=x2-2ɑx+1，因?yàn)閥=f(x)的定義域?yàn)閇1，2]，這時(shí)選取參數(shù)分離法會(huì)簡(jiǎn)單一些。

解因?yàn)閤2-2ɑx>0，所以2ɑx

記

存在性問(wèn)題究其解題根源也是最值問(wèn)題。

例7存在實(shí)數(shù)x∈R，x2-2ɑx+1<0成立，求實(shí)數(shù)ɑ的取值范圍[6]。

解1(最值法) 記f(x)=x2-2ɑx+1，因?yàn)?/p>

f(x)min=f(ɑ)=1-ɑ2<0，

所以ɑ<-1或ɑ>1。

解2(圖象法) 記f(x)=x2-2ɑx+1，y=f(x)的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，所以

△=4ɑ2-4>0，

即ɑ<-1或ɑ>1。

例8存在實(shí)數(shù)x∈[1，2]，x2-2ɑx+1<0成立，求實(shí)數(shù)ɑ的取值范圍。

解(參數(shù)分離法) 因?yàn)閤∈[1，2]，x2-2ɑx+1<0，所以

記

綜上，對(duì)于恒成立問(wèn)題和存在性問(wèn)題，利用參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，可總結(jié)如下規(guī)律：

1) ?x∈[ɑ，b]，m>f(x)?m>f(x)max。

2) ?x∈[ɑ，b]，m

3) ?x∈[ɑ，b]，m>f(x)?m>f(x)min。

4) ?x∈[ɑ，b]，m

3 結(jié)束語(yǔ)

求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題或值域問(wèn)題，要結(jié)合函數(shù)圖象和函數(shù)單調(diào)性，特別是動(dòng)軸定區(qū)間和定軸動(dòng)區(qū)間問(wèn)題。對(duì)于恒成立問(wèn)題和存在性問(wèn)題可結(jié)合最值法、圖象法、參數(shù)分離法求解。

[1] 宋驗(yàn)兵.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題[J].新課程(教研),2011(7):61.

[2] 史艷波.淺談二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求法[J].中學(xué)生數(shù)理化(學(xué)習(xí)研究),2016(10):17.

[3] 王伯平.二次函數(shù)的最值[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué),2013(13):22-24.

[4] 楊春梅.高中數(shù)學(xué)中恒成立問(wèn)題的解析[J].高等函授學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2010(6):80-82.

[5] 郭喜紅.高中數(shù)學(xué)不等式恒成立問(wèn)題的解題思路研究[J].數(shù)理化解題研究(高中版),2013(12):22.

[6] 玄建.三種含參數(shù)不等式成立問(wèn)題[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)(高中版),2017(7):33-34.

〔責(zé)任編輯： 盧 蕊〕

Theresearchoncommonmaximum-and-minimumproblem,permanence,andexistence

FAN Lin , LI Yan

(Fan shui bao ying county senior high school, Baoying 225819, China)

Students in senior one start to learn Maximum-and Minimum after finishing the study of function value.Especially in senior two, after learning proposition and derivative, it is common for students to get maximum and minimum by using parameter separation. So teachers need to focus on the solution of this kind of problem, to make students understand the essence of this problem and the general approaches to this problem.

function monotonicity; maximum and minimum of function; permanence; existence

G633.62

B

1008-8148(2017)04-0122-03

2017-06-06

范 林(1982—)，男，江蘇揚(yáng)州人，一級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究；李 艷(1984—)，女，江蘇揚(yáng)州人，二級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究。