基于復(fù)合材料的水下耐壓結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化探究

戴 揚(yáng) ，馮淼林 ，趙 敏 ,2

(1. 上海交通大學(xué) 海洋工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240；2. 高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240)

基于復(fù)合材料的水下耐壓結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化探究

戴 揚(yáng)1，馮淼林1，趙 敏1,2

(1. 上海交通大學(xué) 海洋工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240；2. 高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240)

探究基于復(fù)合材料的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法在水下耐壓結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。本文方法是在等值線方法、SIMP（Solid Isotropic Material with Penalization）模型、靈敏度過濾技術(shù)的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)復(fù)合材料的等效剛度矩陣。通過經(jīng)典橋形結(jié)構(gòu)優(yōu)化算例、靜水壓作用下的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)以及空心水下耐壓結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)，分析了在拓?fù)湎嚓P(guān)載荷作用下，復(fù)合材料對于水下耐壓結(jié)構(gòu)的最優(yōu)拓?fù)湫问降挠绊?。發(fā)現(xiàn)復(fù)合材料與各向同性材料結(jié)構(gòu)的優(yōu)化結(jié)果比較相似，而復(fù)合材料的鋪層方式及角度的變化可能對優(yōu)化結(jié)果產(chǎn)生較大的影響，本文對空心耐壓結(jié)構(gòu)的優(yōu)化結(jié)果與MIT 團(tuán)隊(duì)提出的耐壓殼概念相類似，說明復(fù)合材料的拓?fù)鋬?yōu)化研究對于未來水下耐壓結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)具有重要的參考價(jià)值及指導(dǎo)意義。

耐壓結(jié)構(gòu)；拓?fù)鋬?yōu)化；復(fù)合材料；拓?fù)湎嚓P(guān)載荷

通過陶瓷材料在 11 000 m“海神”號深潛器的應(yīng)用可以發(fā)現(xiàn)，復(fù)合材料的使用造成了水下耐壓結(jié)構(gòu)的巨大改變，而為了能探究復(fù)合材料究竟對于耐壓結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)產(chǎn)生如何的影響，就需要一種方法能夠計(jì)算基于復(fù)合材料的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)模型。采用拓?fù)鋬?yōu)化方法，能夠直觀地模擬材料的最優(yōu)分布，對于探尋基于復(fù)合材料的耐壓結(jié)構(gòu)最優(yōu)拓?fù)湫问接兄匾膮⒖家饬x。

1 復(fù)合材料拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

拓?fù)鋬?yōu)化最開始產(chǎn)生于 20 世紀(jì)初的 Michell 桁架[2]的設(shè)計(jì)中，之后在 1988 年 Bendsoe 與 Kikuchi[3]在連續(xù)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中提出均勻化方法后得到了快速發(fā)展，并且延伸到諸多其他學(xué)科領(lǐng)域中。在拓?fù)鋬?yōu)化的方法中，均勻化方法和變密度法[3–7]作為最具代表性的方法被廣泛地應(yīng)用，而在兩者之中，變密度法由于其插值模型在算法上更易實(shí)現(xiàn)，是更具有工程應(yīng)用前景的一種拓?fù)鋬?yōu)化方法。密度法插值模型的基礎(chǔ)是由 Mlejnek 與Schirrmacher[8]提出的一種對結(jié)構(gòu)材料密度的冪次懲罰模型，他們通過在 0 – 1 的離散結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題中引入連續(xù)設(shè)計(jì)變量，并加入中間密度的懲罰項(xiàng)，將問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題。之后，Sigmund 與 Bendsoe[9–10]提出了一種基于正交各向同性材料的密度冪指數(shù)形式的變密度插值方法（SIMP），它將單元密度與材料的彈性模量之間建立起聯(lián)系，從而減少了設(shè)計(jì)變量，簡化了優(yōu)化過程。雖然拓?fù)鋬?yōu)化方法已經(jīng)被應(yīng)用在了很多工程設(shè)計(jì)中，但其中很少有關(guān)于拓?fù)湎嚓P(guān)載荷的優(yōu)化。與固定載荷的優(yōu)化問題不同，在拓?fù)湎嚓P(guān)載荷的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，載荷的方向與位置處于隨著結(jié)構(gòu)邊界變化而改變，如何確定拓?fù)湎嚓P(guān)載荷作用的加載面是解決這類問題的關(guān)鍵。在 Maute 與 Ramm[11]提出的等值線概念的基礎(chǔ)上，Hammer 與 Olhoff[12]引入了1條等體積密度曲線來作為加載面。而 Du 與 Olhoff[13]提出了一種修正的等值線技術(shù)，在其文章中，還討論了載荷靈敏度與周邊單元的關(guān)系，并指出單元內(nèi)的加載面只受到相鄰單元的密度的影響，從而大大減少了靈敏度分析的計(jì)算量。在以往的拓?fù)鋬?yōu)化研究中，被優(yōu)化的結(jié)構(gòu)多是各向同性材料，有關(guān)復(fù)合材料的拓?fù)?/p>

優(yōu)化的研究很少。相比于傳統(tǒng)的各向同性材料，復(fù)合材料由于其自身的強(qiáng)度高、剛度大等特點(diǎn)，將復(fù)合材料用于拓?fù)鋬?yōu)化中，可能會出現(xiàn)未知的特殊效果。而為了能解決基于復(fù)合材料的拓?fù)鋬?yōu)化問題，Lee 等[14]修改了拓?fù)鋬?yōu)化中的單元剛度矩陣，以此來適應(yīng)正交各向異性材料的情況。在拓?fù)鋬?yōu)化過程中，為了避免拓?fù)鋬?yōu)化中出現(xiàn)多孔材料、棋盤格、網(wǎng)格依賴性等數(shù)值不穩(wěn)定的現(xiàn)象，同時保證優(yōu)化的效果及效率，往往需要用到靈敏度過濾技術(shù)。Sigmund 提出了一種距離加權(quán)的靈敏度過濾方法，它能有效地消除大部分?jǐn)?shù)值不穩(wěn)定的現(xiàn)象，但它往往不能得到完全離散的優(yōu)化結(jié)果。為了獲取清晰的邊界，有很多不同的靈敏度過濾公式被引入拓?fù)鋬?yōu)化問題中，包括 Borrvall 提出的修正的靈敏度過濾方法，平均靈敏度過濾方法，考慮密度梯度的靈敏度過濾方法[15–17]等。對于不同的優(yōu)化問題，能達(dá)到最佳過濾效果的方法往往也不會完全相同，因此，在拓?fù)鋬?yōu)化中需要尋找適合的靈敏度過濾方法。本文的研究是基于文獻(xiàn)[14]將 SIMP 模型應(yīng)用于復(fù)合材料拓?fù)鋬?yōu)化的思路，推導(dǎo)復(fù)合材料的等效單元剛度矩陣，來實(shí)現(xiàn)復(fù)合材料的拓?fù)鋬?yōu)化。并且將此方法用于水下耐壓結(jié)構(gòu)的最優(yōu)拓?fù)湫问降奶骄恐?，分析?fù)合材料對于拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的影響。

2 拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型

本文從最簡單的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題開始研究，即在給定體積約束下使得結(jié)構(gòu)具有最小的柔順度。設(shè)有給定的設(shè)計(jì)區(qū)域 Ω，將其離散成 N 個有限單元，根據(jù)SIMP 模型，對于各向同性材料[18]，每個單元具有相對密度并且可以得到單元的彈性模量:

式中：E0為固體材料的彈性模量；p 為懲罰系數(shù)，在本文中取為 3。

在這個設(shè)計(jì)問題中，連續(xù)體結(jié)構(gòu)最小柔順度的優(yōu)化模型為：

式中：ρ 為單元相對密度構(gòu)成的矩陣；K，F(xiàn) 和 U 分別為總體剛度矩陣、載荷矩陣和位移矩陣；ue為單元的位移矩陣；為單元的剛度矩陣，且為對應(yīng)于單位彈性模量的單元剛度矩陣；V(ρ)和 V0分別為優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的體積和初始的設(shè)計(jì)區(qū)域的體積；v olf 為預(yù)設(shè)的體積分?jǐn)?shù)；是為了避免總體剛度矩陣的奇異性而引入的非零常數(shù)，在本文中取為 0.001。

使用 SIMP 模型來求解式（2），原本基于離散變量的設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為基于連續(xù)變量的優(yōu)化問題。本文使用等值線方法[12–13]作為邊界搜索方法來尋找拓?fù)渥兓嚓P(guān)的壓力加載面，而由于設(shè)計(jì)變量數(shù)目多，采用移動漸近線方法（MMA）[19]來求解更新設(shè)計(jì)變量。本文采用平均靈敏度過濾方法[16]與考慮密度梯度的敏度過濾方法[17]相結(jié)合的靈敏度過濾方法。

3 復(fù)合材料的單元剛度矩陣

本文研究基于纖維增強(qiáng)型復(fù)合材料層合板的拓?fù)鋬?yōu)化問題，由于復(fù)合材料層合板的厚度相較于長寬很小，故可以將其視為平面應(yīng)力板。坐標(biāo)系的設(shè)定如圖 1 所示，圖中坐標(biāo)系 1和2 為材料主向坐標(biāo)系，而坐標(biāo)系 x – y 為自然坐標(biāo)系；θ 表示坐標(biāo)軸 x 與坐標(biāo)軸1 的夾角，以沿著逆時針方向?yàn)檎?/p>

圖1 材料主向坐標(biāo)系與自然坐標(biāo)系Fig. 1 Principle coordinate system of material and natural coordinate system

根據(jù)材料力學(xué)相關(guān)知識，則正交各向異性材料的彈性矩陣為：

式中：E1和 E2分別為沿著 1 方向和 2 方向的材料彈性模量；v12和 v21為1 方向和 2 方向之間的泊松比；G12為材料主向坐標(biāo)系下的剪切模量。

式（3）的材料彈性矩陣是在材料主向坐標(biāo)系下的形式，通過坐標(biāo)變換，則在自然坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)換后的彈性矩陣可記為：

其中T 為坐標(biāo)變換矩陣，其表達(dá)式為：

在本文的數(shù)值分析中，選擇二維線性等參單元作為基本單元。則為了計(jì)算單元內(nèi)某個點(diǎn)的位移，其計(jì)算公式為：

式中：Ni為拉格朗日插值函數(shù)，di為單元節(jié)點(diǎn)的位移分向量，

進(jìn)而自然坐標(biāo)系下的應(yīng)變矢量 ε 可表示為：

其中：

則將自然坐標(biāo)系下的應(yīng)力矢量 σ 定義為：

對于彈性材料，單元應(yīng)變能的表達(dá)式可以表示如下：

其中：

式中J 為雅可比矩陣，其行列式 det J 為：

根據(jù)復(fù)合材料力學(xué)，可以推出等效單元剛度矩陣為：

其中：Ki為自然坐標(biāo)系下第 i 個鋪層的剛度矩陣，可以由式（12）計(jì)算得到；n 為層合板的總鋪層數(shù)。

4 靈敏度分析

本文采用的 MMA 方法是基于梯度的優(yōu)化算法，優(yōu)化問題中的目標(biāo)函數(shù)和約束對設(shè)計(jì)變量的靈敏度分析不能忽略。Wang 等[20]在其關(guān)于距離正規(guī)化水平集方法（DRLSE）應(yīng)用于壓力加載面搜索算法的文章中，提到了相應(yīng)的靈敏度分析。本文采用的是等值線方法作為壓力加載面搜索算法，因此本文的靈敏度分析與Wang 的方法略有不同。

根據(jù)平衡方程以及靈敏度關(guān)系式，采用伴隨法[21]對進(jìn)行求解，從而可以將式（15）轉(zhuǎn)化為[20]：

其中：

式中：xf為加載面與單元邊界交點(diǎn)的坐標(biāo)矩陣；為給定的較小的單元相對密度增量（本文中取利用等值線方法計(jì)算得到新的加載面與單元邊界交點(diǎn)的坐標(biāo)矩陣 xf以及對應(yīng)的載荷矩陣F，代入式（17）中可計(jì)算出載荷的靈敏度。

5 數(shù)值算例

本文所計(jì)算的算例為基于復(fù)合材料的拓?fù)鋬?yōu)化問題，所采用的材料為纖維增強(qiáng)型復(fù)合材料，其鋪層模型如圖 2 所示。并且根據(jù)不同的算例，本文將選用不同的靈敏度過濾技術(shù)來獲得更好的優(yōu)化結(jié)果。

圖2 復(fù)合材料鋪層模型Fig. 2 A model laminated with composite material

5.1 外部受壓的橋形結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

作為承受壓力載荷的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題中的經(jīng)典算例，本文選擇外部受壓的橋形結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)作為第一個算例，用以驗(yàn)證推導(dǎo)的復(fù)合材料的單元剛度矩陣的可靠性，并研究復(fù)合材料對于拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的影響。初始的設(shè)計(jì)區(qū)域以及邊界約束條件如圖 3（a） 所示，長方形設(shè)計(jì)區(qū)域的長寬分別為 2 m 和 1 m，頂端受到方向垂直向下大小為 2 MPa 的均布壓力載荷的作用，長方形設(shè)計(jì)區(qū)域的底邊 2 個頂點(diǎn)固支。假設(shè)材料的彈性模量分別為，，泊松比v12= 0.3，則優(yōu)化問題變?yōu)榛诟飨蛲圆牧系耐負(fù)鋬?yōu)化。設(shè)計(jì)區(qū)域離散成 40 × 20 個正方形單元，且最大允許的材料體積占初始總體積的體積分?jǐn)?shù)為 50%。

圖3 各向同性情況下，外部受壓的橋形結(jié)構(gòu)計(jì)算模型及優(yōu)化結(jié)果Fig. 3 Bridge-like structure with isotropic material subjected to pressure loading

在此算例中，平均靈敏度過濾方法[16]被用來消除計(jì)算中的數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象。優(yōu)化結(jié)果如圖 3（b），整體結(jié)構(gòu)的最小柔順度為 271.358 6 J。對比文獻(xiàn)[13]中的結(jié)果，本文的計(jì)算結(jié)果與其非常相似。

為進(jìn)一步研究復(fù)合材料對于拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的影響，假設(shè)材料的彈性模量分別為 E1= 2 100 GPa，，泊松比 v12= 0.3，復(fù)合材料的鋪層形式見表 1。其他條件均與圖 3（a） 相同。

表1 復(fù)合材料鋪層形式Tab. 1 Three cases of different layups for the laminate composites

表1 中所列的 3 種鋪層形式的優(yōu)化結(jié)果如圖 4 所示。圖 4（a） 為鋪層 i 的計(jì)算結(jié)果，結(jié)構(gòu)的最小柔順度為 66.854 5 J，圖像與圖 3（b） 中的各向同性材料的優(yōu)化結(jié)果相似，并且同樣為左右對稱結(jié)構(gòu)；圖 4（b）為鋪層 ii 的計(jì)算結(jié)果，結(jié)構(gòu)的最小柔順度為 84.607 2 J，優(yōu)化后的圖像雖然仍然是橋形結(jié)構(gòu)，但橋形結(jié)構(gòu)不再是左右對稱，左半橋相較于右半橋更寬，橋形的頂部稍向右側(cè)偏移；圖 4（c） 為鋪層 iii 的計(jì)算結(jié)果，結(jié)構(gòu)的最小柔順度為 84.607 2 J，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)最小柔順度與鋪層 ii 的結(jié)果完全相同，并且圖像與圖 4（b） 互為鏡像。

從上述結(jié)果中可發(fā)現(xiàn)，基于復(fù)合材料的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果與基于各向同性材料的結(jié)果存在著差異，優(yōu)化結(jié)果中實(shí)體單元（即黑色單元）的分布與復(fù)合材料鋪層的角度有關(guān)。當(dāng)某種復(fù)合材料鋪層的角度相互關(guān)于 90°對稱（如表 1 鋪層 i）時，優(yōu)化結(jié)果呈左右對稱；當(dāng) 2種鋪層形式的角度分別關(guān)于 0° 對稱（如表 1 鋪層 ii 與鋪層 iii）時，2 個優(yōu)化結(jié)果鏡像對稱。

5.2 靜水壓下耐壓結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)

圖4 三種鋪層形式下的橋形結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果Fig. 4 Optimal results of bridge-like structure with laminate composites

水下耐壓結(jié)構(gòu)作為潛水器中的重要結(jié)構(gòu)，其優(yōu)化設(shè)計(jì)一直是一項(xiàng)引人關(guān)注的課題。在本算例中，僅考慮從結(jié)構(gòu)的剛度方面進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，忽略諸多其他因素。則簡化后的耐壓結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型及其尺寸、邊界條件等如圖 5（a） 所示，正方形的設(shè)計(jì)區(qū)域四周受到靜水壓力，靜水壓大小為 2 MPa，并且在正方形 2條對稱軸上添加四處約束，使得對稱軸上的點(diǎn)僅能沿中心線方向移動。各向同性材料及復(fù)合材料的材料參數(shù)均與 5.1 節(jié)中的設(shè)定相同，實(shí)體材料占總設(shè)計(jì)區(qū)域的體積分?jǐn)?shù)設(shè)為 10%?？紤]到圖 5（a） 中的優(yōu)化模型及邊界條件的對稱性，如圖 5（b） 取 1/4 模型作為優(yōu)化對象，并離散成 40 × 40 個正方形單元。本例中，采用平面應(yīng)變假設(shè)，并且分2步進(jìn)行靈敏度過濾：第 1步，選擇平均靈敏度過濾方法[16]；第 2 步，選擇考慮密度梯度的靈敏度過濾方法[17]，其中取 α = 0.1。表 2所列為計(jì)算的所有材料及鋪層情況。

圖5 靜水壓下耐壓結(jié)構(gòu)的計(jì)算模型Fig. 5 Computing model for underwater structure subjected to hydrostatic pressure

表2 考慮的各向同性材料及復(fù)合材料鋪層的情況Tab. 2 Cases of isotropic material and laminate composites considered

圖6 所示為各向同性材料及其他幾種復(fù)合材料鋪層形式下的耐壓結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)構(gòu)。圖 6（a） 為各向同性材料的優(yōu)化結(jié)果，其最終的柔順度為 229.283 8 J，最優(yōu)拓?fù)湫问浇咏?1/4 圓環(huán)，此結(jié)果與 Zheng 等[22]的優(yōu)化結(jié)果的形狀非常相似；圖 6（b） ～ 圖 7（e）分別為對應(yīng)表 2 中 Case 2～Case 5 的不同鋪層方式的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果，優(yōu)化后的最終柔順度分別為 119.757 2 J，89.078 6 J，56.572 8 J，78.051 2 J，而從形狀上看，這些結(jié)果都接近 1/4 圓環(huán)，但是鋪層角度的不同會導(dǎo)致圓環(huán)寬度產(chǎn)生差異。Case 2～Case 5 的復(fù)合材料的鋪層方式的相似之處為都擁有 0° 鋪層，而不同之處為另一個鋪層（以下稱為“第2鋪層”）的角度不同。從圖 6（b） 和圖 6（c） 中可以看到，1/4 圓環(huán)靠近 0° 軸的一側(cè)的寬度明顯大于靠近 90° 軸的一側(cè)，而相應(yīng)的 2 種鋪層方式中，第 2 鋪層的角度分別為 10° 和 30°，都比較接近 0°；圖 6（d） 顯示的結(jié)果中，圓環(huán)各處的寬度相對均勻，與圖 6（a） 的優(yōu)化結(jié)果比較接近，這說明對于圖 5（b） 的優(yōu)化問題，（0°/60°）s這種鋪層方式的效果與各向同性材料相似；從圖 6（e） 可以發(fā)現(xiàn)，此時的 1/4 圓環(huán)關(guān)于 45° 的對角線對稱，并且圓環(huán)中段的寬度大于兩端，在這種情況下，完整模型的最優(yōu)拓?fù)湫问綉?yīng)為圓柱，在沿著鋪層主向的方向上（即 0° 與 90°方向），圓柱的厚度最小，而沿著斜對角線方向（即45° 與 135° 方向），圓柱的厚度最大。

圖6 靜水壓下的耐壓結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果Fig. 6 Optimal results of underwater structure subjected to hydrostatic pressure

5.3 內(nèi)部鉸支的空心耐壓結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

在實(shí)際應(yīng)用中，耐壓結(jié)構(gòu)往往需要預(yù)留一定的內(nèi)部空間用于容納物品或者人，因此，對于空心耐壓結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)對于耐壓殼體的設(shè)計(jì)具有一定的現(xiàn)實(shí)參考意義。與 5.2 節(jié)中設(shè)計(jì)區(qū)域?yàn)橥暾恼叫螀^(qū)域不同，本例中在長方形設(shè)計(jì)區(qū)域中間預(yù)留出一個小的長方形空白區(qū)域，同時考慮內(nèi)部受約束的情況。設(shè)計(jì)模型及尺寸、邊界條件如圖 7（a） 所示，設(shè)計(jì)區(qū)域?yàn)榛疑糠?，設(shè)計(jì)模型的四周受到靜水壓力，靜水壓力大小為 2 MPa，并且在模型內(nèi)部 8 處鉸支（即限制相應(yīng)點(diǎn)出的垂直位移與水平位移）。計(jì)算模型的材料參數(shù)與 5.1 節(jié)的設(shè)定相同，實(shí)體材料占整個長方形區(qū)域的35%。如圖 7（b），取 1/4 模型作為優(yōu)化對象，相應(yīng)的尺寸及邊界條件如圖所示，將其離散成 100 × 40 個正方形單元。靈敏度過濾分2步進(jìn)行：第 1 步，選擇平均靈敏度過濾方法[16]；第 2 步，選擇考慮密度梯度的靈敏度過濾方法[17]，其中取 α = 0.1。本例所計(jì)算的所有材料及鋪層情況同表 2。

圖7 內(nèi)部鉸支的空心耐壓結(jié)構(gòu)的計(jì)算模型Fig. 7 Computing model for underwater structure with initial void and inside simply-supported constraints

圖8 不同情形下內(nèi)部鉸支的耐壓結(jié)構(gòu)的優(yōu)化結(jié)果Fig. 8 Optimal results of underwater structure with initial void and inside simply-supported constraints

圖8 所示為對應(yīng)于表 2 所示的不同情形下的優(yōu)化結(jié)果。圖 8（a） 為基于各向同性材料的優(yōu)化結(jié)果，其最終的柔順度為 2 887.186 5 J，由此 1/4 模型的優(yōu)化結(jié)果可以推測出完整模型的最優(yōu)拓?fù)湫问綉?yīng)為一個多球交接的連續(xù)殼體結(jié)構(gòu)，此結(jié)果與 Wang[20]的計(jì)算結(jié)果非常相似；圖 8（b） ～ 圖 8（e） 分別對應(yīng)于表 2 中 Case 2～Case5 的優(yōu)化結(jié)果，最終的柔順度分別為 1 492.517 3 J，1 092.020 4 J，869.415 1 J，999.741 1 J，這些拓?fù)湫问酱篌w上都有著類似于各向同性情況的結(jié)構(gòu)，但在局部結(jié)構(gòu)的細(xì)節(jié)上又存在著差異。比較這些結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，第 2 鋪層角度越接近 0°，優(yōu)化結(jié)果中拱形的高度越低，而拱的兩邊的寬度差越??；隨著第 2 鋪層角度的增大，結(jié)構(gòu)的最小柔順度值先逐漸變小，達(dá)到某一角度后柔順度值出現(xiàn)回升；而在優(yōu)化結(jié)果中，拱形兩邊的寬度差隨角度的增大而增大；同時，如果第 2 鋪層的角度為 90°（即 Case 5），其最優(yōu)拓?fù)湫问交九c各向同性的情況相同，拱形兩邊的寬度差異也不大。另外，從圖 7（a） 中可以推斷，這種內(nèi)部鉸支的空心耐壓結(jié)構(gòu)的最優(yōu)拓?fù)湫问娇赡軙跉んw連接處出現(xiàn)應(yīng)力集中的情況，進(jìn)而可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的失效。而根據(jù)圖 8（b）～ 圖8（d） 的結(jié)果，可以提出猜想：選擇合適鋪層的復(fù)合材料作為此種耐壓結(jié)構(gòu)的主材料，對應(yīng)的最優(yōu)拓?fù)湫问降臍んw連接處更平緩，可能會減少應(yīng)力集中出現(xiàn)的情況。

圖9 是王存福[23]于 2014 年提出的通過拓?fù)鋬?yōu)化發(fā)現(xiàn)的多球鉸接模型，通過本節(jié)的優(yōu)化模型可以發(fā)現(xiàn)，圖 8 中各向同性材料的結(jié)果的拓?fù)湫问脚c圖 9 一致，說明了本文方法的有效性，但隨著鋪層的變化，其優(yōu)化結(jié)構(gòu)也發(fā)生了一定的變化，說明復(fù)合材料的應(yīng)用對于未來深潛器耐壓結(jié)構(gòu)新形式的探索具有重要的工程意義。圖 10 為 MIT 水下潛器設(shè)計(jì)團(tuán)隊(duì)[24]給出的一種多球交接耐壓殼體模型圖，該概念的提出說明在未來多球交接模型講有著廣闊的應(yīng)用前景，本文優(yōu)化結(jié)構(gòu)拓展至三維將給出不同鋪層狀態(tài)下的多球交接耐壓結(jié)構(gòu)形式，對于發(fā)展該種耐壓結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)意義。

圖9 材料各向同性多球鉸支的耐壓結(jié)構(gòu)Fig. 9 Optimal results of multiple intersecting spherical pressure hull with isotropic material

圖10 MIT 提出的多球交接耐壓結(jié)構(gòu)模型Fig. 10 Conceptual model of multiple intersecting spherical pressure hull

6 結(jié) 語

本文通過推導(dǎo)復(fù)合材料的等效剛度矩陣，并結(jié)合SIMP 模型，等值線方法以及平均敏度方法與考慮密度梯度的靈敏度過濾方法，實(shí)現(xiàn)了對在拓?fù)湎嚓P(guān)載荷作用下，基于復(fù)合材料的拓?fù)鋬?yōu)化問題的研究。在本文中，計(jì)算分析了 3 個算例：外部受壓的經(jīng)典橋形結(jié)構(gòu)優(yōu)化算例，靜水壓作用下的耐壓結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)算例，以及內(nèi)部鉸支的空心耐壓結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)算例?？梢缘贸鲆韵聨讉€結(jié)論：

1）對于同一個優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，采用復(fù)合材料得到的優(yōu)化結(jié)果與采用各向同性材料得到的結(jié)果在結(jié)構(gòu)大體上相似，但局部結(jié)構(gòu)會存在差異；

2）復(fù)合材料的鋪層方式不同，優(yōu)化結(jié)果也可能不同：如果是非對稱鋪層，優(yōu)化結(jié)果很可能出現(xiàn)不對稱的結(jié)構(gòu)；如果 2 種鋪層方式完全相反，兩者的優(yōu)化結(jié)果可能會是互成鏡像；

3）對于有2個鋪層的復(fù)合材料，鋪層角度的變化，會改變實(shí)體材料的分布，對最優(yōu)拓?fù)湫问疆a(chǎn)生較大影響；

4）對于靜水壓作用下的耐壓結(jié)構(gòu)及空心耐壓結(jié)構(gòu)，復(fù)合材料的應(yīng)用有可能消除或削弱原優(yōu)化結(jié)果中的應(yīng)力集中等不良現(xiàn)象。本文的研究只是對基于復(fù)合材料的拓?fù)鋬?yōu)化在水下耐壓結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)上的初步應(yīng)用，諸如基于復(fù)合材料的三維拓?fù)鋬?yōu)化問題，以及更多形式的耐壓結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)問題等都是值得進(jìn)一步探究的課題。

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[24]http://web.mit.edu/12.000/www/m2005/a2/finalwebsite/equip ment/manned/hull.shtml.

Topology optimization design of underwater pressure structure with laminate composites

DAI Yang1, FENG Miao-lin1, ZHAO Min1,2
(1. State Key Laboratory of Ocean Engineering, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240, China;2. Collaborative Innovation Center for Advanced Ship and Deep-Sea Exploration, Shanghai 200240, China)

The paper studies the application of topology optimization with laminate composites in the design of underwater pressure structure. The methodology is based on the isoline method, the solid isotropic material with penalization(SIMP) model, and sensitivity filtering techniques. In addition, the equivalent element stiffness matrix for laminate composites is derived. By computing topology design cases of classical bridge-like structure, underwater structure subjected to hydrostatic pressure, and underwater pressure structure with initial void, the influence on the optimal result of structure under design-dependent loads taken by composites is analyzed. It is found that the structural optimization results of composite material and isotropic material are similar. The change of the angle and laminated type of composite layups may have a large influence on the optimal form of structure. There are similarities between the optimization results of pressure structure with initial void obtained in this paper and the concept put forward by MIT team. Therefore, the research of topology optimization with composite material will make contributions to the design of underwater pressure structure in the future.

pressure structure；topology optimization；composite material；design-dependent loads

U663.1；U674.941

A

1672 – 7649(2017)10 – 0014 – 08

10.3404/j.issn.1672 – 7649.2017.10.003

0 引 言

潛水器是探索深海的重要工具，目前研究人員對于開發(fā)新型高性能深潛器的需求日益突出。而作為深潛器結(jié)構(gòu)中核心部分的水下耐壓結(jié)構(gòu)，對其優(yōu)化設(shè)計(jì)，探尋新的耐壓結(jié)構(gòu)的最優(yōu)拓?fù)湫问接兄卮蟮膽?yīng)用價(jià)值。在傳統(tǒng)的耐壓結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)中，形成了在淺水中采用圓柱形耐壓殼，在深水中采用球形耐壓殼的固定觀念。如我國 7 000 m 載人深潛器“蛟龍”號的耐壓結(jié)構(gòu)部分就選用了鈦合金球形耐壓殼。但隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展與復(fù)合材料的應(yīng)用，這些傳統(tǒng)的觀念被打破。在 2009 年，由美國伍茲霍爾海洋研究所研制的“海神”號無人潛水器成功到達(dá)了馬里亞納海溝的10 902 m 深處[1]。而為了實(shí)現(xiàn)“海神”號的最輕化，同時保證足夠的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度，其耐壓結(jié)構(gòu)選用了質(zhì)量輕、強(qiáng)度高的陶瓷材料，并且其形狀不再是傳統(tǒng)的球形，而是圓柱形的耐壓殼。目前，國外開展了基于復(fù)合材料的耐壓結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)研究，由于復(fù)合材料的輕質(zhì)，未來基于復(fù)合材料的耐壓結(jié)構(gòu)將成為潛器設(shè)計(jì)的重要發(fā)展方向。

2016 – 10 – 21；

2016 – 10 – 26

戴揚(yáng)(1991 – )，男，碩士研究生，研究方向?yàn)閺?fù)合材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化。