帶限局部平面波傳播算子與偏移方法

劉少勇 韓冰凱* 顧漢明 宋桂橋

(①中國(guó)地質(zhì)大學(xué)地球物理與空間信息學(xué)院，湖北武漢 430074; ②地球內(nèi)部多尺度成像湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北武漢 430074； ③中國(guó)石化油田勘探開發(fā)事業(yè)部，北京 100728)

帶限局部平面波傳播算子與偏移方法

劉少勇①②韓冰凱*①②顧漢明①②宋桂橋③

(①中國(guó)地質(zhì)大學(xué)地球物理與空間信息學(xué)院，湖北武漢 430074; ②地球內(nèi)部多尺度成像湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北武漢 430074； ③中國(guó)石化油田勘探開發(fā)事業(yè)部，北京 100728)

劉少勇，韓冰凱，顧漢明，宋桂橋.帶限局部平面波傳播算子與偏移方法.石油地球物理勘探，2017,52(5):948-955.

地震信號(hào)的帶限特點(diǎn)限制了高頻近似下的射線類算子在地震波模擬和偏移中的應(yīng)用。本文基于射線理論構(gòu)建帶限信號(hào)局部平面波傳播算子，兼顧射線類方法具有時(shí)空局部性和實(shí)現(xiàn)靈活高效的特點(diǎn)，有效進(jìn)行帶限地震波場(chǎng)的模擬和偏移。即分析傳統(tǒng)高頻射線在速度界面的傳播特征，利用帶限信號(hào)頻帶與菲涅耳帶的關(guān)系，構(gòu)建帶限斯奈爾定律進(jìn)行中心射線傳播；在局部平面波假設(shè)下，基于帶限中心射線做旁軸近似展開，構(gòu)建帶限局部平面波傳播算子；在此基礎(chǔ)上發(fā)展基于該算子的帶限射線束偏移方法。數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，帶限射線束較傳統(tǒng)基于高頻近似的射線束具有更強(qiáng)穿透能力，改善射線陰影區(qū)照明，從而提高復(fù)雜構(gòu)造區(qū)成像質(zhì)量。

射線束偏移 帶限信號(hào) 傳播算子 局部平面波

1 引言

基于高頻近似的射線類傳播算子被廣泛應(yīng)用于描述地震波傳播和偏移成像，但實(shí)際采集的地震數(shù)據(jù)是具有一定帶寬的數(shù)字信號(hào)。在高頻漸進(jìn)射線理論下，地震波旅行時(shí)通常被表示為慢度沿著射線路徑的積分[1]。Woodward[2]提出，在一定頻帶范圍內(nèi)的地震波旅行時(shí)通常是由慢度在炮檢點(diǎn)之間射線路徑周圍一定范圍內(nèi)的空間體積分決定的，該旅行時(shí)與地震波頻帶相關(guān)。

Biondi[3]通過(guò)對(duì)赫姆霍茲方程進(jìn)行近似，推導(dǎo)出頻率相關(guān)的程函方程進(jìn)行旅行時(shí)計(jì)算，該方法在計(jì)算低頻部分旅行時(shí)時(shí)受限于高頻端的頻帶范圍。Hogan等[4]討論了求解頻率相關(guān)程函方程計(jì)算低頻波場(chǎng)的條件，即介質(zhì)的平滑程度。另一類頻率相關(guān)的旅行時(shí)計(jì)算方法可通過(guò)射線追蹤實(shí)現(xiàn)，F(xiàn)oreman[5]從赫姆霍茲方程出發(fā)推導(dǎo)了其對(duì)應(yīng)的頻率相關(guān)的射線追蹤系統(tǒng)。這種方法相比于傳統(tǒng)的射線追蹤，計(jì)算復(fù)雜度顯著增加。Protasov等[6]分析該頻率相關(guān)的射線追蹤算法的特點(diǎn)，將其與射線追蹤、時(shí)間域有限差分正演的波場(chǎng)進(jìn)行對(duì)比分析，指出此方法得到帶限射線的射線路徑與震源主頻有關(guān)，能較好地改善射線陰影區(qū)問(wèn)題。Lomax[7]利用波長(zhǎng)平滑進(jìn)行帶限波場(chǎng)傳播，具體通過(guò)對(duì)垂直于射線平面的速度加權(quán)平均來(lái)實(shí)現(xiàn)，其加權(quán)函數(shù)的寬度正比于波長(zhǎng)。Lomax等[8]分析了波長(zhǎng)平滑算法的原理，指出通過(guò)特定的加權(quán)函數(shù)可控制帶限波場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征，但這種加權(quán)平均的方法在速度差異較大的不規(guī)則界面處難以準(zhǔn)確地刻畫射線的傳播。Protasov等[9]研究了射線在復(fù)雜速度界面?zhèn)鞑ヌ卣?，其核心思想是在?fù)雜界面利用Kirchhoff邊界積分對(duì)積分區(qū)域內(nèi)射線進(jìn)行先加權(quán)后傳播。Protasov等[10]指出利用該方法構(gòu)造出的帶限射線方向?qū)?yīng)的是等效波場(chǎng)透過(guò)界面的最大能量方向，并提出通過(guò)構(gòu)建界面處菲涅耳帶透射波場(chǎng)的最大值問(wèn)題來(lái)求解帶限射線路徑。Yarman等[11]對(duì)Kirchhoff邊界積分引入射線級(jí)數(shù)解，通過(guò)積分表達(dá)式中相位部分的近似導(dǎo)出積分區(qū)間為第一菲涅耳帶，并構(gòu)建該積分區(qū)間和波場(chǎng)頻帶的關(guān)系，將此方法稱為帶限射線追蹤。

本文結(jié)合帶限射線和射線束的特點(diǎn)，從分析傳統(tǒng)高頻射線與帶限射線的傳播特征出發(fā)，研究適應(yīng)于復(fù)雜介質(zhì)的帶限射線追蹤。在此基礎(chǔ)上，通過(guò)旁軸近似構(gòu)建帶限局部平面波傳播算子模擬帶限波場(chǎng)，改善傳統(tǒng)射線類方法在射線陰影區(qū)和中深層的照明及偏移效果。

2 方法原理

2.1 帶限局部平面波傳播算子

高頻射線在速度界面的傳播可由斯奈爾定律控制，帶限射線則對(duì)應(yīng)于帶限波場(chǎng)傳播的最大能量方向[9]。帶限斯奈爾定律可控制帶限射線的傳播，但沒(méi)有傳統(tǒng)斯奈爾定律的簡(jiǎn)潔數(shù)學(xué)表達(dá)式。帶限射線通過(guò)界面時(shí)的影響范圍不再是一個(gè)點(diǎn)，而是由菲涅耳帶控制的一個(gè)范圍，在數(shù)學(xué)上可表達(dá)為求解透射波場(chǎng)能量最大的優(yōu)化問(wèn)題對(duì)應(yīng)的信任區(qū)間。在速度界面處，中心射線透過(guò)界面上一點(diǎn)x0的透射波場(chǎng)可表示為

(1)

式中：x為地下成像點(diǎn)；A(x)為與格林函數(shù)有關(guān)的振幅項(xiàng)；T(x)為透射系數(shù)； 積分區(qū)間FZx0為中心射線路徑坐標(biāo)x0附近的菲涅耳帶的范圍，由頻率f和與旅行時(shí)有關(guān)的相位項(xiàng)Δτ(x,x0)決定。如圖1所示，中心射線穿過(guò)速度界面時(shí)，在其附近的菲涅耳帶FZx0內(nèi)構(gòu)建局部平面Γx0。局部平面內(nèi)，以高頻射線描述等效局部平面波的傳播，入射射線參數(shù)pin(x)和出射射線參數(shù)pout(x)遵循運(yùn)動(dòng)學(xué)射線方程組

(2)

式中：p表示射線的慢度矢量；v表示射線路徑上的速度；s和τ分別表示弧長(zhǎng)和射線的旅行時(shí)；x∈Γx0。由高頻射線的出射射線參數(shù)pout(x)加權(quán)得到等效局部平面波的出射方向pe(x0)，對(duì)應(yīng)透射波場(chǎng)u(x0)的最大能量方向，即帶限中心射線在速度界面處以帶限斯奈爾定律傳播

|u(x0)|

(3)

基于旁軸近似理論， 由帶限中心射線可構(gòu)建帶限局部平面波傳播算子。局部平面波寬度范圍的旅行時(shí)由中心射線旁軸近似展開[24]

圖1 帶限射線在速度界面的傳播示意圖

(4)

式中： Δs為x在中心射線上投影點(diǎn)與x0間距離；r為x到中心射線的距離(圖2a)；mr表征波前曲率

(5)

(6)

式中：v0表示中心射線初射點(diǎn)的速度； Δθ0表示中心射線初射角度間隔(圖2b)。

圖2 笛卡爾坐標(biāo)系下中心射線旅行時(shí)旁軸近似展開(a)與射線束寬度(b)

2.2 帶限射線束偏移

射線束偏移區(qū)別于Kirchhoff積分偏移單道輸入的特點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的輸入數(shù)據(jù)也是由地表地震記錄分解的局部平面波。傳統(tǒng)τ-p變換可將地表地震記錄分解成不同方向的局部平面波。這種線性Randon變換方法由于其基函數(shù)不完備，往往存在能量泄露而降低局部平面波的分辨率。平面波分解通常可統(tǒng)一在反演理論框架下進(jìn)行，通過(guò)構(gòu)建反問(wèn)題求解以獲得更高的分辨率。本文通過(guò)在反問(wèn)題中引入L0范數(shù)的約束，在壓縮感知框架下求解局部平面波問(wèn)題?；诜纸夂蟮木植科矫娌ㄟM(jìn)行帶限射線束的成像。

在頻率域中，構(gòu)建平面波分解的正問(wèn)題描述為：局部平面波源經(jīng)過(guò)傳播矩陣得到地表局部射線束范圍內(nèi)地震數(shù)據(jù)

d(x,ω)=A(x,pe,ω)D(pe,ω)

(7)

式中：d(x,ω)表示地表局部地震數(shù)據(jù)；D(pe,ω)表示待求解的局部平面波；A(x,pe,ω)表示局部平面波源和地表地震數(shù)據(jù)之間的投影矩陣。通過(guò)求解對(duì)應(yīng)反問(wèn)題獲得射線束控制范圍內(nèi)的局部平面波源，即給定相移矩陣和空間局部信號(hào)求解局部平面波。該反問(wèn)題的實(shí)現(xiàn)通常借助于求解如下最小二乘泛函實(shí)現(xiàn)

J=‖A(x,pe,ω)D(pe,ω)-d(x,ω)‖2

(8)

矩陣A(x,pe,ω)通常為欠定矩陣，造成上述反演問(wèn)題不穩(wěn)定，可通過(guò)加入模型約束求最小二乘解，但是其結(jié)果通常受到能量泄露的影響。疊前地震數(shù)據(jù)可以通過(guò)在變換域中實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的稀疏表達(dá)，求解欠定問(wèn)題比較有效的方法是假設(shè)模型具有一定的稀疏性[28]，對(duì)應(yīng)在局部平面波分解中，該稀疏性的物理解釋為：在局部范圍內(nèi)僅存在少數(shù)幾個(gè)平面波源。這種假設(shè)在局部空間窗數(shù)據(jù)中通常成立，可借助于對(duì)模型的L1和L0范數(shù)約束來(lái)實(shí)現(xiàn)[29]。更進(jìn)一步，為了得到更稀疏的局部平面波解，可將模型估計(jì)改為L(zhǎng)0范數(shù)約束

min ‖D(pe,ω)‖0使得

‖A(x,pe,ω)D(pe,ω)-d(x,ω)‖2<ε

(9)

該模型的L0范數(shù)約束代表解的個(gè)數(shù)極小[28]，在射線束合成中代表局部平面波的個(gè)數(shù)較少。模型L0范數(shù)約束是模型稀疏約束比較極端的情況，通常該泛函借助一些貪婪算法實(shí)現(xiàn)，比如匹配追蹤等方法。

基于以上局部平面波數(shù)據(jù)，利用帶限局部平面波傳播算子進(jìn)行炮檢端的波傳播加上成像條件就可以進(jìn)行成像處理。射線束成像條件類似于傳統(tǒng)Kirchhoff積分偏移的等時(shí)成像條件，只是在成像過(guò)程前已經(jīng)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了方向篩選。傳統(tǒng)的Kirchhoff積分偏移成像公式可寫成[30]

eiωτdωdΩ

(10)

式中：Ω表示包含炮點(diǎn)xs和中心檢波點(diǎn)xr0的成像孔徑；ps和pr分別表示炮點(diǎn)、檢波點(diǎn)射線參數(shù)；W為加權(quán)函數(shù)；D表示頻率域局部平面波；τ為旅行時(shí)。在聲學(xué)介質(zhì)中，旅行時(shí)表達(dá)是常數(shù)，D在頻率域的積分可以通過(guò)與δ函數(shù)卷積得到時(shí)間域表達(dá)的局部平面波d。由此，通過(guò)引入激勵(lì)時(shí)間成像條件去除式(10)的頻率域積分，得到時(shí)空域成像公式

pr(xr0),τ]dΩ|τ=τs+τr

(11)

3 帶限射線束偏移的實(shí)現(xiàn)

地震數(shù)據(jù)偏移的實(shí)現(xiàn)通常有兩個(gè)核心步驟：炮檢波場(chǎng)的傳播和成像條件的時(shí)間。射線束偏移一般采用局部平面波傳播算子，本節(jié)從方法的具體實(shí)現(xiàn)出發(fā)，對(duì)帶限局部平面波傳播算子的構(gòu)建和帶限射線束的偏移流程進(jìn)行說(shuō)明。

如圖3所示，時(shí)空域共炮集記錄的帶限射線束偏移流程中帶限局部平面波傳播算子的構(gòu)建分為三個(gè)步驟： ①構(gòu)建局部平面波，當(dāng)中心射線經(jīng)過(guò)模型空間的非均勻區(qū)域時(shí)，在射線束寬度范圍內(nèi)的局部平面內(nèi)以一定密度高頻射線近似局部平面波的傳播； ②以帶限射線追蹤計(jì)算射線路徑和旅行時(shí)，在局部平面內(nèi)加權(quán)計(jì)算等效射線參數(shù)作為中心射線的參數(shù)，以帶限斯奈爾定律描述中心射線的傳播； ③帶限中心射線旅行時(shí)和振幅信息由旁軸近似展開分配到射線束寬度范圍內(nèi)的成像網(wǎng)格點(diǎn)上。

圖3 帶限射線束偏移實(shí)現(xiàn)流程圖

結(jié)合當(dāng)前計(jì)算集群多節(jié)點(diǎn)、多核心共享存儲(chǔ)的特點(diǎn)，為了提高帶限射線束偏移的效率，其實(shí)現(xiàn)過(guò)程需遵循如下原則： ①炮點(diǎn)端各方向格林函數(shù)依次計(jì)算并保存到內(nèi)存中，避免后續(xù)炮檢點(diǎn)射線束相交成像過(guò)程中對(duì)炮點(diǎn)正問(wèn)題的重復(fù)計(jì)算； ②對(duì)炮循環(huán)利用消息傳遞接口(MPI)進(jìn)行并行，內(nèi)部空間方向成像利用OpenMP線程并行，利用計(jì)算機(jī)單節(jié)點(diǎn)多核的特點(diǎn)節(jié)省內(nèi)存； ③一次輸入單炮數(shù)據(jù)，成像結(jié)果記錄于當(dāng)前計(jì)算節(jié)點(diǎn)的本地盤中，最后通過(guò)并行規(guī)約(Reduce)統(tǒng)一抽取成像道集，提高節(jié)點(diǎn)本地存儲(chǔ)的I/O利用率。

4 數(shù)值算例

首先對(duì)水平海底模型進(jìn)行帶限射線傳播的測(cè)試，其中海底以下為高速(4000m/s)介質(zhì)，用水平海底模擬速度躍變界面。在該模型坐標(biāo)(1200m，400m)處設(shè)置震源，從震源出發(fā)進(jìn)行帶限射線束傳播(射線出射角度為25°)，并以有限差分正演模擬的波場(chǎng)快照作為參考(主頻為20Hz，時(shí)刻為1.0s)。如圖4所示，傳統(tǒng)的高頻射線無(wú)法穿過(guò)速度躍變海底，帶限射線卻能穿過(guò)速度躍變的海底，帶限射線寬度由綠色實(shí)線表示，帶限射線的1.0s旅行時(shí)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)位置和局部波前分別由紅色小圓圈和紅色實(shí)線表示。帶限射線穿透能力較高頻射線強(qiáng)，且隨著帶限射線頻率的降低，其穿透能力增強(qiáng)。對(duì)比波場(chǎng)快照，帶限射線旅行時(shí)與有限差分計(jì)算的波前能準(zhǔn)確地吻合。

圖4 水平海底模型高頻射線與帶限射線路徑比較(射線初射角度為25°)

(a)高頻射線；(b)、(c)、(d)依次代表高、中、低頻帶限射線。紅色實(shí)線表示中心射線，綠色實(shí)線標(biāo)注射線束寬度， 紅色小圓圈及其對(duì)應(yīng)紅色實(shí)線標(biāo)注旅行時(shí)1．0s的局部波前位置，對(duì)應(yīng)20Hz有限差分正演模擬1．0s波場(chǎng)快照

進(jìn)一步，為驗(yàn)證帶限射線束進(jìn)行波傳播的有效性和準(zhǔn)確性，同時(shí)驗(yàn)證帶限射線束成像的效果，設(shè)計(jì)一個(gè)崎嶇海底模型進(jìn)行測(cè)試。在圖5a中，以正弦函數(shù)型界面模擬速度躍變的崎嶇海底，對(duì)于高頻射線，崎嶇海底下方是典型的射線陰影區(qū)。如圖5b和圖5c所示，在模型坐標(biāo)(4000m，0)處設(shè)置震源，高頻射線和帶限射線的射線路徑疊加在有限差分正演模擬波場(chǎng)快照(主頻為20Hz，時(shí)刻為1.2s)的背景上。對(duì)比崎嶇海底模型中的射線分布可以看出，帶限射線較傳統(tǒng)高頻射線具有更強(qiáng)的穿透能力，改善了崎嶇海底下方的照明，帶限射線也能更好地與波場(chǎng)快照吻合。圖5d和圖5e分別為傳統(tǒng)射線束和帶限射線束的成像結(jié)果，相比于基于高頻射線的射線束偏移結(jié)果，帶限射線束偏移結(jié)果提高了目標(biāo)層的連續(xù)性，其中紅色箭頭標(biāo)注的水平目標(biāo)層的成像能量強(qiáng)且均勻。在偏移效率方面，帶限射線束和傳統(tǒng)射線束由于在相同的實(shí)現(xiàn)框架下，因此理論上有類似的計(jì)算效率。其執(zhí)行效率的差別源于正算子中計(jì)算格林函數(shù)效率不同，單炮測(cè)試中，帶限射線束傳播算子相比傳統(tǒng)射線束傳播算子增加計(jì)算量達(dá)373.7%。但由于該模塊并不是偏移過(guò)程中的熱點(diǎn)，因此其導(dǎo)致的偏移效率計(jì)算量只增加了不到18%，詳細(xì)數(shù)據(jù)如表1所示。

最后，選擇更一般的Salt Bag模型[31]進(jìn)行鹽下成像的測(cè)試，圖6a所示模型包含不規(guī)則鹽丘體，鹽丘上界面為一崎嶇界面。如圖6b和圖6c所示，在模型坐標(biāo)(5000m，0)處設(shè)置震源，高頻射線和帶限射線的射線路徑疊加在有限差分正演模擬波場(chǎng)快照(主頻為20Hz，時(shí)刻為1.2s)的背景上。對(duì)比高頻射線與帶限射線的射線路徑可知，帶限射線能更好地穿透鹽丘，對(duì)鹽下區(qū)域有更好的照明，這是利用改善射線類方法對(duì)鹽下成像的基礎(chǔ)。圖6d和圖6e分別為對(duì)應(yīng)的傳統(tǒng)射線束和帶限射線束的偏移成像結(jié)果，對(duì)比紅色矩形框內(nèi)的成像區(qū)域，帶限射線束偏移對(duì)鹽丘下界面和鹽丘下方的目標(biāo)層位成像效果優(yōu)于傳統(tǒng)高頻射線束偏移。

圖5 崎嶇海底模型高頻射線與帶限射線傳播對(duì)比以及對(duì)應(yīng)射線束成像結(jié)果

(a)崎嶇海底模型，海底下方為高速(4500m/s)鹽丘體； (b)高頻射線路徑疊加于20Hz有限差分正演模擬1.2s波場(chǎng)快照，紅色實(shí)線表示射線路徑，綠色實(shí)心圓點(diǎn)射線路徑對(duì)應(yīng)1.2s旅行時(shí)的波前，圖c同； (c)帶限射線路徑疊加于20Hz有限差分正演模擬1.2s波場(chǎng)快照； (d)基于高頻射線的射線束成像剖面； (e)帶限射線束成像剖面

圖6 Salt Bag模型高頻射線與帶限射線傳播對(duì)比以及對(duì)應(yīng)射線束成像結(jié)果

(a)Salt Bag速度模型； (b)高頻射線路徑疊加于20Hz有限差分正演模擬1.2s波場(chǎng)快照，紅色實(shí)線表示射線路徑，綠色實(shí)心圓點(diǎn)射線路徑對(duì)應(yīng)1.2s旅行時(shí)的波前，圖c同； (c)帶限射線路徑疊加于20Hz有限差分正演模擬1.2s波場(chǎng)快照； (d)基于高頻射線的射線束成像剖面； (e)帶限射線束偏移成像剖面

表1 崎嶇海底模型傳統(tǒng)射線束與帶限射線束偏移效率對(duì)比

5 結(jié)論與討論

本文在射線理論框架下，基于帶限中心射線，利用旁軸近似構(gòu)建帶限局部平面波傳播算子，進(jìn)行帶限地震波場(chǎng)的傳播和偏移。該算子在理論上保留了傳統(tǒng)射線束傳播算子靈活高效和具有局部時(shí)空性的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)兼顧波動(dòng)類算子能夠刻畫帶限信號(hào)的特點(diǎn)。在實(shí)際應(yīng)用中帶限局部平面波傳播能提高射線束的穿透能力，改善傳統(tǒng)高頻射線理論對(duì)應(yīng)的射線陰影區(qū)等問(wèn)題，有利于改善復(fù)雜構(gòu)造的照明。基于該帶限傳播算子的成像方法提高了崎嶇海底和鹽丘等復(fù)雜構(gòu)造的偏移成像質(zhì)量。數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果也表明本文提出的帶限局部平面波傳播算子能夠準(zhǔn)確有效地描述帶限波場(chǎng)的傳播，改善射線陰影區(qū)和鹽下構(gòu)造等復(fù)雜探區(qū)的成像質(zhì)量。本文研究為基于帶限射線束的層析和反演等后續(xù)研究提供了基礎(chǔ)。

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(本文編輯：朱漢東)

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10.13810/j.cnki.issn.1000-7210.2017.05.007

劉少勇 博士，1985年生； 2008年畢業(yè)于中國(guó)石油大學(xué)(華東)地球物理學(xué)專業(yè)，獲學(xué)士學(xué)位； 2015年畢業(yè)于同濟(jì)大學(xué)固體地球物理學(xué)專業(yè)，獲博士學(xué)位； 2015年11月至今，在中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢)從事教學(xué)科研工作，主要研究方向?yàn)榈卣鸩▊鞑ゼ俺上瘛?shù)字信號(hào)處理。

*湖北省武漢市洪山區(qū)魯磨路388號(hào)中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢)地球物理與空間信息學(xué)院，430074。 Email：rhanbk@163.com

本文于2016年11月28日收到，最終修改稿于2017年8月14日收到。

本項(xiàng)研究受國(guó)家重大專項(xiàng)(2016ZX05026001-001)、國(guó)家自然科學(xué)基金(41604092)、中國(guó)博士后科學(xué)基金(2016M590725)及中國(guó)石化國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金(33550006-16-FW0399-0021)等聯(lián)合資助。