概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)微課比賽教案分析

孫曉玲

（合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽合肥230601）

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)微課比賽教案分析

孫曉玲

（合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽合肥230601）

微課教學(xué)不同于傳統(tǒng)教學(xué)，有教學(xué)內(nèi)容少，教學(xué)時(shí)間短的特點(diǎn)。要在10分鐘左右的時(shí)間內(nèi)完成傳統(tǒng)授課方式一兩節(jié)課的內(nèi)容就需要在錄制微課視頻之前精心設(shè)計(jì)微課的教學(xué)內(nèi)容。文章以榮獲首屆全國(guó)高校數(shù)學(xué)微課程教學(xué)設(shè)計(jì)競(jìng)賽一等獎(jiǎng)作品“分布函數(shù)”為例介紹了概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)微課教學(xué)的設(shè)計(jì)思路以及教學(xué)過程設(shè)計(jì)。教學(xué)實(shí)踐表明，微課教學(xué)中若能合理設(shè)計(jì)教學(xué)思路，創(chuàng)新教學(xué)手段能夠起到事半功倍的效果。

分布函數(shù)；微課；概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)；教學(xué)設(shè)計(jì)；Excel輔助

1 引言

微課教學(xué)作為新興的教學(xué)方式這幾年得到了較大的發(fā)展[1-3]，教育部門舉辦了各種與微課相關(guān)的教育教學(xué)交流活動(dòng)。其中較大的活動(dòng)為2013年舉行的首屆全國(guó)高校微課教學(xué)比賽，2015年舉行的首屆全國(guó)高校數(shù)學(xué)微課程教學(xué)設(shè)計(jì)競(jìng)賽。作為一名高校教師，如何能緊跟教學(xué)改革和創(chuàng)新的潮流，將微課與教學(xué)實(shí)踐緊密結(jié)合，將微課教學(xué)方式與傳統(tǒng)教學(xué)方式相互補(bǔ)充是現(xiàn)如今教學(xué)研究的熱點(diǎn)課題[4-7]。

2015年3-8月期間，作者參加了首屆全國(guó)高校數(shù)學(xué)微課程教學(xué)設(shè)計(jì)競(jìng)賽。該比賽是由參賽教師選擇課程中的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，提交錄制完成該點(diǎn)知識(shí)的10-20分鐘的微課程視頻進(jìn)行參評(píng)。講解的知識(shí)點(diǎn)需要符合組委會(huì)發(fā)布的高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)3門課的知識(shí)點(diǎn)目錄。要在短時(shí)間內(nèi)完成平時(shí)近兩節(jié)課的授課內(nèi)容就需要在錄制教學(xué)視頻之前精心設(shè)計(jì)微課的教學(xué)內(nèi)容。作者講授的知識(shí)點(diǎn)是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中的分布函數(shù)。在通常90分鐘的課堂上，該節(jié)的講解思路一般是概念引入、定義講解、例題、小結(jié)。在14分19秒的微課教學(xué)設(shè)計(jì)中作者的設(shè)計(jì)思路成為概念引入、定義、實(shí)例以及Excel軟件輔助計(jì)算。

本文就以作者在首屆全國(guó)高校數(shù)學(xué)微課程教學(xué)設(shè)計(jì)競(jìng)賽全國(guó)決賽中的一等獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)作品“分布函數(shù)”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，分析概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)微課制作的教學(xué)方案設(shè)計(jì)背景以及教學(xué)過程設(shè)計(jì)。

2 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)微課教學(xué)設(shè)計(jì)背景

2.1 教學(xué)內(nèi)容分析

“隨機(jī)變量的分布函數(shù)”既是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中“離散型隨機(jī)變量及其分布律”教學(xué)小結(jié)的延伸，又是后面將要學(xué)習(xí)的“連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度”教學(xué)小結(jié)的鋪墊，可以起到承上啟下的作用?！半S機(jī)變量的分布函數(shù)”是概率論與微積分學(xué)的紐帶，在概率論中占據(jù)著重要的地位。有了分布函數(shù)這個(gè)橋梁，就能利用微積分這個(gè)有利工具研究概率問題。另外，分布函數(shù)還是進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)和統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)，因此該節(jié)內(nèi)容也可為后面數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。通過本小節(jié)的學(xué)習(xí)，不僅能讓學(xué)生掌握概率計(jì)算的一般方法，培養(yǎng)學(xué)生分析和解決實(shí)際問題的能力，還能使學(xué)生認(rèn)識(shí)到掌握數(shù)學(xué)軟件比如Excel軟件能夠?qū)Ω怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的學(xué)習(xí)起到很好的輔助作用。

2.2 學(xué)情分析

2.2.1 學(xué)生起點(diǎn)知識(shí)分析

授課對(duì)象是理工科大學(xué)二年級(jí)的學(xué)生，從學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備上來看，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過了概率的基本概念以及隨機(jī)變量的概念，了解了隨機(jī)變量是用來表示隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果的變量，隨機(jī)變量的取值表示隨機(jī)事件。還知道離散型隨機(jī)變量及其分布，知道二項(xiàng)分布律特點(diǎn)，會(huì)計(jì)算服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量取值的概率。大學(xué)一年級(jí)已經(jīng)學(xué)過辦公自動(dòng)化課程，了解Excel軟件的使用。還不會(huì)計(jì)算隨機(jī)變量在任意區(qū)間內(nèi)取值的概率，沒有學(xué)習(xí)計(jì)算隨機(jī)事件概率的一般方法，不了解隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。教師若能將授課內(nèi)容與學(xué)生所學(xué)專業(yè)知識(shí)相結(jié)合，激起學(xué)生的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性，教學(xué)過程便可水到渠成。

2.2.2 學(xué)生心理特征分析

大二學(xué)生會(huì)對(duì)與自己生活息息相關(guān)的教學(xué)實(shí)例感興趣。本節(jié)課將首先從學(xué)生的生活實(shí)際出發(fā)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維，從每天的生活費(fèi)支出情況入手，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，激發(fā)學(xué)生的求知欲。

2.2.3 學(xué)生能力分析

學(xué)生已學(xué)過高等數(shù)學(xué)課程的知識(shí)，有一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，具有一定的利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力以及利用計(jì)算機(jī)軟件處理數(shù)學(xué)問題的能力。

有了前期的知識(shí)準(zhǔn)備，還必須有效調(diào)動(dòng)學(xué)生的知識(shí)遷移能力。本節(jié)課的目的不在知識(shí)本身，而是要形成解決問題的過程與方法，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題、總結(jié)規(guī)律的能力，促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力的培養(yǎng)。

3 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

3.1 分布函數(shù)的概念

3.1.1 概念引入

先給一個(gè)與學(xué)生生活貼近的實(shí)例激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲。

創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境：若r.v.x表示某同學(xué)大學(xué)生活每天的支出，支出分布律如表1所示（單位:元，假設(shè)某同學(xué)每天的生活支出是隨機(jī)的并且只有以下5種情況）

表1 生活支出分布律

提問：該同學(xué)一天帶30元錢夠花的概率是多少？

分析：{帶30元夠花}={≤30}，若該同學(xué)一天的支出是10元，20元或30元3種情況，那么一天帶30元錢就夠花，因此有

過渡：請(qǐng)同學(xué)自己演算“帶40元夠花的概率”是多少？

分析：“帶40元夠花的概率”即為

擴(kuò)展：若要進(jìn)一步討論該同學(xué)一天帶其它錢數(shù)夠花的概率，可以設(shè)一天所帶錢數(shù)為x，那么該同學(xué)帶x元夠花的概率即為x的函數(shù)，可記為F（x），其中F（x）=P{X≤x}。

進(jìn)一步擴(kuò)展：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，可知P{X≤x}是x的函數(shù)，通過P{X≤x}可以計(jì)算r.v.X在任意區(qū)間內(nèi)取值的概率。

小結(jié)：通過實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生思考隨機(jī)變量在某區(qū)間上取值概率的計(jì)算，再由特殊到一般，由淺入深地引申出分布函數(shù)的概念。

3.1.2 分布函數(shù)的定義

定義[8]：設(shè)X為隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，稱函數(shù)F（x）=P{X≤x}（-∞＜x＜+∞）為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。

關(guān)于分布函數(shù)概念的兩點(diǎn)解釋：

1.幾何解釋：如果將隨機(jī)變量X的取值看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么分布函數(shù)F（x）在點(diǎn)x處的值就表示隨機(jī)變量X在區(qū)間（-∞，x]內(nèi)取值的概率。

2.概率的分布函數(shù)表示：若隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F（x）已知，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x1＜x2，隨機(jī)變量X在區(qū)間（x1，x2]內(nèi)取值的概率可表示為：

P{x1＜x2}=P{X≤x2}-P{X≤x2}-P{X≤x1}=F（x2）-F（x1）；

隨機(jī)變量X在區(qū)間（x1+∞）內(nèi)取值的概率可表示為：

P{X＞x1}=1-P{x≤x1}=1-F（x1）。

隨機(jī)變量X在其余任意區(qū)間內(nèi)取值的概率也同樣可以用分布函數(shù)值來表示，由此可知，只要確定了隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，就能計(jì)算隨機(jī)變量X落在任意區(qū)間內(nèi)的概率，即利用分布函數(shù)能夠完整地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。

小結(jié)：通過對(duì)分布函數(shù)定義的解釋使學(xué)生了解分布函數(shù)概念的實(shí)質(zhì)以及概念引入的重要意義。接下來可以讓學(xué)生分組討論隨機(jī)變量在其它任意區(qū)間內(nèi)取值的概率計(jì)算公式并總結(jié)一般方法，通過分組討論，培養(yǎng)學(xué)生自我解決問題的能力，養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)、小組合作學(xué)習(xí)的習(xí)慣。

3.2 離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)

假設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，分布律為P{X=xk}=Pk（k=1，2，3，…），那么其分布函數(shù)為F（x）=P{X≤x}=即F（x）是離散型隨機(jī)變量X取小于等于x的諸值xk的概率之和，故F（x）又被稱作累積分布函數(shù)[8]。

例1：小李每日開車上班，途經(jīng)10個(gè)路口，每個(gè)路口都有交通信號(hào)燈，若他在各個(gè)路口遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立并且概率均為0.7。問：小李上班途中至多遇到6次紅燈的概率是多少？

分析：以X表示小李上班途中遇到紅燈的次數(shù)，可將每次通過路口看作一次隨機(jī)試驗(yàn)，由于每次遇到紅燈的概率相同且每次試驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú)立，因此X∶b（10，0.7）。由于隨機(jī)事件{至多遇到6次紅燈}={X≤6}，由二項(xiàng)分布律公式以及離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)的計(jì)算公式有

小結(jié)：通過實(shí)例分析及演算使學(xué)生掌握計(jì)算離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)值的步驟，結(jié)合實(shí)例使學(xué)生了解分布函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用從而為后面連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布的講解埋下伏筆。通過PPT演示的直觀圖為學(xué)生清晰地展現(xiàn)分布函數(shù)的計(jì)算過程，使學(xué)生更深入理解分布函數(shù)的概念及計(jì)算方法。

按照該方法進(jìn)行常規(guī)計(jì)算將會(huì)非常復(fù)雜，這里可考慮用Excel軟件來輔助計(jì)算。Excel軟件不僅是常用的辦公軟件，還是很好的數(shù)學(xué)軟件，其中包含了大量的數(shù)學(xué)函數(shù)，是解決概率統(tǒng)計(jì)問題的很好的輔助工具，相比于其它常見數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)軟件來說，Excel軟件更容易獲取和使用。

利用Excel軟件中的二項(xiàng)分布函數(shù)：BINOMDIST（m,n,p,L）可直接得到隨機(jī)變量的分布律和分布函數(shù)值，該軟件還能夠根據(jù)所給數(shù)據(jù)繪出分布律表、分布律柱狀圖和分布函數(shù)的線圖。由表2可知若遇到紅燈的概率為0.7，則小李至多遇到6次紅燈的概率為F（6）=P{X≤6}=0.3504。通過PPT動(dòng)態(tài)展示圖1，2能夠更清晰地看出概率計(jì)算原理及分布函數(shù)的意義[9]。

利用Excel演示分布函數(shù)值的計(jì)算過程不僅能讓學(xué)生理解分布函數(shù)的概念及應(yīng)用，還能讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到利用Excel軟件能夠較大程度地提高學(xué)習(xí)效率、提升學(xué)習(xí)效果，促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力的培養(yǎng)。

表2 分布律表

圖1 分布律柱狀圖

圖2 分布函數(shù)線圖

3.3 小結(jié)

1.分布函數(shù)的概念：F（x）P{X≤x}，（-∞＜x＜+∞）。

2.離散型隨機(jī)變量分布律與分布函數(shù)的關(guān)系：

利用關(guān)系圖總結(jié)離散型隨機(jī)變量分布律與分布函數(shù)的關(guān)系，能夠強(qiáng)化學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)和記憶并為下節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容埋下伏筆。

3.4 作業(yè)

1.若X是僅取一個(gè)常數(shù)值c（c為任意常數(shù)）的隨機(jī)變量，寫出它的分布律以及分布函數(shù)并畫出函數(shù)圖形。

2.思考：不同的隨機(jī)變量，其分布函數(shù)一定也不相同嗎？

通過布置分層作業(yè)達(dá)到讓不同層次的學(xué)生進(jìn)行有效鞏固教學(xué)內(nèi)容及其運(yùn)用的目的，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)隨機(jī)變量與其分布函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行思考，從而加深學(xué)生對(duì)分布函數(shù)概念的理解，為后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

4 結(jié)束語(yǔ)

為了能在10分鐘左右的時(shí)間內(nèi)完成傳統(tǒng)授課方式一兩節(jié)課的授課內(nèi)容必須在制作微課之前精心設(shè)計(jì)微課的教學(xué)思路，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)新教學(xué)手段以便輔助教學(xué)。盡量制作出短小精干、易于網(wǎng)絡(luò)傳播、便于人們學(xué)習(xí)的優(yōu)秀微課作為傳統(tǒng)課堂的良好補(bǔ)充。根據(jù)本文給出的分布函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)方案所制作的微課作品，參加了首屆全國(guó)高校數(shù)學(xué)微課程教學(xué)設(shè)計(jì)競(jìng)賽全國(guó)決賽并獲得一等獎(jiǎng)，微課輔助課堂教學(xué)已在教學(xué)實(shí)踐中進(jìn)行了檢驗(yàn)，取得了較好的教學(xué)效果。

[1]劉銳，王海燕.基于微課的“翻轉(zhuǎn)課堂”教學(xué)模式設(shè)計(jì)和實(shí)踐[J].現(xiàn)代教育技術(shù)，2014（5）：26-32.

[2]吳嬋.關(guān)于微課對(duì)優(yōu)化高校教學(xué)效果的思考[J].科教導(dǎo)刊，2013（10）:17-18.

[3]崔靜,申廣君.大學(xué)數(shù)學(xué)微課教學(xué)可行性探究——以概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)為例[J].大學(xué)教育，2016（6）：169-170.

[4]周丙鋒，謝新水，劉星期.高校微課中的教學(xué)要素及教學(xué)效果評(píng)價(jià)[J].現(xiàn)代教育技術(shù)，2015（9）:30-36.

[5]胡鐵生，周曉清.高校微課建設(shè)的現(xiàn)狀分析與發(fā)展對(duì)策研究[J].現(xiàn)代教育技術(shù)，2014，24（2）:5-13.

[6]史娜，薛亞奎，雷英杰，等.翻轉(zhuǎn)課堂在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程中的教學(xué)設(shè)計(jì)研究[J].蘭州文理學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2015（6）：94-98.

[7]鐘紹春，張琢，唐燁偉.微課設(shè)計(jì)和應(yīng)用的關(guān)鍵問題思考[J].中國(guó)電化教育，2014（12）：85-88.

[8]峁詩(shī)松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2011：61-65.

[9]孫曉玲，王寧.Excel軟件輔助概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)[J].合肥師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2015（3）：73-76.

An Analysis on the Teaching Plan of Micro-lectures for Probability Theory and Mathematical Statistics

Sun Xiaoling
(School of Mathematics and Statistics,Hefei Normal University,Hefei 230601,China)

Different from traditional teaching,micro teaching has the characteristics of short teaching time and little teaching content.In order to complete the teaching content of one or two classes according to traditional teaching method in ten minutes or so,the content of the course will need to be carefully designed before recording micro lesson videos.The design ideas and teaching process design of micro teaching for Probability Theory and Mathematical Statistics is introduced by taking the micro lecture of"distribution function"which has won the first prize in the First National College Mathematics Micro Curriculum Teaching Design Competition as an example in this paper.The teaching practice shows that if teaching ideas are reasonably designed,and teaching methods are innovated in micro teaching,then twice as much can be accomplished with half the effort.

distribution function;micro lectures;Probability Theory and Mathematical Statistics;teaching design;Excel-aided

G642.0

A

1672-447X（2017）03-0107-004

2017-01-13

安徽省教育廳質(zhì)量工程項(xiàng)目（2016gkk027）

孫曉玲（1977-），安徽合肥人，合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院副教授，研究方向?yàn)椴淮_定性模糊推理。

責(zé)任編輯：胡德明