基于Kriging替代模型的地下水污染監(jiān)測井網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)

范 越,盧文喜*,歐陽琦,常振波,李孟南,羅建男

基于Kriging替代模型的地下水污染監(jiān)測井網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)

范 越1,2,盧文喜1,2*,歐陽琦1,2,常振波1,2,李孟南1,2,羅建男1,2

(1.吉林大學(xué),地下水與資源環(huán)境教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,吉林長春 130012；2.吉林大學(xué)環(huán)境與資源學(xué)院,吉林長春 130012)

采用模擬-優(yōu)化方法進(jìn)行地下水污染監(jiān)測井網(wǎng)的優(yōu)化設(shè)計(jì),建立的優(yōu)化模型以最大化覆蓋高污染區(qū)域?yàn)槟繕?biāo),且綜合考慮了各時段污染質(zhì)的運(yùn)移情況.為減小計(jì)算負(fù)荷,研究中引入Kriging方法建立模擬模型的替代模型,來代替模擬模型與優(yōu)化模型進(jìn)行耦合.最后通過一個假想案例評估替代模型的擬合精度和優(yōu)化模型的性能.結(jié)果表明:替代模型的輸出結(jié)果相對誤差均小于0.5%,擬合精度較高;通過計(jì)算優(yōu)化模型得到的最優(yōu)布設(shè)方案污染質(zhì)檢出濃度和為3.37mg/L,檢出率為85%,遠(yuǎn)高于隨機(jī)布設(shè)方案.說明該方法能夠以較小的計(jì)算量實(shí)現(xiàn)最大化覆蓋高污染區(qū)域的目標(biāo).本次研究為監(jiān)測井的布設(shè)提供了一種穩(wěn)定可靠的優(yōu)化方法.

模擬-優(yōu)化；監(jiān)測井布設(shè)；替代模型；Kriging方法

地下水污染具有隱蔽性、復(fù)雜性,必須及早發(fā)現(xiàn)及早治理.合理地布設(shè)地下水污染監(jiān)測井能夠最大程度地發(fā)現(xiàn)、認(rèn)識污染問題,為污染修復(fù)工作提供數(shù)據(jù)支持和檢驗(yàn)保障.由于建設(shè)監(jiān)測井成本高昂,進(jìn)行地下水污染監(jiān)測井網(wǎng)優(yōu)化布設(shè)具有重要意義,其根本目的就是以最少的費(fèi)用獲取空間和時間上有代表性的水質(zhì)信息,在一定費(fèi)用、人力和物力條件的約束下尋求完成監(jiān)測任務(wù)最合理的監(jiān)測點(diǎn)位布設(shè)[1].

模擬-優(yōu)化方法是進(jìn)行污染監(jiān)測網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的有效方法,該方法本質(zhì)上是將模擬模型和優(yōu)化模型相結(jié)合,使其既能描述復(fù)雜地下水系統(tǒng)溶質(zhì)運(yùn)移規(guī)律又能確定地下水系統(tǒng)在給定目標(biāo)函數(shù)下的最優(yōu)監(jiān)測選擇[2].近30年來,模擬-優(yōu)化方法在污染監(jiān)測井優(yōu)化設(shè)計(jì)方面取得了長足的發(fā)展.Meyer等[3-4]首次建立了實(shí)現(xiàn)監(jiān)測井最大檢出概率、最小監(jiān)測井?dāng)?shù)及最及時監(jiān)測的多目標(biāo)規(guī)劃;Reed等[5]將污染質(zhì)的質(zhì)量評估作為約束條件,在保證質(zhì)量評估的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)監(jiān)測取樣費(fèi)用最小化;Wu等[6]在Reed的研究基礎(chǔ)上利用遺傳算法提高了優(yōu)化模型的求解效率;駱乾坤等[7]總結(jié)深化前人成果,提出了包括污染質(zhì)質(zhì)量評估?空間評估在內(nèi)的4個優(yōu)化目標(biāo),并利用改進(jìn)的小生境遺傳算法(INPGA)對特定時刻?確定情況下的監(jiān)測井優(yōu)選問題進(jìn)行了求解;近期Luo等[8]在綜合考慮水文地質(zhì)參數(shù)不確定性的基礎(chǔ)上,將模擬-優(yōu)化方法應(yīng)用于美國印第安納州的實(shí)際場地,取得了很好的優(yōu)化結(jié)果.

但長期以來污染監(jiān)測井布設(shè)方面的研究都局限于對特定時刻污染羽質(zhì)量和形態(tài)的擬合,而忽略了污染監(jiān)測井網(wǎng)的使用往往是一個長期的過程,在此過程中污染羽的運(yùn)移和形態(tài)變化是客觀存在的.因此建立綜合考慮各個監(jiān)測時段的優(yōu)化模型十分必要.地下水污染監(jiān)測井網(wǎng)的設(shè)計(jì)還應(yīng)當(dāng)考慮:在污染嚴(yán)重的地區(qū)應(yīng)加密監(jiān)測、監(jiān)測井之間的間距不宜過小、能夠建設(shè)的監(jiān)測井總數(shù)有限等因素.

此外,在優(yōu)化模型求解過程中需要多次調(diào)用模擬模型,隨著模擬模型復(fù)雜化和調(diào)用次數(shù)的增加,傳統(tǒng)耦合方法具有很大的局限性.而替代模型的使用能夠很好地解決這一問題.替代模型可以以較小的計(jì)算量得到和模擬模型相近的輸入輸出關(guān)系.在優(yōu)化模型求解過程中直接調(diào)用替代模型,而不必再是模擬模型本身.這樣不僅能夠克服以往耦合技術(shù)方法的局限性,而且可以大幅減少優(yōu)化模型求解計(jì)算過程中多次調(diào)用模擬模型所造成的計(jì)算負(fù)荷,節(jié)省大量時間.Kriging法是建立替代模型的一種有效方法,它是建立在變異函數(shù)理論分析基礎(chǔ)上,對有限區(qū)域內(nèi)的區(qū)域化變量取值進(jìn)行無偏最優(yōu)估計(jì)的一種空間局部內(nèi)插法.安永凱等[9]使用該方法建立了地下水水流模擬模型的替代模型,取得了較好的擬合效果.

本文綜合上述條件,首次建立了以最大化覆蓋高污染區(qū)域?yàn)槟繕?biāo)的優(yōu)化模型,并在監(jiān)測井網(wǎng)布設(shè)問題中使用Kriging替代模型,代替模擬模型與優(yōu)化模型進(jìn)行耦合以減小計(jì)算負(fù)荷.最終使設(shè)計(jì)的監(jiān)測井網(wǎng)各時段污染質(zhì)檢出濃度之和最高,檢出率最大,為揭示污染羽重要而全面的信息提供了良好的途徑.

1 模擬-優(yōu)化方法

利用模擬-優(yōu)化方法進(jìn)行地下水污染監(jiān)測井的優(yōu)選需要建立符合優(yōu)化目標(biāo)的優(yōu)化模型,同時還需將反映地下水系統(tǒng)固有規(guī)律的模型(地下水系統(tǒng)的模擬模型或它的替代模型)作為約束條件嵌入,才能使求得的解滿足要求.而建立地下水系統(tǒng)的模擬模型是建立它的替代模型的前提條件[10].

1.1 地下水系統(tǒng)的模擬模型

地下水的溶質(zhì)運(yùn)移模型需要建立在水流模型的基礎(chǔ)上,因此首先要建立地下水水流的動力學(xué)模型.二維潛水各向同性含水層的穩(wěn)定流模型如下:

地下水溶質(zhì)運(yùn)移的數(shù)學(xué)模型包括對流—彌散方程及其定解條件,定解條件包括初始條件和邊界條件.一般情況下含源匯項(xiàng)的溶質(zhì)運(yùn)移的數(shù)學(xué)模型為:

本文將采用程序GMS中的MODFLOW和MT3D模塊來求解地下水水流和溶質(zhì)運(yùn)移的數(shù)學(xué)模型.

1.2 模擬模型的Kriging替代模型

替代模型是一種耦合模擬模型與優(yōu)化模型的有效途徑.它是模擬模型輸入輸出響應(yīng)關(guān)系的代替,能夠以較小的計(jì)算量得到和模擬模型相近的輸入輸出關(guān)系[11].安永凱等[9]認(rèn)為,Kriging法是建立地下水?dāng)?shù)值模擬模型的替代模型的有效方法,因此本論文采用該方法建立替代模型.Kriging替代模型的基本形式為[12]:

叢恒雪(1992-),女,碩士生,研究方向:芳香植物的開發(fā)應(yīng)用,email:conghengxue@sjtu.edu.cn;

利用以上敘述的原理,通過MATLAB軟件編寫程序,實(shí)現(xiàn)替代模型建立.

1.3 優(yōu)化模型

式中:c為需求點(diǎn)的需求量;當(dāng)需求點(diǎn)被覆蓋時,即需求點(diǎn)能接收到設(shè)施點(diǎn)的服務(wù)x為1,否則為0.當(dāng)設(shè)施備選點(diǎn)被選為設(shè)施點(diǎn)時y為1,否則為0;當(dāng)需求點(diǎn)被設(shè)施點(diǎn)覆蓋時x為1,否則為0.目標(biāo)函數(shù)為求有限資源條件下所能覆蓋的最大需求量;約束條件是確定設(shè)施能夠?yàn)槟硞€特定距離內(nèi)的需求點(diǎn)提供服務(wù),保證了在能夠覆蓋需求點(diǎn)的備選地址中,至少存在一個設(shè)施點(diǎn),點(diǎn)才可能被覆蓋到;不等式限定設(shè)施點(diǎn)的開辦數(shù)目不大于.

式中:為潛在監(jiān)測井位的標(biāo)號,為總潛在監(jiān)測井?dāng)?shù)目;為污染羽的編號,為污染羽的總數(shù);為時段數(shù),為總監(jiān)測的時段數(shù);con,i為污染羽在潛在監(jiān)測井處時段的污染質(zhì)濃度模擬計(jì)算值;x為決策變量,1代表在位置處布設(shè)監(jiān)測井,0代表不布設(shè);代表允許布設(shè)監(jiān)測井?dāng)?shù)目的最大值;目標(biāo)函數(shù)表示新增監(jiān)測井布設(shè)后所有布設(shè)監(jiān)測井處的污染質(zhì)濃度和最大;約束條件表示布設(shè)監(jiān)測井的最大數(shù)目.

2 案例應(yīng)用

2.1 問題概述

研究區(qū)長1300m,寬800m,區(qū)內(nèi)主要含水層是砂質(zhì)潛水含水層.西側(cè)的邊界是一條深切的河流,河水直接補(bǔ)給地下水,水位穩(wěn)定且水質(zhì)較好;東側(cè)邊界是接受地下水補(bǔ)給的湖泊,水位穩(wěn)定;南北兩側(cè)邊界由不透水的花崗巖體構(gòu)成.區(qū)內(nèi)有2個化工廠,排放主要污染物都為.兩廠投入生產(chǎn)半年后由于對周邊環(huán)境污染嚴(yán)重被迫停產(chǎn).停產(chǎn)1a后,下游地下水中陸續(xù)發(fā)現(xiàn)污染.現(xiàn)要求在區(qū)內(nèi)已有3口井的基礎(chǔ)上,設(shè)計(jì)地下水污染監(jiān)測井網(wǎng)來監(jiān)控污染質(zhì)運(yùn)移情況.

圖1 研究區(qū)概況

表1 研究區(qū)水文地質(zhì)參數(shù)表

在此案例中,各點(diǎn)各時段污染物濃度的值利用模擬程序GMS中的MODFLOW模塊和MT3DMS模塊計(jì)算得到,模擬時間1260d,從污染物排放結(jié)束后1a開始,每180d監(jiān)測1次.

2.2 替代模型建立

利用拉丁超立方方法對2個輸入變量(兩污染源的源強(qiáng))進(jìn)行抽樣,污染源源強(qiáng)范圍[100 ,1000g/d],抽得40組分布較均勻的樣本輸入值,分別代入GMS,計(jì)算得從污染開始排放后的540d,720d,900d,1080d,1260d全區(qū)416個潛在監(jiān)測點(diǎn)的污染物濃度值,作為樣本的輸出值.

將40組訓(xùn)練樣本輸入已編好的MATLAB程序中,對Kriging替代模型進(jìn)行訓(xùn)練.之后另抽取10組數(shù)據(jù)作為檢驗(yàn)樣本,以確定Kriging替代模型擬合的精確程度.本文引入平均相對誤差MRE來評價替代模型的精確程度.

式中:為樣本個數(shù);y為模擬模型的輸出;y為替代模型的輸出.

檢驗(yàn)結(jié)果如圖2與表2:

圖2 540d替代模型與模擬模型擬合結(jié)果

表2 各時段替代模型與模擬模型的擬合精度

從上表中可以看出各點(diǎn)在5個時刻替代模型的相對誤差均小于0.5%,說明在本案例中Kriging替代模型擬合精度較高,可以用來代替地下水系統(tǒng)的溶質(zhì)運(yùn)移模型.之后,使用拉丁超立法抽樣方法對兩個污染源源強(qiáng)分別抽樣500組,利用建立好的替代模型代替模擬模型求解,輸出各點(diǎn)在5個時刻的500組污染物濃度樣本.

2.3 優(yōu)化模型的建立和求解

基于上述500組污染羽5個時段(t=540~ 1260d)的污染質(zhì)濃度數(shù)據(jù)建立最大覆蓋模型,其具體的數(shù)學(xué)形式如下:

式中:第一個約束條件是模擬模型的替代模型,該約束可以使整個優(yōu)化模型符合研究區(qū)地下水系統(tǒng)本身所固有的物理規(guī)律;第二個約束條件是監(jiān)測井個數(shù)的限制;第三個約束條件的物理意義是限制所選監(jiān)測井間的距離不小于150m,其中a、b分別為潛在監(jiān)測點(diǎn)的橫縱坐標(biāo),其余各項(xiàng)符號的物理意義同式(12).

在MATLAB中編寫程序,運(yùn)用隱枚舉法計(jì)算該優(yōu)化模型,通過建立過濾條件,即將計(jì)算結(jié)果按照由大到小的順序排列,只對得數(shù)較大的決策變量的組合進(jìn)行驗(yàn)證以挑選出滿足約束條件的最優(yōu)解.其結(jié)果見表3.

表3 不同監(jiān)測井個數(shù)下的最優(yōu)布設(shè)方案

以=4為例,最優(yōu)布設(shè)方案如圖3所示:

圖3 4口監(jiān)測井的最優(yōu)布設(shè)方案

在實(shí)際情況中,可以根據(jù)監(jiān)測經(jīng)費(fèi)的多少決定布設(shè)監(jiān)測井的數(shù)目,代入優(yōu)化模型的約束條件中即可求得相應(yīng)條件下的最優(yōu)位置.

2.4 優(yōu)化結(jié)果的檢驗(yàn)

本模型優(yōu)化的目的是使監(jiān)測井最大覆蓋污染質(zhì)濃度較大的區(qū)域,也就是要最大化監(jiān)測井的檢出濃度.因此,我們將各時段污染質(zhì)檢出濃度和?檢出率2項(xiàng)指標(biāo)作為評價標(biāo)準(zhǔn).改編上述算例,污染源位置不變,源強(qiáng)減小為1g/d,排放時間仍為180d;根據(jù)一般滴定檢測的精度,設(shè)定污染質(zhì)的檢出下限為0.1mg/L,低于此限度則不能檢出;監(jiān)測時間與監(jiān)測頻率與上述案例相同,其他水文地質(zhì)條件不變.

以=4為例,表4列出了各種方案的檢出濃度及檢出率的試驗(yàn)結(jié)果.

檢出率的計(jì)算公式如下:

式中:為污染物的檢出率;為監(jiān)測井的數(shù)目限制;為檢驗(yàn)?zāi)Ｐ椭心M的時段數(shù);y,i為決策變量,當(dāng)污染物在號井時段的濃度大于檢出最低濃度,y,i取1;當(dāng)污染物在號井時段的濃度大于檢出最低濃度,y,i取0.

表4 各設(shè)計(jì)方案的污染質(zhì)檢出濃度和及檢出率

在416個潛在監(jiān)測點(diǎn)中隨機(jī)抽取4口井(相互之間距離不小于150m)組成1000組檢驗(yàn)方案,由MATLAB中的randint函數(shù)實(shí)現(xiàn).計(jì)算檢驗(yàn)方案的各時段檢出濃度和與檢出率2項(xiàng)指標(biāo).表3中的檢驗(yàn)1~5是其中具有代表性的5組方案.

從檢驗(yàn)結(jié)果來看,計(jì)算優(yōu)化模型所得的最優(yōu)方案監(jiān)測井覆蓋區(qū)污染質(zhì)濃度和為3.37mg/L,具有85%的污染質(zhì)檢出率,遠(yuǎn)高于隨機(jī)布設(shè)方案.因此,求解該優(yōu)化模型得到的結(jié)果符合最大覆蓋污染質(zhì)濃度較高區(qū)域的目標(biāo),同時可以使污染質(zhì)的檢出概率最大.

3 結(jié)論

3.1 利用Kriging法建立模擬模型的替代模型精度較高,能充分逼近模擬模型的輸入輸出關(guān)系.因此使用Kriging替代模型代替模擬模型,并與優(yōu)化模型耦合的方法是可行的.

3.2 使用0~1整數(shù)規(guī)劃中的最大覆蓋模型能夠?qū)崿F(xiàn)監(jiān)測井最大化覆蓋高污染區(qū)域的設(shè)計(jì)目標(biāo).將替代模型的輸出結(jié)果以約束條件的形式嵌入優(yōu)化模型,利用隱枚舉法對其進(jìn)行求解可得到監(jiān)測井布設(shè)的最優(yōu)位置.這種基于替代模型的模擬—優(yōu)化方法可以較好地解決地下水污染檢測井位置的設(shè)計(jì)問題.

3.3 將各個時段的污染質(zhì)運(yùn)移情況綜合考慮到優(yōu)化模型中,可以最大化各時段污染質(zhì)被檢出的濃度和,同時也能夠得到最大的污染質(zhì)檢出率.該方法為揭示污染羽重要而全面的信息提供了良好的途徑.

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Optimum design of groundwater pollution monitoring well network based on Kriging surrogate model.

FAN Yue1,2, LU Wen-xi1,2*, OUYANG Qi1,2, CHANG Zhen-bo1,2, LI Meng-nan1,2, LUO Jian-nan1,2

(1.Key Laboratory of Groundwater Resources and Environment, Ministry of Education, Jilin University, Changchun 130012, China；2.College of Environment and Resources, Jilin University, Changchun 130012, China)., 2017,37(10)：3800~3806

The simulation-optimization method was adopted to optimize the design of groundwater pollution monitoring network in this paper.The optimization model aimed to maximize the coverage of high-polluting areas and considering the transport of pollutants at all times.In order to reduce the computational load, the Kriging method was used to construct the surrogate model of the simulation model. In the optimization process, the surrogate model can be used to replace the relationship between input and output of simulation model.Finally, to assess the fitting accuracy of the surrogate model and the performance of the optimization, a hypothetical contaminated site was taken as a case study.The results showed that the mean relative error of the output between surrogate model and simulation model was less than 0.5%, which was a high fitting accuracy.The optimal detection rate of the pollutant was 3.37mg/L, and the detection rate was 85%, which was much higher than that of the random layout scheme.It indicated that the method can achieve the target of maximize the coverage of high-polluting areas with a small amount of computation. This study provided a stable and reliable method for the groundwater monitoring wells network design.

simulation-optimization method；monitoring wells network design；surrogate model；Kriging method

X523

A

1000-6923(2017)10-3800-07

范 越(1994-),男,山西忻州人,吉林大學(xué)碩士研究生,主要從事地下水?dāng)?shù)值模擬及優(yōu)化管理研究.

2017-03-23

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(41372237,41502221)

* 責(zé)任作者, 教授, luwx999@163.com