復變函數(shù)解析的共軛復坐標解釋

滕遠江

(湖南工程學院，湖南 湘潭 411104)

復變函數(shù)解析的共軛復坐標解釋

滕遠江

(湖南工程學院，湖南 湘潭 411104)

解析函數(shù)是復變函數(shù)論的重要對象，為深刻揭示解析函數(shù)的本質(zhì)特性，需要從不同角度刻畫函數(shù)的解析性。本文首先引入復變函數(shù)的共軛復坐標記號，探索復變函數(shù)在共軛復坐標下的微分特性，進而運用共軛復坐標解釋了復變函數(shù)的解析性。

復變函數(shù)；解析；共軛復坐標

1 復變函數(shù)的共軛復坐標記號

實數(shù)與復數(shù)之間存在著變換：

(1)

(2)

2 共軛復坐標下函數(shù)的微分

由(1)可得：

(3)

可以對復變函數(shù)f(z)進行形式偏導(二元泰勒公式可以具體解釋)：

即：

(4)

另外，由(3)可得：

(5)

f的微分定義為du+idv，結(jié)合(5)有：

df=du+idv=(uxdx+uydy)+i(vxdx+vydy)

=(ux+ivx)dx+(uy+ivy)dy

繼續(xù)演變，還有：

即f的全微分對：

(6)

(6)反映了f的全微分滿足一階微分形式不變性。

3 復變函數(shù)解析的共軛復坐標解釋

一般復變函數(shù)理論有：

由(4)、(5)得：

(7)

(8)

此時，由(6)知：

=(ux+ivx)dz

即得：

(9)

當一個解析函數(shù)f的導數(shù)f′在區(qū)域D上恒為零時，由(7)、(9)知f的實部u和虛部v關(guān)于實變量x,y的各個偏導數(shù)都恒等于零。因此u,v是常數(shù)，從而f在D上是常數(shù)。

由C.-R.方程知，區(qū)域D上解析函數(shù)f的實部u和虛部v只要有一個是常數(shù)，則f在區(qū)域D為常數(shù)[3]。

綜上所述：

解析函數(shù)f為常數(shù)?f′(z)≡0?u≡0或v≡0?|f|為常數(shù)

(10)

【定理※※】及(10)均為復變函數(shù)解析的共軛復坐標解釋[4]。

復變函數(shù)解析的共軛復坐標解釋運用到復積分理論中將產(chǎn)生巨大能量[5]，將在今后的討論中展示。

[1] Ahlfors L.Complex Analysis. McGraw-Hill，1979.

[2] Jones G.A.Complex Functions-An Algebraic and Geometric Viewpoint[M].Singerman D.Cambridge Univerity Press，1987.

[3] 龔晟.簡明復分析[M].北京：北京大學出版社，1996.

[4] 楊澤恒，付卓如.大學復變函數(shù)課程與高中數(shù)學的銜接[J].大學數(shù)學，2013，29(01)：15-17.

[5] 鐘玉泉.復變函數(shù)論(第4版)[M].北京：高等教育出版社，2013.

Conjugatecomplexcoordinateinterpretationofcomplexvariablefunction

TENG Yuan-jiang

(Hunan Institute of Engineering, Xiangtan 411104, China)

The analytic function is an important object of the complex function theory. In order to reveal the essential characteristics of the analytic function, it is necessary to describe the analytic function from different angles. In this paper, we first introduce the conjugate complex coordinate of the complex function, and explore the differential characteristic of the complex variable in conjugate complex coordinate, and then use the conjugate complex coordinate to explain the analytic property of the complex function.

Complex variable function; Analytic; Conjugate complex coordinate

O174.5

A

1674-8646(2017)18-0092-02

2017-06-16

湖南工程學院校級教改項目“本科公共數(shù)學教學的動力優(yōu)化與模式革新”(2017)

滕遠江(1982-)，男，理學碩士，講師。