預(yù)測(cè)控制工程應(yīng)用中預(yù)測(cè)時(shí)域的選取分析①

吳 博 羅雄麟 韋明輝 許 鋒

(中國(guó)石油大學(xué)(北京)地球物理與信息工程學(xué)院)

預(yù)測(cè)控制工程應(yīng)用中預(yù)測(cè)時(shí)域的選取分析①

吳 博 羅雄麟 韋明輝 許 鋒

(中國(guó)石油大學(xué)(北京)地球物理與信息工程學(xué)院)

對(duì)現(xiàn)有的預(yù)測(cè)時(shí)域選取方法進(jìn)行了總結(jié)，并且結(jié)合工程實(shí)際和理論分析，給出了預(yù)測(cè)控制算法中預(yù)測(cè)時(shí)域可取的范圍。在這一范圍內(nèi)，可以快速簡(jiǎn)捷地選取所有可取的預(yù)測(cè)時(shí)域。最后，通過(guò)兩個(gè)仿真實(shí)例分析了在預(yù)測(cè)時(shí)域可取范圍內(nèi)，不同條件下選取的預(yù)測(cè)時(shí)域?qū)τ诳刂菩阅艿挠绊憽?/p>

預(yù)測(cè)控制 預(yù)測(cè)時(shí)域 選取范圍

PID由于算法簡(jiǎn)單、魯棒性強(qiáng)和可靠性高被廣泛應(yīng)用于實(shí)際工業(yè)過(guò)程控制。但PID算法對(duì)于存在非線性、時(shí)變不確定性和數(shù)學(xué)模型不確定的系統(tǒng)往往達(dá)不到理想的控制效果。為了克服這些問(wèn)題，出現(xiàn)了各種先進(jìn)控制算法。預(yù)測(cè)控制算法由于對(duì)模型的寬容性(參數(shù)與非參數(shù)、線性或非線性)、有限時(shí)域滾動(dòng)優(yōu)化的有效性和在設(shè)計(jì)中可以方便地處理各種軟硬約束而成為過(guò)程工業(yè)中應(yīng)用最廣泛的先進(jìn)控制方法[1,2]。

20世紀(jì)80年代到90年代，隨著預(yù)測(cè)控制方法在工業(yè)界越來(lái)越多的應(yīng)用，各種預(yù)測(cè)控制算法也被總結(jié)提出，如模型算法控制(MAC)、動(dòng)態(tài)矩陣控制(DMC)和廣義預(yù)測(cè)控制(GPC)[3～5]。為了使預(yù)測(cè)控制算法體現(xiàn)其優(yōu)良特性，各種預(yù)測(cè)控制的參數(shù)選取方法也被學(xué)者們所研究。學(xué)者們結(jié)合工程實(shí)際，根據(jù)動(dòng)態(tài)響應(yīng)情況和跟蹤誤差的分析給出了很多參數(shù)選取方法[6～8]。另外一些學(xué)者依據(jù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性分析，給出了相應(yīng)的預(yù)測(cè)控制器參數(shù)[9,10]。

在所有預(yù)測(cè)控制參數(shù)中，預(yù)測(cè)時(shí)域的選取對(duì)預(yù)測(cè)控制性能的影響最大。預(yù)測(cè)時(shí)域的選取是建立在采樣時(shí)間的基礎(chǔ)上的，若選取過(guò)小，雖然響應(yīng)較快，但未必滿足穩(wěn)定性和約束條件[11]；若選取過(guò)大，動(dòng)態(tài)過(guò)程雖然平穩(wěn)卻很緩慢，較大的預(yù)測(cè)時(shí)域會(huì)影響動(dòng)態(tài)特性[12,13]。有些學(xué)者為了說(shuō)明其優(yōu)化方法的優(yōu)越性，往往將預(yù)測(cè)時(shí)域選得極大，這顯然是不合理的。筆者對(duì)前人的研究做了總結(jié)，結(jié)合工程實(shí)際和理論分析，給出了采樣時(shí)間和預(yù)測(cè)時(shí)域可取的范圍，并據(jù)此提出了一套簡(jiǎn)捷的預(yù)測(cè)時(shí)域選取方法。最后通過(guò)一個(gè)模型預(yù)測(cè)控制(MPC)和一個(gè)MPC-PID串級(jí)控制證明了筆者所提選取方法的有效性。

1 預(yù)測(cè)控制算法簡(jiǎn)介

DMC因基于階躍或者傳遞函數(shù)模型而易于實(shí)現(xiàn)，是化工過(guò)程控制中最常采用的預(yù)測(cè)控制方法。因此筆者以DMC為例來(lái)說(shuō)明預(yù)測(cè)控制參數(shù)的確定準(zhǔn)則。

對(duì)于在單位階躍作用下在N步后達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時(shí)不變SISO系統(tǒng)，階躍響應(yīng){s1,s2,…,sN}構(gòu)成系統(tǒng)的完整模型，預(yù)測(cè)輸出為：

Y(k|k)=Y0(k|k)+AΔU(k|k)

(1)

則一般DMC算法性能指標(biāo)為：

(2)

其中E(k|k)=Ys(k|k)-Y(k|k)為跟蹤誤差，Ys(k|k)為未來(lái)輸出的參考值。

在無(wú)約束條件下，最小化式(1)的結(jié)果為：

ΔU(k)=(ATWA+R)-1ATWE0(k)

(3)

但控制問(wèn)題都是有約束存在的，一般的約束有控制作用速率約束、控制作用物理約束和輸出約束，其形式為：

ΔUmin≤ΔU≤ΔUmax

Umin≤U≤Umax

(4)

Ymin≤Y≤Ymax

結(jié)合性能指標(biāo)式(1)和約束式(4)可以構(gòu)成預(yù)測(cè)控制的最優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)二次規(guī)劃可以求解上述最優(yōu)化問(wèn)題，求得ΔU(k)，但是每次當(dāng)前k時(shí)刻，只執(zhí)行最優(yōu)控制序列ΔU(k)的第1項(xiàng)，下一時(shí)刻重新滾動(dòng)計(jì)算優(yōu)化問(wèn)題。

2 預(yù)測(cè)時(shí)域的選取方法

預(yù)測(cè)控制方法出現(xiàn)了近40年時(shí)間，學(xué)者們?yōu)榱颂岣呖刂菩阅?，給出了很多參數(shù)選取方法。對(duì)于DMC算法，主要的參數(shù)有采樣周期T、模型長(zhǎng)度N、預(yù)測(cè)時(shí)域P及控制時(shí)域M等。筆者主要根據(jù)采樣時(shí)間和模型長(zhǎng)度來(lái)研究確定預(yù)測(cè)時(shí)域的可取范圍。

2.1 采樣時(shí)間和模型長(zhǎng)度的確定

在預(yù)測(cè)控制算法中，采樣周期T的選取首先必須遵循采樣控制系統(tǒng)對(duì)采樣周期的選取原則，即滿足香農(nóng)采樣定理，并且符合被控對(duì)象的動(dòng)態(tài)特性。對(duì)于采樣周期的選取，已有了各種建議，如：對(duì)于單容對(duì)象，取T≤0.1Tσ，Tσ為對(duì)象的慣性時(shí)間常數(shù)。但對(duì)于預(yù)測(cè)控制算法，采樣周期的選取還與模型長(zhǎng)度N有著直接關(guān)系，通常為了使模型參數(shù)si(i=1,…,N)盡量完整地反映過(guò)程對(duì)象的動(dòng)態(tài)信息，要求在動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)間tF后階躍響應(yīng)已近似穩(wěn)態(tài)。

通常情況下，T選取得小可以提高精度并及時(shí)抑制干擾，但T選取得過(guò)小，會(huì)造成N值增高，使模型復(fù)雜度增加，并且太小的采樣周期得到的控制作用無(wú)法在底層回路得到充分的響應(yīng)。因此對(duì)于過(guò)程量的控制，模型長(zhǎng)度N一般取在25～50。由于tF為常數(shù)，可確定模型維數(shù)N，也可確定采樣周期T。

2.2 預(yù)測(cè)時(shí)域上限的確定

預(yù)測(cè)時(shí)域P是根據(jù)采樣周期T而選取的。根據(jù)上述方法確定了T的范圍后，Tmin所對(duì)應(yīng)的可選取的最大預(yù)測(cè)時(shí)域是P1max，Tmax所對(duì)應(yīng)的可選取的最大預(yù)測(cè)時(shí)域?yàn)镻2max，并且有：

(5)

對(duì)于可選取采樣周期范圍Tmin≤T≤Tmax內(nèi)所對(duì)應(yīng)的最大的預(yù)測(cè)時(shí)域曲線Pmax如圖1所示。這樣就確定預(yù)測(cè)時(shí)域P的上限。當(dāng)P取為它能取值的上限時(shí)，已經(jīng)接近穩(wěn)態(tài)，這樣導(dǎo)出的控制率比較穩(wěn)定，但系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)近似于系統(tǒng)的自然響應(yīng)，影響系統(tǒng)的快速性，無(wú)法體現(xiàn)出預(yù)測(cè)控制的優(yōu)勢(shì)。并且在文獻(xiàn)[12,13]中也分析論證了P選取得越大，控制效果未必越好。

圖1 預(yù)測(cè)時(shí)域選取上限曲線

2.3 預(yù)測(cè)時(shí)域下限的確定

首先為了滿足物理意義，預(yù)測(cè)時(shí)域P選取得要比控制時(shí)域M大，即P≥M+1。

為了使預(yù)測(cè)控制穩(wěn)定，P不能選得太小。從20世紀(jì)70年代末預(yù)測(cè)控制方法出現(xiàn)以來(lái)，研究者們對(duì)于其穩(wěn)定性的研究已經(jīng)給出了較成熟的理論。對(duì)于DMC算法，最常用的穩(wěn)定性理論為在控制增量變化不大的范圍內(nèi)若在P步內(nèi)選取的動(dòng)態(tài)過(guò)程方向與最終穩(wěn)態(tài)方向一致，則預(yù)測(cè)控制系統(tǒng)為穩(wěn)定的，由此控制時(shí)域M可確定預(yù)測(cè)時(shí)域選取的下限，定義符合條件的關(guān)系曲線為Pmin1(T)。

在工程應(yīng)用中，一般取P步要覆蓋部分動(dòng)態(tài)響應(yīng)過(guò)程，即應(yīng)至少覆蓋反向響應(yīng)部分和時(shí)滯：

(6)

曲線Pmin1(T)和Pmin2(T)有3種情況(圖2，陰影區(qū)域即預(yù)測(cè)時(shí)域可以選取的最大范圍。)：

a. 一般情況，Pmin1(T)在Pmin2(T)右側(cè)，如圖2a所示；

b. 有較大時(shí)滯時(shí)，曲線Pmin1(T)和Pmin2(T)相交，如圖2b所示；

c. 當(dāng)時(shí)滯非常大時(shí)，Pmin1(T)在Pmin2(T)左側(cè)，如圖2c所示。

圖2 預(yù)測(cè)時(shí)域可選取區(qū)域

根據(jù)上述分析，把Pmin1(T)和Pmin2(T)所確定的預(yù)測(cè)時(shí)域選取下限的曲線定義為Pmin(T)。這樣即可根據(jù)曲線Pmax(T)、Pmin(T)與采樣周期T的取值范圍做出預(yù)測(cè)時(shí)域可以選擇的區(qū)域，如圖2所示。預(yù)測(cè)時(shí)域P可以選取的值為該區(qū)域內(nèi)任一整數(shù)，與采樣周期相對(duì)應(yīng)。

在實(shí)際應(yīng)用中，一般不會(huì)將預(yù)測(cè)時(shí)域取到上限值或者下限值，取上限值的缺點(diǎn)已在2.2節(jié)討論過(guò)。當(dāng)P值取得過(guò)小時(shí)，對(duì)于有約束的預(yù)測(cè)控制，每步求得的控制率會(huì)接近約束的上下限。而預(yù)測(cè)控制方法應(yīng)用時(shí)往往采用透明控制，即上層為預(yù)測(cè)控制回路，底層為PID回路。當(dāng)控制率變化過(guò)大時(shí)，底層回路無(wú)法完全響應(yīng)，會(huì)影響控制效果。

上述討論均是針對(duì)單變量系統(tǒng)的，但是該方法很容易推廣到多變量系統(tǒng)。對(duì)于多變量系統(tǒng)，在工程中為了應(yīng)用簡(jiǎn)捷，往往會(huì)對(duì)不同變量選取相同的采樣周期，而且預(yù)測(cè)時(shí)域也會(huì)盡量選取的相同。

按上述方法繪制每個(gè)變量的預(yù)測(cè)時(shí)域-采樣周期區(qū)域圖。因?yàn)閷?duì)于不同變量要選取相同的采樣周期，而采樣周期的交集為Tmini≤T≤Tmaxj，Tmini為所有變量可取采樣周期下限中的最大值，Tmaxj為所有變量采樣周期可取上限中的最小值，因此取采樣周期的交集為多變量系統(tǒng)所有變量采樣周期可選擇區(qū)域中的公共部分。

為了方便討論，對(duì)每個(gè)變量預(yù)測(cè)時(shí)域下限的選取按照?qǐng)D2a的方法選取，此時(shí)對(duì)于每個(gè)變量，曲線Pmax、Pmin都為一簇平行的雙曲線，P取值為雙曲線與采樣周期范圍包圍區(qū)域內(nèi)的整數(shù)。

對(duì)每個(gè)變量繪制預(yù)測(cè)時(shí)域-采樣周期區(qū)域圖，在采樣周期的交集范圍Tmini≤T≤Tmaxj內(nèi)所包含的公共區(qū)域即多變量系統(tǒng)預(yù)測(cè)時(shí)域P可以選取的范圍，如圖3a陰影部分所示。

圖3 多變量系統(tǒng)預(yù)測(cè)時(shí)域可選取區(qū)域

對(duì)于某些特殊的情況，例如TITO系統(tǒng)，最大動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)間為50min，最小動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)間為25min。對(duì)于此系統(tǒng)按照上述方法選取的預(yù)測(cè)時(shí)域-采樣周期的交集不是一個(gè)區(qū)域，而是一條直線，如圖3b所示。若要選取相同的預(yù)測(cè)時(shí)域P，則需從直線范圍中選取。綜上所述，對(duì)于預(yù)測(cè)時(shí)域的選取可以歸結(jié)為以下幾步：

a. 按照2.1節(jié)中的方法確定模型維數(shù)和采樣周期；

b. 根據(jù)采樣周期的范圍按照2.2節(jié)的方法確定預(yù)測(cè)時(shí)域的上限；

c. 根據(jù)2.3節(jié)的方法確定預(yù)測(cè)時(shí)域選取的下限；

d. 對(duì)此變量繪制如圖2所示的區(qū)域圖；

e. 對(duì)于多變量系統(tǒng)，對(duì)每個(gè)變量重復(fù)以上步驟，取所有區(qū)域的交集。

如果各變量的預(yù)測(cè)時(shí)域-采樣周期區(qū)域無(wú)重合，則表明各變量的動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)間差別過(guò)大，存在多個(gè)時(shí)間尺度，此時(shí)的系統(tǒng)為病態(tài)系統(tǒng)，因此無(wú)法選擇統(tǒng)一的采樣周期，此時(shí)應(yīng)對(duì)整個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行分解，分解為不同時(shí)間尺度的多個(gè)子系統(tǒng)，再分別進(jìn)行預(yù)測(cè)控制系統(tǒng)的采樣周期和預(yù)測(cè)時(shí)域設(shè)計(jì)。

3 實(shí)例研究

假設(shè)一個(gè)TITO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

通過(guò)階躍測(cè)試，變量y1的動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)間為100min，變量y2的動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)間為80min。將N分為25～50，則采樣周期的取值范圍為2.0～3.2min。由于Pmin1

圖4 TITO系統(tǒng)預(yù)測(cè)時(shí)域可選取區(qū)域

當(dāng)采樣周期T=2.0min時(shí)，按照?qǐng)D4所示區(qū)域，預(yù)測(cè)時(shí)域最小可選取P=13。在此區(qū)域內(nèi)分別選取預(yù)測(cè)時(shí)域P為13、18、30和45進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如圖5所示。

圖5 采樣周期為2min時(shí)的響應(yīng)曲線

由圖5可見，選取的預(yù)測(cè)時(shí)域的響應(yīng)曲線都符合要求。當(dāng)按照上文方法選取最小可取的P=13時(shí)，響應(yīng)較快，但波動(dòng)較大。適當(dāng)增加P，選取P=18，可得較平穩(wěn)的曲線，并且不影響響應(yīng)速度。當(dāng)P較大時(shí)，選取P=30、P=45，可以看出此時(shí)響應(yīng)曲線已基本一致，而且相比于P=18時(shí)的響應(yīng)曲線，動(dòng)態(tài)特性并未提升，反而增大了運(yùn)算負(fù)擔(dān)。

當(dāng)采樣周期T=3.0min時(shí)，按照?qǐng)D4所示區(qū)域，預(yù)測(cè)時(shí)域最小可選取P=8。在此區(qū)域內(nèi)分別選取預(yù)測(cè)時(shí)域P為8、13和30進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如圖6所示?？梢钥闯?，選取的3個(gè)預(yù)測(cè)時(shí)域的控制效果都可以接受。同時(shí)P=13和P=30的響應(yīng)曲線已基本重合，結(jié)合圖5中P=18、P=30和P=45的情況，分析可知當(dāng)預(yù)測(cè)時(shí)域能覆蓋一定區(qū)域后繼續(xù)增大預(yù)測(cè)時(shí)域已無(wú)意義，只會(huì)增加運(yùn)算負(fù)擔(dān)，并且對(duì)于某些波動(dòng)，預(yù)測(cè)時(shí)域選取太大會(huì)使動(dòng)態(tài)響應(yīng)變慢，不利于快速跟蹤目標(biāo)值。

圖6 采樣周期為3min時(shí)的響應(yīng)曲線

在本例中，采樣周期選取2.0min和3.0min，可以看出二者區(qū)別較小，說(shuō)明了在合理范圍內(nèi)采樣周期選取得不同對(duì)系統(tǒng)無(wú)較大影響。

4 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)預(yù)測(cè)控制方法中預(yù)測(cè)時(shí)域的選取方法進(jìn)行了討論，在總結(jié)前人研究經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，給出了預(yù)測(cè)時(shí)域可選取的區(qū)域，在此區(qū)域內(nèi)可以方便快捷地找出可選取的預(yù)測(cè)時(shí)域。該方法對(duì)于單變量和多變量系統(tǒng)同樣適用。通過(guò)仿真實(shí)例驗(yàn)證了該方法的有效性。

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AnalysisofSelectingPredictiveHorizonsinEngineeringofModelPredictiveControl

WU Bo, LUO Xiong-lin, WEI Ming-hui, XU Feng

(CollegeofGeophysicsandInformationEngineering,ChinaUniversityofPetroleum(Beijing))

The existing selection methods for the prediction horizon were summarized. Through having the engineering practice considered and theoretical analysis implemented, the prediction horizon’s selectable range in the predictive control algorithm was presented and within this range, all selectable prediction horizons can be chosen simply and directly. Through two simulation examples, the influence of prediction horizon selected in desirable ranges and under different conditions on the control performance was analyzed.

predictive control, prediction horizon, selectable range

吳博(1987-)，博士研究生，從事化工系統(tǒng)工程與過(guò)程控制的研究。

聯(lián)系人羅雄麟(1963-)，教授，從事控制理論與過(guò)程控制、化工系統(tǒng)工程及機(jī)器學(xué)習(xí)等的研究，luoxl@cup.edu.cn。

TP273

A

1000-3932(2017)06-0553-06

2016-10-20，

2017-05-11)