凸輪磨削廓形誤差非線性PID控制*

周坤鵬，韓秋實(shí)，彭寶營(yíng)

(北京信息科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，北京 100192)

1001-2265(2017)10-0125-04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.10.030

2017-01-03；

2017-01-17

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51375056)

周坤鵬(1992—)，男，河南新鄉(xiāng)人，北京信息科技大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)橹悄苤圃臁?shù)字化制造，(E-mail)zhoukunpeng1@sina.com。

凸輪磨削廓形誤差非線性PID控制*

周坤鵬，韓秋實(shí)，彭寶營(yíng)

(北京信息科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，北京 100192)

為提高凸輪輪廓的加工精度，減小廓形誤差，引入了非線性PID控制方法。在廓形誤差模型基礎(chǔ)上，分別對(duì)X軸和C軸進(jìn)行非線性PID控制來減小單軸的跟蹤誤差，通過遺傳算法對(duì)非線性PID進(jìn)行整定，建立基于MATLAB的X、C軸非線性PID控制仿真模型并進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。結(jié)果表明：與常規(guī)線性PID加工相比，非線性PID控制方法能夠較明顯地減小凸輪廓形誤差，提高X-C聯(lián)動(dòng)磨削加工平臺(tái)的加工精度。

凸輪；廓形誤差；非線性PID；遺傳算法

0 引言

凸輪作為復(fù)雜線型零件的一種，在內(nèi)燃機(jī)、印刷機(jī)和紡織機(jī)等機(jī)械中有著廣泛的應(yīng)用。目前，凸輪磨削普遍采用X-C聯(lián)動(dòng)加工，凸輪磨削時(shí)，非圓部分的磨削條件不斷發(fā)生變化[1]。由負(fù)載擾動(dòng)和機(jī)械延遲等因素引起的X、C軸跟蹤誤差，對(duì)凸輪廓形精度有很大影響。研究如何減小凸輪加工的廓形誤差，對(duì)提高凸輪的加工精度意義重大。

李靜等[2]采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)凸輪磨削過程的誤差并進(jìn)行補(bǔ)償；李啟光等[3]采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與鏡面補(bǔ)償?shù)耐馆喣ハ骼握`差預(yù)測(cè)、補(bǔ)償方法；彭寶營(yíng)等[4]采用非線性耦合控制策略來補(bǔ)償X、C軸跟蹤誤差引起的廓形誤差；陳硯坤等[5]采用迭代學(xué)習(xí)減小單軸跟蹤誤差的大小來減小凸輪磨削的廓形誤差。但是，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、迭代學(xué)習(xí)等方法控制計(jì)算過程復(fù)雜、響應(yīng)速度較慢。

非線性PID控制具有計(jì)算過程簡(jiǎn)單，響應(yīng)速度較快的優(yōu)點(diǎn)，更適應(yīng)于數(shù)控系統(tǒng)。本文在現(xiàn)有X-C聯(lián)動(dòng)加工廓形誤差模型的基礎(chǔ)上，選用非線性PID控制對(duì)X、C軸跟蹤誤差進(jìn)行補(bǔ)償，基于遺傳算法進(jìn)行非線性PID整定，利用MATLAB進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，為提高凸輪磨削X-C軸聯(lián)動(dòng)加工精度提供了依據(jù)。

1 X-C聯(lián)動(dòng)磨削廓形誤差分析

1.1 凸輪磨削X-C軸聯(lián)動(dòng)加工原理

凸輪磨削普遍采用X-C軸聯(lián)動(dòng)加工，X軸由電機(jī)帶動(dòng)砂輪架水平往復(fù)移動(dòng)，C軸由電機(jī)帶動(dòng)工件旋轉(zhuǎn)，X軸和C軸聯(lián)動(dòng)完成對(duì)凸輪的加工。

1.2 X、C軸跟蹤誤差與廓形誤差

X軸和C軸跟蹤誤差主要指伺服誤差，即某一時(shí)刻電機(jī)指令位置與實(shí)際位置之差。控制補(bǔ)償X軸和C軸的單軸跟蹤誤差，可以有效的減小凸輪磨削加工廓形誤差[2-6]。

X軸跟蹤誤差引起的廓形誤差示意圖如圖1所示，凸輪輪廓極坐標(biāo)方程為ρ=ρ(φ)。理論加工點(diǎn)為A點(diǎn)，當(dāng)存在跟蹤誤差時(shí)，實(shí)際加工點(diǎn)為A′點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的廓形誤差為εx。在△DD′E中，利用三角形關(guān)系得到X軸跟蹤誤差引起的廓形誤差計(jì)算公式[4]為：

(1)

圖1 X軸跟蹤誤差引起的廓形誤差

同理得到C軸跟蹤誤差引起的廓形誤差計(jì)算公式為：

(2)

將式(1)和式(2)聯(lián)立，得到廓形誤差計(jì)算公式：

(3)

2 非線性PID控制器設(shè)計(jì)

2.1 非線性PID控制器的設(shè)計(jì)

PID控制器具有簡(jiǎn)單易懂，不依賴精確的系統(tǒng)模型等優(yōu)點(diǎn)，在過去幾十年成為工業(yè)上最常用和最受歡迎的控制器[7]。常規(guī)線性PID控制方法是通過合理調(diào)整誤差信號(hào)的比例、微分、積分增益的大小來對(duì)系統(tǒng)實(shí)施有效控制[8]。線性PID控制器適用于對(duì)動(dòng)態(tài)特性要求不高的系統(tǒng)。對(duì)動(dòng)態(tài)特性要求較高的系統(tǒng)可以采用非線性PID控制。肖永利等[8]對(duì)一般系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線進(jìn)行分析，繪制出比例增益參數(shù)、微分增益參數(shù)和積分增益參數(shù)隨系統(tǒng)誤差變化的曲線圖，并得出非線性PID公式如下：

(4)

2.2 基于遺傳算法的非線性PID整定

由式(4)可知，非線性PID控制器的參數(shù)有9個(gè)，如果單憑個(gè)人經(jīng)驗(yàn)來調(diào)整，不但帶有盲目性，而且由于調(diào)整工作量龐大，費(fèi)時(shí)費(fèi)力，很難得到一組最佳參數(shù)值?，F(xiàn)將參數(shù)選擇問題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題來解決，把X、C軸跟蹤誤差絕對(duì)值的時(shí)間積分作為參數(shù)選擇的最小目標(biāo)函數(shù)，如下式所示：

(5)

遺傳算法是解決多參數(shù)尋優(yōu)問題的方法之一，通過遺傳算法可以較為方便的找出一組滿意的非線性PID調(diào)節(jié)參數(shù)。遺傳算法流程圖如圖2所示。

圖2 遺傳算法流程圖

初始種群通過復(fù)制、交叉及變異得到了新一代種群，該種群經(jīng)解碼后代入適配函數(shù)，觀察是否滿足結(jié)束條件，若不滿足，則重復(fù)以上操作直至滿足為止。結(jié)束條件由具體問題決定，只要各目標(biāo)參數(shù)在規(guī)定范圍內(nèi)，則終止計(jì)算。

在MATLAB中對(duì)非線性PID控制器9個(gè)參數(shù)進(jìn)行整定，遺傳算法的運(yùn)行參數(shù)為：群體大小M=30；遺傳算法的終止進(jìn)化代數(shù)G=100；交叉概率Pc=0.9；變異概率Pm=0.1。非線性PID控制器的9個(gè)參數(shù)的取值范圍的選取，可以先參考線性PID控制時(shí)3個(gè)參數(shù)的數(shù)值給出大致范圍，然后根據(jù)遺傳算法程序運(yùn)行的實(shí)際結(jié)果來調(diào)整。X、C軸非線性PID控制器整定過程中適配值函數(shù)J的變化如圖3、圖4所示。

圖3 X軸非線性PID控制器整定

圖4 C軸非線性PID控制器整定

由圖可知：隨著代數(shù)的增加適配值函數(shù)J的值不斷減小，X軸適配值函數(shù)值最終為1.5483，C軸適配值函數(shù)值最終為0.6273，分析誤差可知結(jié)果達(dá)到預(yù)期。經(jīng)過100代進(jìn)化，最終獲得X、C軸非線性PID控制器的各項(xiàng)參數(shù)如表1所示。

表1 X、C軸非線性PID控制器各項(xiàng)參數(shù)

3 仿真實(shí)驗(yàn)及驗(yàn)證

3.1 凸輪磨削廓形誤差控制仿真模型

為了對(duì)凸輪X-C聯(lián)動(dòng)磨削廓形誤差控制進(jìn)行仿真，應(yīng)用PMAC Servo Analyzer軟件求得X、C軸電機(jī)的傳遞函數(shù)[10]。從PMAC測(cè)量相應(yīng)數(shù)據(jù)，經(jīng)過快速傅里葉變換得到輸入/輸出信號(hào)的正交能譜和輸入信號(hào)的自功率譜，利用正交能譜對(duì)自功率譜的比例來估計(jì)輸入/輸出信號(hào)的頻率響應(yīng)函數(shù)，對(duì)比基于系統(tǒng)的配置信息后，通過進(jìn)行曲線擬合即可得到X、C軸電機(jī)的傳遞函數(shù)。凸輪X-C聯(lián)動(dòng)磨削廓形誤差補(bǔ)償?shù)腟imulink仿真模型如圖5所示。

圖5 凸輪磨削廓形誤差控制Simulink仿真圖

X、C軸位置指令作為凸輪磨削期望輸出，實(shí)驗(yàn)測(cè)得X、C軸電機(jī)的傳遞函數(shù)作為被控對(duì)象，采用基于遺傳算法整定后的非線性PID控制器控制X、C軸跟蹤誤差，其中X、C軸非線性控制器的P、D、I和P′、D′、I′對(duì)應(yīng)公式(4)中三個(gè)公式，根據(jù)公式X、C軸跟蹤誤差引起廓形誤差的公式(3)設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化環(huán)節(jié)，將X、C軸跟蹤誤差引起的廓形誤差相加即可得到廓形誤差。

3.2 X、C軸跟蹤誤差和廓形誤差

X-C軸聯(lián)動(dòng)加工過程中工件轉(zhuǎn)速一般在20r/min左右，故給出工件轉(zhuǎn)速為16.7r/min時(shí)的仿真實(shí)驗(yàn)。常規(guī)線性PID控制下的X軸跟蹤誤差如圖6所示，非線性PID控制下的X軸跟蹤誤差如圖7所示。

圖6 常規(guī)線性PID控制下的X軸跟蹤誤差

圖7 非線性PID控制下的X軸跟蹤誤差

分析圖6和圖7可得：常規(guī)線性PID控制下的X軸跟蹤誤差范圍為[-18.5,28.0]，單位為μm，非線性PID控制下的X軸跟蹤誤差范圍為[-8.45，10.4],單位為μm。非線性PID控制下X軸跟蹤誤差最大值比常規(guī)線性PID減小了17.6μm。

常規(guī)線性PID控制下的C軸跟蹤誤差如圖8所示，非線性PID控制下的C軸跟蹤誤差如圖9所示。

圖8 常規(guī)線性PID控制下的C軸跟蹤誤差

圖9 非線性PID控制下的C軸跟蹤誤差

分析圖8和圖9可得：常規(guī)線性PID控制下的C軸跟蹤誤差范圍為[-19.5,24.9]，單位為10-3rad，非線性PID控制下的C軸跟蹤誤差范圍為[-19.5，1.4],單位為10-3rad。非線性PID控制下C軸跟蹤誤差最大值比常規(guī)線性PID控制減小了5.4×10-3rad。

工件轉(zhuǎn)速為16.7r/min時(shí)非線性PID控制與常規(guī)線性PID控制的廓形誤差對(duì)比如圖10所示。為了提高凸輪磨削效率，給出工件轉(zhuǎn)速為33.3r/min時(shí)的仿真實(shí)驗(yàn)，得到的非線性PID控制與常規(guī)線性PID控制的廓形誤差對(duì)比如圖11所示。

圖10 工件轉(zhuǎn)速為16.7r/min時(shí)廓形誤差對(duì)比圖

圖11 工件轉(zhuǎn)速為33.3r/min時(shí)廓形誤差對(duì)比圖

分析圖10可得：工件轉(zhuǎn)速為16.7r/min時(shí)，常規(guī)線性PID控制下的廓形誤差范圍為[-20.3,38.6],單位為μm，非線性PID控制下的廓形誤差范圍為[-10.0,15.3]，單位為μm。非線性PID控制下的廓形誤差最大值比常規(guī)線性PID控制減小了23.3μm。

分析圖11可得：工件轉(zhuǎn)速為33.3r/min時(shí)，常規(guī)線性PID控制下的廓形誤差范圍為[-37.5,59.7],單位為μm，非線性PID控制下的廓形誤差范圍為[-30.2,36.3]，單位為μm。非線性PID控制下的廓形誤差最大值比常規(guī)線性PID控制減小了23.4μm。

高速磨削時(shí)，X、C軸速度劇烈變化，導(dǎo)致單軸跟蹤誤差增大，從而增大廓形誤差。非線性PID控制器中的參數(shù)隨著控制誤差的變化而變化，能夠快速減小單軸跟蹤誤差，從而減小廓形誤差。對(duì)比圖10和圖11可得：工件轉(zhuǎn)速越高，廓形誤差越大；在相同的工件轉(zhuǎn)速下，非線性PID控制下的廓形誤差比常規(guī)線性PID控制下的廓形誤差有較明顯的減小。

4 結(jié)論

本文將非線性PID控制方法引入到凸輪X-C聯(lián)動(dòng)磨削加工中，在現(xiàn)有廓形誤差模型的基礎(chǔ)上，分別對(duì)X軸和C軸進(jìn)行非線性PID控制，通過遺傳算法對(duì)非線性PID進(jìn)行整定，整定后的非線性PID控制器可以有效減小單軸的跟蹤誤差。根據(jù)單軸跟蹤誤差與廓形誤差的關(guān)系用MATLAB的Simulink工具箱進(jìn)行仿真，得到的廓形誤差相比常規(guī)線性PID控制有了較明顯的減小，較明顯地改善了X-C聯(lián)動(dòng)磨削平臺(tái)的加工精度。

[1] 韓秋實(shí),許寶杰,王紅軍,等.磨削時(shí)凸輪轉(zhuǎn)動(dòng)變速規(guī)律的研究[J].機(jī)械工藝師,2000(4):14-15.

[2] 李靜,沈南燕,何永義,等.凸輪非圓磨削動(dòng)態(tài)誤差預(yù)測(cè)及補(bǔ)償[J].制造技術(shù)與機(jī)床, 2009(10): 64-68.

[3] 李啟光,韓秋實(shí),彭寶營(yíng),等.凸輪廓形誤差力位融合預(yù)測(cè)與補(bǔ)償控制研究[J].機(jī)械設(shè)計(jì)與制造, 2014(8): 264-267.

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[5] 陳硯坤,韓秋實(shí),彭寶營(yíng),等.凸輪X-C聯(lián)動(dòng)磨削廓形誤差迭代學(xué)習(xí)控制[J].制造業(yè)自動(dòng)化,2015,37(12):58-60.

[6] 蔡力鋼,彭寶營(yíng),韓秋實(shí),等.一種新的非圓曲面零件切點(diǎn)跟蹤磨削加工模型[J].計(jì)算機(jī)集成制造系統(tǒng),2013,19(10):2445-2452.

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[8] 肖永利,張琛.位置伺服系統(tǒng)的一類非線性PID調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)[J].電氣自動(dòng)化,2000(1):20-22.

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NonlinearPIDCompensatorfortheContourErrorofCamGrinding

ZHOU Kun-peng, HAN Qiu-shi, PENG Bao-ying

(School of Mechanical Engineering, Beijing Information Science & Technology University, Beijing 100192, China)

To improve the machining accuracy of the cam, and reduce the contour error, the Nonlinear PID compensator is proposed here. Based on the contour error model, the nonlinear PID compensator is proposed to reduce the tracking error ofXandCaxis. The parameters of the proposed compensator are tuned by solving an optimization problem with Genetic Algorithm. The nonlinear compensator simulation model of theXandCaxis is built and tested on the MATLAB. The simulation results show the superiority of the proposed nonlinear PID compensator over the linear PID compensator on reducing the contour error.

cam; contour error; nonlinear PID; genetic algorithm

TH166；TG659

A

(編輯李秀敏)