多元函數(shù)極限的一個(gè)注記

陶志雄

(浙江科技學(xué)院 理學(xué)院,杭州 310023)

10.3969/j.issn.1671-8798.2017.05.012

2016-12-04

浙江省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(LY12A01025)

陶志雄(1961- ),男,浙江省紹興人,副教授,博士,主要從事幾何拓?fù)鋵W(xué)研究及大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。E-mail:taozhx@zust.edu.cn。

多元函數(shù)極限的一個(gè)注記

陶志雄

(浙江科技學(xué)院 理學(xué)院,杭州 310023)

有時(shí)求多元函數(shù)極限會(huì)出現(xiàn)一些低級(jí)錯(cuò)誤,這些錯(cuò)誤學(xué)生稍不留意就會(huì)被誤導(dǎo)而不自知,而引起這些錯(cuò)誤的主要原因是縮小了函數(shù)的定義域。為此，列舉了一些錯(cuò)誤做法,并給出了正確的做法。進(jìn)而提供了一些結(jié)論,如果教科書(shū)羅列這些結(jié)論,那么這些本不合理的做法將成為合理的便利的做法。

高等數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)分析;多元函數(shù)；極限

求多元函數(shù)的極限要比求一元函數(shù)的極限復(fù)雜很多,常用的做法是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限,因?yàn)橐辉瘮?shù)求極限有反復(fù)介紹和使用的工具和方法,其中二元函數(shù)極限是大一學(xué)生必學(xué)的高等數(shù)學(xué)內(nèi)容,學(xué)過(guò)高等數(shù)學(xué)的都知道一元函數(shù)極限中最值得研究,也是最令人感興趣之一的問(wèn)題是無(wú)窮小之比的極限,其實(shí)多元函數(shù)也是如此。但是,如果不小心,那么在求這一類(lèi)多元函數(shù)的極限時(shí)就會(huì)犯一些低級(jí)的錯(cuò)誤。譬如,在極限的運(yùn)算過(guò)程中縮小了函數(shù)的定義范圍,這樣求出的極限只是函數(shù)在較小范圍內(nèi)的極限,雖然求出的極限可能是正確的,但這樣的求極限方法是有問(wèn)題的。如果這些錯(cuò)誤在考試中出現(xiàn)，對(duì)學(xué)生成績(jī)會(huì)造成負(fù)面影響,在文獻(xiàn)[1]中也有過(guò)關(guān)于這方面的一些討論。筆者注意到,一般教材都避開(kāi)討論這類(lèi)二元函數(shù)無(wú)窮小之比的極限問(wèn)題,即使是著名的菲赫金哥爾茨的《微積分學(xué)教程》[2]也沒(méi)有這樣的例子,而吉米多維奇的《數(shù)學(xué)分析習(xí)題集》[3]也很少有這樣的習(xí)題。筆者嘗試做一些簡(jiǎn)單的探討,試圖來(lái)修正這些做法，給出2個(gè)定理,在它們的幫助下,這些常見(jiàn)的錯(cuò)誤做法求出的極限就有了依據(jù),成為正確的答案。同時(shí)，在不增加結(jié)論的基礎(chǔ)上也給出一些正確的做法。

1 常見(jiàn)的錯(cuò)誤

解

(1)

解

(2)

又

(3)

顯然,式(1)～(3)不符合原來(lái)的定義域,即縮小了原來(lái)的定義域。

2 錯(cuò)誤的糾正和一些結(jié)論

例2的第一個(gè)錯(cuò)誤是比較常見(jiàn)的,似乎順理成章地使用了一元函數(shù)的求極限方法。但由于原先極限x,y可取除原點(diǎn)之外的點(diǎn),而除以x2y以后縮小了x,y的取值范圍,即x,y都不能取坐標(biāo)軸上的點(diǎn)。因此，該做法不可取。但這樣的做法在有些教材中出現(xiàn),更多的在解答書(shū)中看到,也就是一不小心忽視了函數(shù)的定義域。其根源還是在于求一元函數(shù)的極限時(shí)經(jīng)常使用一個(gè)無(wú)窮小再除以一個(gè)無(wú)窮小,但這種等價(jià)無(wú)窮小替代定理[4-7]要求分子分母都是無(wú)窮小的。有些學(xué)生經(jīng)常不管分母是否是無(wú)窮小都在使用這個(gè)等價(jià)無(wú)窮小替代定理,甚至在一元函數(shù)求極限的時(shí)候有時(shí)也使用。

例2題的正確做法應(yīng)該是:

解因?qū)τ谌魏螌?shí)數(shù)α,有|sinα|≤|α|,故有

證明選擇任何一個(gè)序列{(xm,ym)}?U((0,0),δ)-{(0,0)},使得當(dāng)m→+∞時(shí),(xm,ym)→(0,0)。

{(xm,ym)}∩{(x,y)|xy=0}={(xmk,ymk)}。

這樣就完成了定理的證明。

這個(gè)定理也可以推廣到更一般的情形,即：

證明可以參照定理1。

3 結(jié) 語(yǔ)

上述2個(gè)定理說(shuō)明了例2中的做法如果以這兩個(gè)定理之一作為鋪墊,那么就合理了,所以,建議教材列入這兩個(gè)定理之一,否則就會(huì)有概念混亂的現(xiàn)象,或者在教材中避談這一類(lèi)的極限,但這是極限理論的一個(gè)缺憾。將一元函數(shù)的等價(jià)無(wú)窮小替代使用到求二元函數(shù)極限中,這是非常便利的做法,如果避開(kāi)這種方法,這類(lèi)問(wèn)題可能只能使用函數(shù)極限的夾逼準(zhǔn)則或者極限的ε-δ[4-6]語(yǔ)言了,而這是工科學(xué)生的弱項(xiàng)。使用這兩種方法,一般沒(méi)有固定的做法。

[1] 陶志雄.高等數(shù)學(xué)考試中的一些錯(cuò)誤分析[J].浙江科技學(xué)院學(xué)報(bào),2013,25(3):224.

[2] 菲赫金哥爾茨 Γ M.微積分學(xué)教程：第一卷[M].8版.楊弢亮，葉彥謙，譯.北京：高等教育出版社，2006.

[3] 吉米多維奇.數(shù)學(xué)分析習(xí)題集[M].2版.李榮湅，李植，譯.北京：高等教育出版社，2010.

[4] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].4版.北京：高等教育出版社，2010.

[5] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].6版.北京：高等教育出版社，2007.

[6] 陶祥興,朱婉珍.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2012.

[7] 芬尼,韋爾,吉爾當(dāng)諾.托馬斯微積分[M].10版.葉其孝，王耀東，唐兢，譯.北京：高等教育出版社，2004.

Anoteonthelimitofmultivariatefunctions

TAO Zhixiong

(School of Sciences, Zhejiang University of Science and Technology, Hangzhou 310023, Zhejiang, China)

The calculations of the limit of a multivariate function are occasionally accompanied with some low-level errors, which tend to mislead students if they are not careful enough. In the calculation process, these errors are mainly attributed to reduction of the domain of the function. The article presents examples of these errors together with correct approaches, on the basis of which the article finally draws some conclusions. If they are quoted in the textbook, the approaches thought to be unreasonable will turn out to be reasonable and convenient.

advanced mathematics; mathematical analysis; multivariate function; limit

G642.0；O172

A

1671-8798(2017)05-0391-03