新型激光模型實(shí)現(xiàn)SPP增益補(bǔ)償?shù)臄?shù)學(xué)分析

褚麗娜, 仲秀英

(1.重慶科創(chuàng)職業(yè)學(xué)院,重慶 402100； 2.重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,重慶 400047)

新型激光模型實(shí)現(xiàn)SPP增益補(bǔ)償?shù)臄?shù)學(xué)分析

褚麗娜1, 仲秀英2

(1.重慶科創(chuàng)職業(yè)學(xué)院,重慶 402100； 2.重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,重慶 400047)

設(shè)計(jì)了有機(jī)染料分子的球形波導(dǎo)結(jié)構(gòu)，采用最內(nèi)層金屬金(Au)、外層Si介質(zhì)的多層球形結(jié)構(gòu)，在環(huán)形介質(zhì)中植入有機(jī)染料分子作為增益耦合介質(zhì)。理論上分析了模型的的受激輻射磁場(chǎng)能量、輻射譜以及有機(jī)染料分子增益效果。特性分析結(jié)果表明：光波在有機(jī)染料分子增益區(qū)能夠與內(nèi)層金屬實(shí)現(xiàn)耦合，發(fā)生了多層電場(chǎng)局域化現(xiàn)象，增益對(duì)金屬-介質(zhì)間的表面等離子有一定的補(bǔ)償效果，從增益的高折射區(qū)與低折射率區(qū)間發(fā)生了全反射，實(shí)行了表面等離子傳播的增益補(bǔ)償效果。能夠通過調(diào)節(jié)波導(dǎo)參數(shù)實(shí)現(xiàn)損耗-補(bǔ)償控制，高折射區(qū)能夠?qū)崿F(xiàn)SPP補(bǔ)償，有機(jī)染料分子距離核區(qū)越近補(bǔ)償效果更好，損耗更小。

表面等離子激光器； 損耗-補(bǔ)償； 有機(jī)染料分子; 系統(tǒng)不穩(wěn)定性

0 引 言

微納米領(lǐng)域的表面等離子學(xué)研究的是金屬粒子的表面等離激元(Surface Plasmon Polariton，SPP)電磁模式，其模式特性主要是由粒子尺度、組成及其周圍的介電常數(shù)決定，納米等離子光學(xué)學(xué)科也因此而興起的[1-4]。SPP與增益的耦合產(chǎn)生自激振蕩成為表面等離子激光器(Surface Plasmon Amplification by the Stimulated Emission of Radiation,SPASER)光源研究機(jī)理的來源[5-9]。

金屬SPP與增益介質(zhì)的耦合特性成為近年來研究熱點(diǎn)，然而盡管表面等離激光發(fā)現(xiàn)了散射增強(qiáng)的特性，但其系統(tǒng)的穩(wěn)定性由于散射奇異點(diǎn)等問題遭到了質(zhì)疑[10-13]。因而，Mark團(tuán)隊(duì)提出了雙穩(wěn)態(tài)實(shí)現(xiàn)fs信號(hào)放大特性，其成果成為了SPASER的研究基礎(chǔ)[14-17]，國內(nèi)朱君團(tuán)隊(duì)致力的MIM結(jié)構(gòu)SPASER也成為了金屬SPP與增益耦合的又一種嘗試[18-19]。上述的研究盡管實(shí)現(xiàn)了增益甚至是信號(hào)的過度補(bǔ)償，但系統(tǒng)不穩(wěn)定性依然未能克服[20-21]?；谏鲜霰尘埃疚脑O(shè)計(jì)了一種新型的有機(jī)染料分子的球形波導(dǎo)結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)基于諾基諾夫?qū)嶒?yàn)結(jié)果與雙穩(wěn)態(tài)模型，其對(duì)于提高SPASER系統(tǒng)的穩(wěn)定性提供了一種新的參考模型。

1 模型設(shè)計(jì)與傳播分析

1.1模型設(shè)計(jì)

本文設(shè)計(jì)的有機(jī)染料分子的球形波導(dǎo)結(jié)構(gòu)如圖1所示，采用的是最內(nèi)層金屬金(Au)、外層Si介質(zhì)的多層球形結(jié)構(gòu)，在環(huán)形介質(zhì)中植入有機(jī)染料分子作為增益耦合介質(zhì)。波導(dǎo)結(jié)構(gòu)表面等離子振動(dòng)是由外部耦合到金屬的光子模型(局部表面等離子模型的輻射衰減形成的)，實(shí)現(xiàn)了每個(gè)單獨(dú)納米粒子構(gòu)成的納米激光器。通過有機(jī)染料分子實(shí)現(xiàn)增益補(bǔ)償，其峰值對(duì)應(yīng)的是縱向諧振腔模式，進(jìn)而使得等離子體模式在反射納米線斷面間共振。

圖1 有機(jī)染料分子的球形波導(dǎo)結(jié)構(gòu)

1.2設(shè)計(jì)模型的受激輻射分析

設(shè)計(jì)波導(dǎo)的有機(jī)分子增益采用經(jīng)典的2能級(jí)系統(tǒng)進(jìn)行表述，該2能級(jí)系統(tǒng)是指其場(chǎng)頻率能夠共振，而其余能級(jí)不會(huì)和場(chǎng)頻率共振，即此時(shí)只分析2能級(jí)。沒有外電場(chǎng)作用時(shí)得到：

(1)

(2)

這時(shí)波函數(shù)的薛定諤方程表述為:

(3)

設(shè)2能級(jí)，t=0,粒子處在u1態(tài);0～t時(shí)刻，粒子處在u2態(tài)，這時(shí)躍遷的概率可以表示為：

(4)

躍遷概率是與時(shí)間相關(guān)的周期模型，當(dāng)發(fā)生u1態(tài)和u2態(tài)的能級(jí)交換分布時(shí)，其頻率表示為:

Ω=dE0/?

(5)

Ω就是拉比頻率。

分析增益過程的系統(tǒng)量子化模型。采用本真模式的函數(shù)為φn(r)，其頻率和過程顯然需要滿足上述描述，這樣當(dāng)表面等離子壽命比準(zhǔn)靜態(tài)特征時(shí)間大時(shí)，可以利用以下關(guān)系實(shí)現(xiàn)量子化，其中磁場(chǎng)能量能夠表述為：

(6)

式中:T為Fourier變換的積分時(shí)間，有：

(7)

且存在以下關(guān)系：τn>>T>>1/ωn，而如果存在較小的馳譽(yù)條件，其結(jié)果顯然和積分時(shí)間T無關(guān)系。這樣得到本征模式的展開表達(dá)式：

(8)

進(jìn)而采用費(fèi)米法則，可以得到第n個(gè)SPP的方程表述為：

(9)

上面式子中，包含以下關(guān)系：

這樣就可以得到歸一化的輻射譜F(ω)。

1.3設(shè)計(jì)模型的有機(jī)染料分子增益分析

(13)

為了達(dá)到實(shí)現(xiàn)SPASER的粒子樹反轉(zhuǎn)水平，就應(yīng)該存在2能級(jí)系統(tǒng)以外的第3能級(jí)，這時(shí)受激輻射就是由有機(jī)染料分子增益的相干激發(fā)實(shí)現(xiàn)，此時(shí)的表面等離子弛豫率γn能夠描述為：

(14)

式(14)就是SPP的增益動(dòng)力學(xué)方程，顯然其為一個(gè)高非線性的方程。如果設(shè)在連續(xù)波的條件，SPP增益方程就會(huì)存在平凡的0解，而其非平凡解可以作為設(shè)計(jì)模型出射激光的過程表述，且解存在應(yīng)該滿足以下條件：

(15)

進(jìn)而可以得到實(shí)現(xiàn)SPASER激發(fā)的條件：

(16)

上述的激發(fā)條件意味著能夠?qū)崿F(xiàn)反饋，且設(shè)計(jì)系統(tǒng)理論上能夠?qū)崿F(xiàn)10 nm的量子點(diǎn)水平。

2 特性分析

2.1電磁場(chǎng)分析

首先采用FDTD軟件進(jìn)行電磁場(chǎng)分析，對(duì)結(jié)構(gòu)采用以下條件進(jìn)行分析：Δx=5 nm，Δy=5 nm，Δz=6 nm，時(shí)間步長Δt采用1.7×10-17s，運(yùn)行到4 500步進(jìn)行模擬，邊界采用的是PML(完全匹配層)實(shí)現(xiàn)網(wǎng)格的劃分，入射光采用的是1 450 nm激發(fā)，如圖2所示。

(a) 1 200 nm

(b) 2 300 nm

(c) 2 600 nm

(d) 3 200 nm

由圖2可見，光波在增益區(qū)能夠與內(nèi)層金屬實(shí)現(xiàn)耦合，不同區(qū)域間出現(xiàn)了多層電場(chǎng)局域化現(xiàn)象，這說明不僅在金屬-介質(zhì)界面由入射光耦合實(shí)現(xiàn)了表面等離子波，且由于增益介質(zhì)作用其在金屬與染料分子區(qū)也產(chǎn)生了共振增強(qiáng)的效果。綜合來看，在離金核區(qū)越近的情況下，增益產(chǎn)生的SPP局域明顯減弱，這說明增益對(duì)金屬-介質(zhì)間的SPP有一定的補(bǔ)償效果，表面等離子波進(jìn)行核心層，這為出射激光提高了強(qiáng)局域化及反饋的條件準(zhǔn)備。分析上述距離變化導(dǎo)致的衰減過程可以得出SPP傳輸過程的色散以及損壞，從增益的高折射區(qū)與低折射率區(qū)發(fā)生了全反射，實(shí)行了SPP傳播的增益補(bǔ)償效果。上述結(jié)果驗(yàn)證了設(shè)計(jì)的球狀波導(dǎo)結(jié)構(gòu)能夠?qū)崿F(xiàn)SPP激光的出射。

2.2SPP傳播特性分析

圖3所示對(duì)SPP傳播特性進(jìn)行了分析，主要是針對(duì)理論分析的輻射譜和激發(fā)條件進(jìn)行分析，采用了介質(zhì)區(qū)厚度d1與金核區(qū)距離d3大小相同的情況，分別是180、200、220 nm，橫坐標(biāo)是有機(jī)染料分子到金屬界面的距離d2。從圖3(a)可以看出,輻射譜的實(shí)部隨著距離增大有減小的趨勢(shì)，但變化率較小，說明有機(jī)染料分子距離的增加導(dǎo)致了輻射譜的傳播距離會(huì)減小，即損耗補(bǔ)償?shù)男Ч薪档偷内厔?shì)。由圖3(b)可以看出,輻射譜的虛部也隨著距離增大有減小的趨勢(shì)，但變化率較大，這說明這一過程色散增大趨勢(shì)明顯，有機(jī)染料分子的補(bǔ)償效果受到了一定范圍的限制。由圖3(c)則可以看出,SPP激發(fā)過程中，損耗隨著距離增大有增大的趨勢(shì)，且損耗增大明顯，這一結(jié)果驗(yàn)證了圖3(a)、(b)輻射譜的結(jié)果。綜合上述分析，設(shè)計(jì)的波導(dǎo)應(yīng)該將有機(jī)染料分子設(shè)計(jì)的與金核層較近的區(qū)域，且由于輻射譜虛部變化率較小，這說明設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)如沒有補(bǔ)償效果也能實(shí)現(xiàn)SPP的激發(fā)?？偟膩碚f，設(shè)計(jì)的波導(dǎo)結(jié)構(gòu)，SPP補(bǔ)償優(yōu)勢(shì)明顯，具有顯著的優(yōu)越性。

(a) 輻射譜F(ω)的實(shí)部分析

(b) 輻射譜F(ω)的虛部分析

(c) 激發(fā)過程中損耗分析

3 結(jié) 語

本文設(shè)計(jì)了一種新型的球狀SPP激光的出射結(jié)構(gòu)，采用的有機(jī)染料分子實(shí)現(xiàn)了SPP損耗補(bǔ)償能夠較為理想的實(shí)現(xiàn)預(yù)計(jì)的效果。結(jié)果表明有機(jī)染料分子的高折射區(qū)能夠?qū)崿F(xiàn)SPP補(bǔ)償，且距離越近補(bǔ)償效果越好，損耗更小，能夠通過調(diào)節(jié)波導(dǎo)參數(shù)實(shí)現(xiàn)損耗-補(bǔ)償控制。文中設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)能夠作為亞波長尺寸的局域應(yīng)用，可以用來作為光子器件、光子計(jì)算機(jī)等應(yīng)用的關(guān)鍵光源。

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(本刊編輯部)

AMathematicalAnalysisofSPPGainCompensationfortheNewLaserModel

CHULina1,ZHONGXiuying2

(1. Chongqing Creation Vocational College， Chongqing 402100, China； 2. School of Mathematical Sciences，Chongqing Normal University， Chongqing 400047, China)

In this paper, we design the spherical waveguide structure of organic dye molecules. It is a medium spherical structure, the innermost metal is gold (Au), the outer layers is Si, and is embedded by a circular medium organic dye molecules as gain coupling medium. The stimulated radiation of magnetic energy, organic dye molecules gain effect and the radiation spectrum feature are theoretically analyzed. Analysis results show that the light in the organic dye molecules gain can be implemented with the inner metal coupling, the localization phenomenon happens, multilayer electric field between the media and the gain of metal surface plasma has certain compensation effect, total reflection occurs between high refraction gain and low refractive ranges from the, it yields compensation effect. The waveguide loss compensation control can be achieved by adjusting the parameters, high refraction can realize SPP compensation. It shows that the shorter distance of the nuclear area and organic molecules will yield better compensation effect and less loss.

surface plasma laser; loss compensation; organic dye molecules; instability of system

TN 242

A

1006-7167(2017)09-0025-04

2016-12-10

教育部重點(diǎn)課題項(xiàng)目(DHA090180)

褚麗娜(1982-),女,重慶人,講師,在讀碩士生,研究方向:數(shù)學(xué)教育學(xué)。Tel.:15102314378;E-mail:rena_chu@126.com