柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂的滑模變結(jié)構(gòu)控制*

汪允鶴，李宏勝，張 偉

(1.南京工程學(xué)院 自動化學(xué)院，南京 211167；2.康尼集團(tuán)國家企業(yè)技術(shù)中心，南京 210013)

1001-2265(2017)10-0091-05

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.10.022

2016-11-23；

2016-12-21

江蘇省科技支撐計劃-工業(yè)部分(BE2014025)

汪允鶴(1990—)，男，江蘇徐州人，南京工程學(xué)院碩士研究生，研究方向為工業(yè)機(jī)器人控制；通訊作者：李宏勝(1966—)，男，南京人，南京工程學(xué)院教授，碩士生導(dǎo)師，博士，研究方向為數(shù)控技術(shù)、高性能伺服驅(qū)動、機(jī)器人控制、智能控制，(E-mail) zdhxlhs@njit.edu.cn。

柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂的滑模變結(jié)構(gòu)控制*

汪允鶴1，李宏勝1，張 偉2

(1.南京工程學(xué)院 自動化學(xué)院，南京 211167；2.康尼集團(tuán)國家企業(yè)技術(shù)中心，南京 210013)

研究一種帶有柔性關(guān)節(jié)的二連桿機(jī)械臂的軌跡跟蹤滑模變結(jié)構(gòu)控制問題。針對機(jī)械臂的非線性、強(qiáng)耦合以及高階次的柔性關(guān)節(jié)特性，運用Lagrange方程建立動力學(xué)模型，并針對二連桿機(jī)械臂設(shè)計滑模變結(jié)構(gòu)控制律，實現(xiàn)一種在一定的系統(tǒng)特性下沿規(guī)定的狀態(tài)軌跡作小幅度、高頻率的上下運動的魯棒控制，系統(tǒng)可達(dá)到更高的控制精度及穩(wěn)定性。最后基于SimMechanics建立柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂仿真模型，并通過實驗與仿真驗證了該控制算法的有效性與可行性。

柔性關(guān)節(jié)；機(jī)器人；滑模變結(jié)構(gòu)控制；動力學(xué)模型

0 引言

機(jī)械臂通過各關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)、移動實現(xiàn)末端的運動控制。隨著機(jī)械臂部件的輕量化以及驅(qū)動性能朝著高速、高精度、重載方向發(fā)展，機(jī)械臂相關(guān)構(gòu)件彈性變形增大，常規(guī)的剛性機(jī)械臂控制算法難以實現(xiàn)此類機(jī)械臂的平穩(wěn)、準(zhǔn)確控制。機(jī)械臂的柔性主要來自于連桿柔性和關(guān)節(jié)柔性，其研究起源于航天飛機(jī)機(jī)械臂的控制。柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂是一種典型的剛?cè)狁詈系姆蔷€性系統(tǒng)，同時也是動力學(xué)特性與控制特性相互耦合即機(jī)電耦合的系統(tǒng)。對于關(guān)節(jié)柔性，雖然也可以通過合理的材料、結(jié)構(gòu)設(shè)計來減小其柔性，但效果不明顯，且造價較高[1]。非線性、強(qiáng)耦合的柔性關(guān)節(jié)控制困難，運動過程中容易產(chǎn)生末端抖動，且難以快速衰減，因而對機(jī)械臂的快速、精確定位與軌跡控制性能產(chǎn)生嚴(yán)重影響，且激發(fā)的震蕩會影響關(guān)節(jié)的精度和壽命[2]。為了設(shè)計使機(jī)械臂末端能夠精確到達(dá)指定位置或跟蹤預(yù)定工作空間軌跡的控制器，國內(nèi)外眾多研究者提出了很多有效的方法，如奇異攝動法、反饋線性化、變結(jié)構(gòu)控制，以及將微分幾何的方法引進(jìn)柔性關(guān)節(jié)的控制。Liu Yechao等[3]采用奇異攝動法，并假設(shè)系統(tǒng)柔性較小，內(nèi)環(huán)采用力矩環(huán)進(jìn)行控制，且外環(huán)為位置環(huán)，內(nèi)外環(huán)分別解決機(jī)械臂動力學(xué)控制中較快和較慢的變化，而關(guān)節(jié)柔性、力矩及加速度信號的好壞對控制系統(tǒng)帶寬及效果產(chǎn)生很大影響；De Luca等[4]采用動態(tài)反饋線性化法，該算法理論成熟，但計算量較大，并且柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人動力學(xué)實現(xiàn)線性化難度較大；變結(jié)構(gòu)控制，由于具有控制簡單、解耦、降階等優(yōu)點被廣泛采用，但其控制增益較大，也易產(chǎn)生抖振問題[5-6]；Yim等[7]提出一種基于反步法(Backstepping)設(shè)計的自適應(yīng)輸出反饋控制器，以及Yeon等[8]分別利用經(jīng)典PD控制和文件的H∞控制實現(xiàn)柔性關(guān)節(jié)的文件控制，但是采用微分幾何算法設(shè)計的控制器一經(jīng)確定，在控制過程中不能根據(jù)非線性系統(tǒng)的輸出進(jìn)行實時調(diào)整，也不能充分獲取非線性系統(tǒng)的動力學(xué)特性，也因此必然會產(chǎn)生跟蹤誤差。

本文主要研究柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂的建模及控制策略。首先，采用Lagrange方程構(gòu)建了柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂的動力學(xué)模型，其次，針對二連桿機(jī)械臂設(shè)計滑模變結(jié)構(gòu)控制律，實現(xiàn)一種在一定的系統(tǒng)特性下沿規(guī)定的狀態(tài)軌跡作小幅度、高頻率的上下運動的魯棒控制，系統(tǒng)可有效消弱系統(tǒng)抖振問題，并能有效減小空間軌跡跟蹤誤差，從而達(dá)到更高的控制精度及穩(wěn)定性。

1 平面二關(guān)節(jié)機(jī)械臂的動力學(xué)建模

建立物理概念清晰的動力學(xué)模型是柔性機(jī)械臂控制系統(tǒng)設(shè)計的前提條件和理論基礎(chǔ)。國內(nèi)外常用的柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂動力學(xué)模型的構(gòu)建方法主要有：Lagrange方程、Kane方程、Newton-Euler方程等方法。其中，Kane方程法在推導(dǎo)柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂動力學(xué)方程時，對于主動約束力的求解不夠明確，在求解驅(qū)動力對于主動力的貢獻(xiàn)時忽略了關(guān)節(jié)傳動[9]；Lagrange方程法在復(fù)雜系統(tǒng)的應(yīng)用效果要優(yōu)于Newton-Euler方程法，更適合分析多連桿的柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂[10]。

為方便進(jìn)行柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂的模型推導(dǎo)，針對實際柔性機(jī)械臂采用Spong[11-12]提出的一種簡化模型，將柔性關(guān)節(jié)模型描述為介于電機(jī)轉(zhuǎn)子和下一個連桿之間的線性扭轉(zhuǎn)彈簧，該彈簧產(chǎn)生的力矩正比于關(guān)節(jié)柔性變形，相應(yīng)的比例系數(shù)作為關(guān)節(jié)的彈性系數(shù)，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂結(jié)構(gòu)圖

如圖1所示，qi(i=1,2)為關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度；θmi為電機(jī)旋轉(zhuǎn)角度；mi為連桿質(zhì)量；li為連桿長度；lci為連桿重心位置到關(guān)節(jié)重心的距離；Ii為連桿轉(zhuǎn)動慣量；τli為關(guān)節(jié)驅(qū)動旋轉(zhuǎn)力矩；τmi為電機(jī)輸出旋轉(zhuǎn)力矩；Ki為等效彈簧的扭轉(zhuǎn)常數(shù)；Jmi為電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量。

根據(jù)以上的假設(shè)條件，以及柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂模型，利用Lagrange方程建立柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂的動力學(xué)數(shù)學(xué)模型[13-15]，如下：

(1)

式中：機(jī)械臂關(guān)節(jié)角度位置矢量q=[q1,q2]T，電機(jī)轉(zhuǎn)角矢量θm=[θm1,θm2]T,D(t)=[d1(t),d2(t)]T為外界擾動力，

(2)

(3)

將式(1)用狀態(tài)方程的形式表示：

(4)

式中：控制量u2=tm1，u4=tm2。

2 滑模變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計

滑模變結(jié)構(gòu)控制是變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的一種控制策略，具有使系統(tǒng)“結(jié)構(gòu)”隨時間變化的開關(guān)特性，該特性可迫使系統(tǒng)在一定特性下沿規(guī)定的狀態(tài)軌跡作小幅度、高頻率的上下運動，即所謂的滑動模態(tài)或“滑?！边\動。這種滑動模態(tài)是可設(shè)計的，且與系統(tǒng)的參數(shù)及擾動無關(guān)，因此，處于滑模運動的系統(tǒng)是具有很好的魯棒性。

上述柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂動力學(xué)模型可描述為二階非線性系統(tǒng)[16-21]：

(5)

x(t)=[x1(t),x2(t),…,x2n(t)]T∈R2n

(6)

式中,t∈R，k=1,2,…,2n，n為機(jī)械臂關(guān)節(jié)個數(shù)，uk(t)∈R為控制量，x0=x0(t0)為t0時刻給定的初始位置，fk(x,t)和bk(x)分別為機(jī)器人非線性動力學(xué)特性和控制增益系數(shù)。

機(jī)器人控制的期望狀態(tài)變量矢量可定義為：

xd(t)=[xd1(t),xd2(t),…,xd(2n)(t)]T∈R2n

(7)

跟蹤誤差e(t)∈R2n，可定義為：

ek(t)=xk(t)-xkd(t)

(8)

控制對象通過驅(qū)動控制變量x(t)跟蹤期望的狀態(tài)變量xd(t)，使跟蹤誤差ek(t)趨近于0，從而實現(xiàn)軌跡的跟蹤。

滑模控制系統(tǒng)的設(shè)計主要涉及兩方面的問題：

(1)選擇切換函數(shù)，即確定切換函數(shù)S(t)，確保系統(tǒng)存在滑模運動，而且滑模運動能夠在有限的時間內(nèi)到達(dá)；

(2)求取系統(tǒng)控制ui(t)，使在S(t)=0上的每一點都能夠存在滑動模態(tài)，確保從任意狀態(tài)空間出發(fā)，系統(tǒng)均能到達(dá)滑模面。

柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂控制的設(shè)計采用PD滑模面，即：

Sk(t)=λke2k-1(t)+e2k(t)λk>0

(9)

式中,λk為正的常量，e2k-1(t)與e2k(t)分別為：

e2k(t)=x2k(t)-xd2k(t)
e2k-1(t)=x2k-1(t)-xd(2k-1)(t)

(10)

當(dāng)Sk(t)=0時，λke2k-1(t)+e2k(t)=0，即：

(11)

(12)

收斂結(jié)果為：

e(t)=e(0)exp(-λkt)

(13)

即當(dāng)t→∞時，誤差以指數(shù)規(guī)律衰減于零，收斂速度取決于λk值。

(14)

(15)

本文所采用的機(jī)械臂動力學(xué)模型為簡化模型，因此建模時的不確定性和較大的干擾不容忽視，為提高滑模模態(tài)系統(tǒng)到達(dá)過程中的動態(tài)品質(zhì)和減弱控制信號的高頻抖動，采用飽和函數(shù)sat(S)替代指數(shù)趨近律[18]中的符號函數(shù)sgn(S)項來設(shè)計控制器，則滑模趨近律表達(dá)式為：

(16)

式中,εk>0，Kk>0，飽和函數(shù)為:

(17)

常規(guī)的指數(shù)趨近，運動點逼近切換面是一個漸近的過程，不能夠保證在有限的時間內(nèi)到達(dá)。而采用飽和函數(shù)滑?？刂茣r，當(dāng)滿足|KλkSk(t)|>Δ時，采用切換控制，使系統(tǒng)狀態(tài)快速趨近于滑模狀態(tài)；當(dāng)滿足|KλkSk(t)|≤Δ時，采用反饋控制，以降低滑動模態(tài)快速切換時產(chǎn)生的抖動。

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定判據(jù)，可得：

(18)

(19)

將式(15)代入式(14)得：

(20)

由式(16)、式(20)相結(jié)合，可得滑?？刂坡桑?/p>

(21)

3 實驗仿真與驗證

本文被控對象為平面二關(guān)節(jié)機(jī)械臂，柔性關(guān)節(jié)采用線性扭轉(zhuǎn)彈簧進(jìn)行簡化表示，彈簧剛度系數(shù)表示柔性關(guān)節(jié)的剛度，機(jī)械臂初始位置狀態(tài)如圖2所示，動力學(xué)模型如式(1)所示，其參數(shù)如表1所示。

圖2 平面二關(guān)節(jié)機(jī)械臂結(jié)構(gòu)模型

本文采用Matlab仿真軟件提供的SimMechanics工具箱，并根據(jù)表1所示機(jī)械臂相關(guān)參數(shù)，對平面二關(guān)節(jié)機(jī)械臂建立仿真模型?；赟imMechanics的仿真平臺，以模塊化框圖的形式進(jìn)行表述，形成的簡化柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)動力學(xué)模型[22]，如圖3所示，繼而建立柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂的控制系統(tǒng)仿真模型，如圖4所示。

表1 平面二關(guān)節(jié)機(jī)械臂參數(shù)

圖3 柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)動力學(xué)模型

根據(jù)圖3所示，圖中虛線上方部分表示機(jī)械臂關(guān)節(jié)輸入級電機(jī)軸的驅(qū)動機(jī)構(gòu)、轉(zhuǎn)子及轉(zhuǎn)動慣量，下方部分表示機(jī)械臂關(guān)節(jié)軸的的機(jī)構(gòu)模型，中間“JointSpring”方框表示為機(jī)械臂關(guān)節(jié)的柔性環(huán)節(jié)。

圖4 柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂的仿真結(jié)構(gòu)框圖

基于上述實驗?zāi)Ｐ?，對柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂進(jìn)行動力學(xué)仿真，輸入階躍值為1的階躍信號，對比滑模變結(jié)構(gòu)控制在指數(shù)趨近律(參數(shù)：ε2=ε4=0.4，K2=K4=0.5)、飽和項指數(shù)趨近律不同斜率(參數(shù)：Kλ2=Kλ4分別為1、30、110，ε2=ε4=0.4，K2=K4=0.5)下各關(guān)節(jié)的滑模面軌跡效果，如圖5、圖6所示；對比滑模變結(jié)構(gòu)控制在指數(shù)趨近律(參數(shù)：d1(t)=200，d2(t)=100，ε2=ε4=14.4，K2=K4=88.5)、飽和項指數(shù)趨近律(參數(shù)：d1(t)=200，d2(t)=100，Kλ2=Kλ4分別為1、30、110，ε2=ε4=14.4，K2=K4=88.5)下的各關(guān)節(jié)電機(jī)轉(zhuǎn)角軌跡效果，如圖7、圖8所示。

圖5 關(guān)節(jié)1滑模面軌跡

圖6 關(guān)節(jié)2滑模面軌跡

圖7 關(guān)節(jié)1電機(jī)轉(zhuǎn)角軌跡

圖8 關(guān)節(jié)2電機(jī)轉(zhuǎn)角軌跡

由圖5、圖6顯示的各關(guān)節(jié)滑模面軌跡可看出，同指數(shù)趨近律條件的對比，飽和項指數(shù)趨近律條件下系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)可更快速的到達(dá)滑模模態(tài)(S=0)，并且系統(tǒng)狀態(tài)的趨近速度與飽和函數(shù)的斜率成反比關(guān)系，從而驗證了飽和項指數(shù)趨近律滑模控制的快速性。由圖7、圖8顯示的各關(guān)節(jié)電機(jī)轉(zhuǎn)角軌跡可看出，在飽和項指數(shù)趨近律條件下的滑模變結(jié)構(gòu)控制，飽和函數(shù)斜率越大，則機(jī)械臂電機(jī)轉(zhuǎn)角軌跡誤差同指數(shù)趨近律下的軌跡誤差差異越不明顯；飽和函數(shù)斜率越小，則機(jī)械臂電機(jī)轉(zhuǎn)角軌跡誤差變大，而電機(jī)轉(zhuǎn)角的軌跡越平滑、穩(wěn)定性越好，但同樣可達(dá)到較高的控制精度，以滿足實際需求。

輸入信號為正弦三角函數(shù)信號時，柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂關(guān)節(jié)軌跡跟蹤誤差e(t)、關(guān)節(jié)軌跡速度誤差ev(t)，如圖9、圖10所示，以及控制量u(t)，如圖11所示。

圖9 關(guān)節(jié)1軌跡跟蹤誤差

圖10 關(guān)節(jié)2軌跡跟蹤誤差

圖11 控制量

由圖9～圖11可看出，采用飽和項指數(shù)趨近律的滑模變結(jié)構(gòu)控制，在平滑的控制力矩驅(qū)動下，機(jī)械臂關(guān)節(jié)軌跡可實現(xiàn)較高的控制精度，可更好的跟蹤機(jī)械臂空間工作軌跡。

4 結(jié)束語

本文針對二關(guān)節(jié)機(jī)械臂，柔性關(guān)節(jié)的高精度、非線性、強(qiáng)耦合以及時變特性進(jìn)行研究，采用了一種基于飽和函數(shù)的滑模變結(jié)構(gòu)控制方法，并給出了具體的控制器模型和控制律，采用Matlab仿真軟件提供的SimMechanics建立柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂仿真模型，并結(jié)合飽和項指數(shù)趨近的滑?？刂婆c指數(shù)趨近律的滑模控制器的仿真實驗效果對比，驗證該方法在柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂控制中具有較好的快速性與穩(wěn)定性，以及在軌跡跟蹤運動控制中具有較好的控制精度，并且該方法能夠較好地滿足機(jī)械臂控制的實時性要求，具有計算速度快、魯棒性強(qiáng)的特點。通過測試和仿真，可以看出該算法的有效性，并且能夠有效提高機(jī)械臂的工作效率和工作質(zhì)量，能夠減小速度波動，改善機(jī)械臂的工作環(huán)境。

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SlidingModeControlofTwoFlexibleJointManipulator

WANG Yun-he1, LI Hong-sheng1, ZHANG Wei2

(1.School of Automation,Nanjing Institute of Technology, Nanjing 211167,China;2.National Technology Center of Connie Enterprise Group，Nanjing 210013，China)

Trajectory tracking control problem of two connecting-rod mechanical arm with flexible joint based on sliding mode variable structure control. Focusing on characteristics of two flexible joints mechanical arm, such as characteristics of nonlinear, strong coupling and high-order, Lagrange equation is used to build the dynamic model. Meanwhile, a variable structure control law is adopted for the arm control to achieve the robust performance of system characteristics, which have high frequency movement along pre-determined sliding curve. The system can achieve higher control accuracy and stability. Finally, flexible joint manipulator simulation model is established with SimMechanics, and effectiveness and feasibility of the control algorithm is verified by experiment and simulation.

flexible joint; robotics; sliding mode control; dynamical model

TH164;TG506

A

(編輯李秀敏)