一個(gè)考慮淺層地下水位埋深的降雨物理入滲模型

豆紅強(qiáng)， 蔣森輝

(福州大學(xué)環(huán)境與資源學(xué)院， 福建 福州 350116)

一個(gè)考慮淺層地下水位埋深的降雨物理入滲模型

豆紅強(qiáng)， 蔣森輝

(福州大學(xué)環(huán)境與資源學(xué)院， 福建 福州 350116)

基于經(jīng)典Green-Ampt 入滲模型， 建立了考慮任意降雨強(qiáng)度下淺層地下水位埋深的降雨物理入滲模型. 針對(duì)4種不同滲透性質(zhì)的土樣， 將此模型的解析解與數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析， 結(jié)果表明： 所建的降雨入滲物理模型及其數(shù)值解的最大積水時(shí)差僅為0.274 h， 最大相對(duì)累積入滲量誤差僅為3.204%， 驗(yàn)證了該修正模型的合理性. 同時(shí)以砂質(zhì)壤土為例， 利用該模型分析不同地下水位埋深對(duì)降雨入滲的影響. 分析表明： 雨水入滲速率、 累積入滲量以及積水時(shí)間受地下水位埋深的影響較小， 而濕潤(rùn)鋒深度隨著降雨歷時(shí)的增加受其影響逐漸明顯.

降雨入滲； Green-Ampt 模型； 地下水位； 非飽和土； 物理入滲模型

0 引 言

降雨入滲是指雨水通過(guò)地表向下運(yùn)動(dòng)補(bǔ)給土壤水、 地下水， 是水分在土體中的一個(gè)動(dòng)態(tài)分布過(guò)程， 更是土壤水分循環(huán)的重要組成部分. 降雨入滲的研究對(duì)農(nóng)田灌溉與排水、 地下水補(bǔ)給、 土壤侵蝕以及邊坡的穩(wěn)定性等均有至關(guān)重要的作用.

相較于數(shù)值解的收斂存在嚴(yán)重的參數(shù)敏感性(例如， 非飽和滲流求解過(guò)程中的數(shù)值彌散現(xiàn)象[1]和非線性迭代收斂震蕩[2]等)， 建立一種簡(jiǎn)單、 物理基礎(chǔ)明確且能準(zhǔn)確反映降雨入滲的模型是研究此類問(wèn)題的有效方法. Green和Ampt[3]以毛管理論為基礎(chǔ)， 提出具有相同初始含水量的均質(zhì)土壤的下滲方程(Green-Ampt 模型)， Mein 和Larson[4]將其推廣到穩(wěn)定降雨入滲的情況， Chu[5]又將此模型推廣應(yīng)用于自然變雨強(qiáng)的雨水入滲過(guò)程. 而后， 眾多學(xué)者針對(duì)不同工況發(fā)展了經(jīng)典Green-Ampt入滲模型. 如， 韓同春等[6]基于Green-Ampt入滲模型建立了考慮土體中封閉氣壓影響的擴(kuò)展入滲模型. 李秀珍等[7]擴(kuò)展了Mein-Larson模型， 使其能夠考慮高強(qiáng)度短歷時(shí)和低強(qiáng)度長(zhǎng)歷時(shí)的兩種降雨工況. 范嚴(yán)偉等[8]建立了改進(jìn)的夾砂層土壤的Green-Ampt 入滲模型. Cho[9]采用擴(kuò)展Green-Ampt入滲模型模擬了淺層殘積土邊坡下端為不透水基巖的工況. 但上述入滲模型均假設(shè)土壤剖面的初始含水量為均勻分布的半無(wú)限體， 顯然， 當(dāng)?shù)乇硐麓嬖诼裆钶^淺的地下水位時(shí)， 地下水位線以上的土壤剖面的含水量必然呈非線性分布. 也就是說(shuō)， 以上擴(kuò)展入滲模型大都針對(duì)理想化的工況， 而未能考慮地下水位埋深對(duì)雨水入滲的影響.

詹良通等[10]基于非飽和滲流控制方程， 建立了考慮地下水位埋深情況下的雨水入滲無(wú)限長(zhǎng)斜坡內(nèi)水分運(yùn)移模型. Lu等[11]基于非飽和土達(dá)西滲流定律， 求解了以地下水位為邊界條件的土壤剖面內(nèi)基質(zhì)吸力分布的解析解. 但是以上解析解均假設(shè)雨水全部入滲到土壤剖面中， 即以上方程僅能考慮降雨強(qiáng)度小于土體飽和滲透系數(shù)(rks)， 此時(shí)雨水并不能全部入滲到土壤中， 而是地表開(kāi)始積水或產(chǎn)生徑流.

實(shí)際上， 李寧等[12]已基于非線性Richards方程， 采用Fourier積分變換分別針對(duì)降雨強(qiáng)度大于和小于飽和滲透系數(shù)的兩種工況， 推導(dǎo)出斜坡入滲解析解的統(tǒng)一表達(dá)式， 并通過(guò)與數(shù)值解的對(duì)比驗(yàn)證了此解析解的正確性. 相較于求解Richards方程的解析解， 土壤入滲物理模型具有概念明確、 簡(jiǎn)便有效、 便于在工程中應(yīng)用的特點(diǎn)， 因此土壤入滲物理模型不失為一種解決非飽和土雨水入滲的簡(jiǎn)單而有效的方法.

為此， 本研究主要包括： 1) 從經(jīng)典Green-Ampt入滲模型角度出發(fā)， 建立一個(gè)任意雨強(qiáng)下考慮地下水位埋深的降雨入滲模型； 2) 針對(duì)4種不同類型的土樣， 將由此模型所得的雨水累積入滲量和雨水入滲率與數(shù)值解(Richards方程)進(jìn)行對(duì)比分析， 以驗(yàn)證此改進(jìn)模型的合理性; 3) 利用此改進(jìn)模型分析地下水位埋深對(duì)非飽和土體降雨入滲的影響.

1 考慮地下水位埋深的降雨入滲物理模型

1.1 Green-Ampt入滲模型

由于所建立的強(qiáng)降雨條件下考慮地下水位埋深的雨水入滲模型是經(jīng)典Green-Ampt入滲模型的擴(kuò)展， 因此有必要對(duì)Green-Ampt入滲模型作簡(jiǎn)要的介紹.

Green與Ampt 基于毛管理論提出具有相同初始含水量的均質(zhì)土壤的下滲方程. 其入滲率為：

式中：f為土壤入滲率, cm·h-1；ks為飽和土滲透系數(shù), cm·h-1；Sf為濕潤(rùn)鋒處概化基質(zhì)吸力, cm；zf為概化的濕潤(rùn)鋒深度, cm；h為地表處的總水勢(shì), cm.

當(dāng)表面積水很少時(shí)， 即h≈0時(shí)， 根據(jù)入滲量F(t)與入滲率f(t)的關(guān)系， 可得：

式中：F為累計(jì)入滲量； Δθ=θs-θi， 為含水率之差.

Mein與Larson將Green-Ampt模型推廣應(yīng)用至穩(wěn)定降雨入滲的情況, 其將雨水入滲過(guò)程分為水頭控制入滲和流量控制入滲兩個(gè)階段， 兩階段的分界點(diǎn)為降雨強(qiáng)度i等于土壤入滲率f， 此后地表開(kāi)始積水或產(chǎn)生徑流， 設(shè)積水時(shí)刻為tp， 此時(shí)降雨強(qiáng)度i等于雨水入滲率f， 則由Green-Ampt模型可知積水時(shí)刻的所對(duì)應(yīng)的累積入滲量為：

式中：θs為土體飽和體積含水率；θi為土體初始體積含水率.

同時(shí)， 整個(gè)入滲過(guò)程的入滲率可表示為：

則上式可寫(xiě)為累積入滲量F與時(shí)間t的顯式方程：

1.2 考慮地下水位埋深的擴(kuò)展降雨入滲模型

當(dāng)?shù)乇硐麓嬖诼裆钶^淺的地下水位時(shí)， 則地下水位線以上土壤剖面的含水量呈非線性分布. 設(shè)地下水位埋深為h， 則有：

其中:z為位置水頭，ψ為位置水頭z處所對(duì)應(yīng)的基質(zhì)吸力.

此時(shí)為確定土壤剖面初始含水率的分布， 必須確定體積含水率與基質(zhì)吸力之間的關(guān)系. 采用Brook與Corey[13]所提出的土水特征曲線擬合公式：

聯(lián)立式(5)和(6)， 即可得地下水位以上土壤剖面的初始含水率分布為：

當(dāng)降雨強(qiáng)度小于土壤飽和滲透系數(shù)時(shí)(iks)， 入滲雨水會(huì)在濕潤(rùn)鋒上部土體形成暫態(tài)飽和區(qū). 圖 1 即為在降雨條件下考慮地下水位埋深時(shí)土壤剖面含水率以及孔隙水壓的分布示意圖.

圖1 土體剖面含水率及孔隙水壓分布示意圖Fig.1 Schematic diagram of conceptual water content and pore pressure profile

由Green-Ampt入滲模型可知， 當(dāng)t=tp時(shí)， 必然有降雨強(qiáng)度等于土壤入滲速率， 即：

式中：zp為積水時(shí)所對(duì)應(yīng)的濕潤(rùn)鋒深度.

設(shè)積水時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的累積入滲量為Fp， 由于入滲雨水質(zhì)量守恒， 則有：

將式(8)代入式(10)， 可得：

則對(duì)應(yīng)的積水時(shí)刻為：

當(dāng)t>tp時(shí)， 設(shè)累積入滲量為F， 此時(shí)對(duì)應(yīng)的濕潤(rùn)鋒深度為z， 則沿濕潤(rùn)鋒深度積分得:

將其化為微分形式， 則：

將式(8)代入式(14) 并化簡(jiǎn)得：

因此， 由式(9), (15)可知， 求解積水時(shí)刻tp以及累積入滲量F(t)的關(guān)鍵在于確定濕潤(rùn)鋒處概化基質(zhì)吸力Sf. 由于此時(shí)土壤剖面中初始含水率θi呈非線性分布， 則上式中濕潤(rùn)鋒處概化基質(zhì)吸力Sf不再為一常量， 而是隨濕潤(rùn)鋒深度z變化的函數(shù).

實(shí)際上， 早在1964年， Bouwer[14]認(rèn)為概化濕潤(rùn)鋒吸力Sf可表示為非飽和土壤導(dǎo)水率的函數(shù)， 即:

但上式并非基于理論推導(dǎo)得出， 而是將模擬水平流動(dòng)的結(jié)果用于垂直情況.

Mein與Larson[4]提出用土壤水吸力的加權(quán)平均值來(lái)表示， 即：

式中:kr為相對(duì)滲透系數(shù)，kr=k(θ)/ks.

Moore等[15]將上述濕潤(rùn)鋒處概化基質(zhì)吸力Sf修正為：

且研究表明， 相對(duì)于(θs-θi)所引起的誤差，Sf引起的誤差較小.

通過(guò)比較分析， 采用式(18)來(lái)計(jì)算Sf， 則聯(lián)立式(5)、 (6)、 (7)和(17)可得：

式(18)即表示了在地下水位埋深為h，Sf為濕潤(rùn)鋒深度z的函數(shù). 顯然， 當(dāng)土壤剖面的初始含水率沿深度方向θi為一常量時(shí)， 此時(shí)對(duì)應(yīng)的Sf亦為一常量， 式(9)和(15)也可退化為經(jīng)典的Green-Ampt入滲模型.

一旦確定了Sf， 就可以通過(guò)式(9)采用相應(yīng)的迭代程序求解出積水時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的濕潤(rùn)鋒深度z，進(jìn)而求出相對(duì)應(yīng)的積水時(shí)間tp； 最后通過(guò)四階Runge-Kutta法即可求解微分方程(15)以確定z(t).

另一方面， 當(dāng)降雨強(qiáng)度i小于土體飽和滲透系數(shù)時(shí)(i

此時(shí)濕潤(rùn)鋒上部土體的含水率不再為飽和含水率θs， 設(shè)此時(shí)對(duì)應(yīng)的含水率為θ0， 則根據(jù)非飽和土Darcy定律， 知：

則沿濕潤(rùn)鋒深度方向積分， 得:

由于Green-Ampt入滲模型的剖面含水量剖面為矩形剖面， 則式(22)可簡(jiǎn)化為：

顯然，θ0可由式(7)與(23) 通過(guò)牛頓迭代法確定.

值得注意的是， 所建模型的適應(yīng)范圍可以擴(kuò)展到土壤剖面初始含水率呈任意分布的情形， 因?yàn)橐坏┐_定了土壤剖面初始含水率的分布， 由式(18)即可確定濕潤(rùn)鋒處概化基質(zhì)吸力Sf(z), 進(jìn)而結(jié)合本改進(jìn)的Green-Ampt入滲模型即可求解出非飽和土在雨水入滲情況下的入滲率以及累積入滲量.

2 模型驗(yàn)證與分析

為驗(yàn)證所得改進(jìn)的雨水入滲模型的正確性， 采用Hydrus-1D對(duì)4種不同類型的一維土柱進(jìn)行數(shù)值計(jì)算， 土體物理性質(zhì)參數(shù)來(lái)源于Rawls等[16]所統(tǒng)計(jì)的近似參數(shù)， 如表1所示. 土柱計(jì)算模型深4 m， 地下水位埋深h均為3 m， 降雨持時(shí)為20 h. 邊界條件為考慮地表徑流的大氣邊界條件， 初始條件為θ=θi， 其值可由Brook-Corey土水特征曲線根據(jù)地下水位的埋深確定. 數(shù)值解的控制方程為Richards 方程:

表1 土體基本物理性質(zhì)與降雨強(qiáng)度

圖2為由本改進(jìn)入滲模型和數(shù)值模型分別針對(duì)以上四種土樣所計(jì)算的雨水累積入滲量和入滲速率隨時(shí)間變化的曲線. 由圖可知， 在地表積水前 (ttp)， 模型所計(jì)算的結(jié)果較數(shù)值解有所偏大， 這是由于模型假設(shè)雨水一旦入滲即致使?jié)駶?rùn)鋒上部土壤剖面的含水率達(dá)到飽和. 另一方面， 模型所計(jì)算的積水時(shí)間以及入滲速率亦較數(shù)值有所偏大， 但整體而言， 所建的考慮地下水位埋深的降雨入滲模型與數(shù)值解均有較好的吻合.

圖2 累積入滲量和入滲速率與時(shí)間的關(guān)系Fig.2 Cumulative infiltration and infiltration rates versus time on four soil textures

表2為由本文改進(jìn)入滲模型和數(shù)值解分別針對(duì)以上土樣在降雨歷時(shí)20 h后的具體計(jì)算結(jié)果. 同時(shí)定義模型解與數(shù)值解的積水時(shí)間差為Δtp,

相對(duì)累積入滲量誤差為εF，

表2 模型解與數(shù)值解的比較

從表2中可以看出， 隨著土體飽和滲透系數(shù)的增加， 積水時(shí)差以及相對(duì)累積入滲量大致呈上升趨勢(shì)， 這是由于飽和滲透系數(shù)較大的粗質(zhì)土進(jìn)氣值較低， 固水能力較差， 致使原入滲雨水通過(guò)濕潤(rùn)鋒面迅速下滲. 但是， 本模型和數(shù)值解的最大積水時(shí)差僅為0.274 h， 最大相對(duì)累積入滲量誤差僅為3.204%.

3 地下水位埋深對(duì)降雨的影響

圖3 入滲速率與時(shí)間的關(guān)系Fig.3 Infiltration rates versus time

以上已驗(yàn)證所建的考慮地下水位埋深的雨水入滲模型的合理性， 現(xiàn)利用此模型分析地下水位埋深對(duì)降雨入滲的影響. 取砂質(zhì)壤土進(jìn)行分析， 土體具體參數(shù)以及降雨強(qiáng)度見(jiàn)表1. 同時(shí)取地下水位埋深h分別取3、 4和5 m以進(jìn)行對(duì)比分析.

圖3反映了不同地下水位埋深下的雨水入滲速率與降雨持時(shí)的關(guān)系. 由圖3可知, 隨著地下水位埋深的增加， 雨水入滲速率僅有稍微增加； 同時(shí)積水時(shí)間tp亦從2.531 h增加到2.761 h， 增幅約為9%. 但雨水累積入滲量在不同地下水位埋深下基本保持不變， 如圖4所示.

圖4 累積入滲量與時(shí)間的關(guān)系Fig.4 Cumulative infiltration versus time

圖5 濕潤(rùn)鋒深度與時(shí)間的關(guān)系Fig.5 Depth of wetting front versus time

圖5反映了不同地下水位埋深下濕潤(rùn)峰深度隨時(shí)間的變化. 從圖中可以看出， 地表積水后， 土壤剖面內(nèi)濕潤(rùn)鋒深度隨地下水位埋深的增加逐漸降低， 且隨著降雨持時(shí)的增加， 受地下水位埋深影響的濕潤(rùn)鋒深度的差異逐漸明顯. 具體而言， 當(dāng)降雨持時(shí)達(dá)到20 h時(shí)， 地下水位埋深為3 m所對(duì)應(yīng)的濕潤(rùn)鋒深度約為248.13 cm， 地下水位埋深為5 m所對(duì)應(yīng)的濕潤(rùn)鋒深度為209 cm， 降幅達(dá)18%之多. 這是由于濕潤(rùn)鋒的深度主要取決于土壤剖面初始含水量和雨水累積入滲量(式(8)和(14))， 而地下水位埋深的變化恰恰改變了土壤剖面初始含水量的分布.

4 結(jié)語(yǔ)

1) 基于經(jīng)典Green-Ampt入滲模型， 建立了任意雨強(qiáng)下考慮淺層地下水位埋深影響的降雨入滲模型(未考慮在長(zhǎng)歷時(shí)降雨條件下濕潤(rùn)鋒與地下水位相遇的情況). 實(shí)際上， 該改進(jìn)模型的適應(yīng)范圍可以擴(kuò)展到土壤剖面初始含水率呈任意分布的情形. 然后針對(duì)粘土、 砂質(zhì)粘土、 砂質(zhì)粘性壤土以及砂質(zhì)壤土等4種土樣與數(shù)值解進(jìn)行了對(duì)比分析. 結(jié)果表明： 模型解與數(shù)值解的最大積水時(shí)差僅為0.274 h， 最大相對(duì)累積入滲量誤差僅為3.204%， 說(shuō)明本文改進(jìn)模型與數(shù)值模型有較高的吻合度. 同時(shí)， 當(dāng)假設(shè)土壤剖面內(nèi)初始含水率為常數(shù)時(shí)， 本文擴(kuò)展模型又可以退化為經(jīng)典的Green-Ampt入滲模型.

2) 針對(duì)砂質(zhì)壤土探討了地下水位埋深對(duì)降雨入滲的影響， 隨著地下水位埋深從3 m增加到5 m， 雨水入滲速率僅有稍微增加， 雨水累積入滲量基本保持不變， 對(duì)應(yīng)的積水時(shí)間從2.531 h增加到2.761 h， 而土壤剖面內(nèi)濕潤(rùn)鋒的深度在地表積水后隨地下水位埋深的增加逐漸降低， 且隨著降雨持時(shí)的增加， 受地下水位埋深影響的濕潤(rùn)鋒深度的差異逐漸明顯， 當(dāng)降雨持時(shí)達(dá)到20 h時(shí)， 對(duì)應(yīng)的濕潤(rùn)鋒深度從248.13 cm降到209 cm， 降幅達(dá)18%.

3) 本研究?jī)H針對(duì)均質(zhì)土層對(duì)降雨入滲作了理論上的探討， 實(shí)際上， 由于氣象、 地質(zhì)、 水文和生物過(guò)程的作用， 土壤大都呈層狀結(jié)構(gòu)； 另一方面， 本改進(jìn)模型僅考慮了雨水入滲過(guò)程， 而忽略了雨水的蒸發(fā)、 重分布過(guò)程. 這些局限性都有待進(jìn)一步的研究.

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(責(zé)任編輯： 沈蕓)

On the basis of the traditional Green-Ampt infiltration model, the extended infiltration model considering the depths of water table is established. Four different types of soil textures are adopted to obtain the corresponding analytical solutions and numerical solutions. The results show that the error of the ponding time is only 0.274 h and the error of relatively accumulative infiltration is 3.204%, which show that the proposed model is quite reasonable. Take the sandy loam for example, we use the validated model to analyze how the depth of the water table affects the rainwater infiltrate into unsaturated soil, the analysis shows that the infiltration rate, cumulative infiltration and the ponding time are less susceptible to the depth of water table. However, with the duration of the rainfall increase, the depth of wetting front is influenced more obviously.

rainfall infiltration; Green-Ampt model; water table; unsaturated soil; physical infiltration model

TU42

A

Arainfallinfiltrationphysicalmodelconsideringthedepthofwatertable

DOU Hongqiang, JIANG Senhui

(College of Environment and Resources, Fuzhou University , Fuzhou, Fujian 350116, China)

10.7631/issn.1000-2243.2017.04.0582

1000-2243(2017)04-0582-07

2016-03-10

豆紅強(qiáng)(1987-), 講師， 主要從事邊坡穩(wěn)定， 滲流理論等研究， douhq@fzu.edu.cn

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51178423)； 福州大學(xué)科研啟動(dòng)基金資助項(xiàng)目(510164)